Bài ôn tập môn Toán học lớp 9 - Bài tập ( tứ giác nội tiếp)

Bài tập ( tứ giác nội tiếp)
Bài Tập 1: Cho hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại M. Trên tia Mx lấy điểm A, trên tia Mx’ lấy điểm C , trên tia My lấy điểm B vá F ( B nằm giữa M và F), trên tia My’ lấy điểm D và E ( D nằm giữa M và E. Biết MA. MB = MC.MD và 
 MD.ME = MB.MF . Chứng minh 
4 điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn
4 điểm B,D,E,F cùng nằm trên một đường tròn
AC song song EF
 Bài Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 0. Từ điểm M bất kì trên đường tròn kẻ MP, MQ, MK thứ tự vuông góc với BC, CA, AB . Chứng minh 
Các tứ giác BPMK , PQCM nội tiếp 
P, Q, K thẳng hàng
Bài tập 3: Cho đường tròn tâm 0 và đường thẳng xy nằm ngoài đường tròn đó. Từ 0 kẻ OA vuông góc xy . Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn tại B và C . Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt xy thứ tự tại D và E . Chứng minh A là tung điểm của DE.
Bài tập ( tứ giác nội tiếp)
Bài Tập 1: Cho hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại M. Trên tia Mx lấy điểm A, trên tia Mx’ lấy điểm C , trên tia My lấy điểm B vá F ( B nằm giữa M và F), trên tia My’ lấy điểm D và E ( D nằm giữa M và E. Biết MA. MB = MC.MD và 
 MD.ME = MB.MF . Chứng minh 
4 điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn
4 điểm B,D,E,F cùng nằm trên một đường tròn
AC song song EF
 Bài Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 0. Từ điểm M bất kì trên đường tròn kẻ MP, MQ, MK thứ tự vuông góc với BC, CA, AB . Chứng minh 
Các tứ giác BPMK , PQCM nội tiếp 
P, Q, K thẳng hàng
Bài tập 3: Cho đường tròn tâm 0 và đường thẳng xy nằm ngoài đường tròn đó. Từ 0 kẻ OA vuông góc xy . Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn tại B và C . Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt xy thứ tự tại D và E . Chứng minh A là tung điểm của DE.
Bài tập ( định lí vi ét)
 Bài 1: Xác định m và tìm nghiệm còn lại biết rằng 
Phương trình 2x2- (m+3)x- 5m = 0 có một nghiệm bằng 1
Phương trình 4x2+ (2m+ 1)x- m2 = 0 có một nghiệm bằng -1 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau không có nghiệm cho trước được viết trong dấu ( )
a) 2x2+ (m- 2)x+ m- 1 = 0 ( x = 2)
b) mx2+ (5m- 2)x +1 = 0 (x = 1)
Bài 3: Không giải pt , xét dấu các nghiệm của phương trình
a) 3x2- 7x+ 2 = 0 b)5x2+ 3x- 1 = 0 c)2x2+ 13x+ 8 = 0
d) 4x2- 8x +49 = 0 e) 4x2-11x+ 8 = 0
Bài 4: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu
a) x2- 5mx+ 2m- 1 = 0 b) x2- 6x+ (7- m2) = 0
Bài 5: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
a) x2- 5x+ m = 0 b) mx2 + mx +3 = 0 c) x2- 2mx+ (5m- 4) = 0
Bài 6: Tìm m để phương trình 
x2- x+ 2(m- 1) = 0 có hai nghiệm dương 
4x2+ 2x+ m- 1= 0 có hai nghiệm âm c) m2x2+ 2mx- 2 = 0 có hai nghiệm pb
Bài tập ( định lí vi ét)
 Bài 1: Xác định m và tìm nghiệm còn lại biết rằng 
Phương trình 2x2- (m+3)x- 5m = 0 có một nghiệm bằng 1
Phương trình 4x2+ (2m+ 1)x- m2 = 0 có một nghiệm bằng -1 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau không có nghiệm cho trước được viết trong dấu ( )
a) 2x2+ (m- 2)x+ m- 1 = 0 ( x = 2)
b) mx2+ (5m- 2)x +1 = 0 (x = 1)
Bài 3: Không giải pt , xét dấu các nghiệm của phương trình
a) 3x2- 7x+ 2 = 0 b)5x2+ 3x- 1 = 0 c)2x2+ 13x+ 8 = 0
d) 4x2- 8x +49 = 0 e) 4x2-11x+ 8 = 0
Bài 4: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu
a) x2- 5mx+ 2m- 1 = 0 b) x2- 6x+ (7- m2) = 0
Bài 5: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
a) x2- 5x+ m = 0 b) mx2 + mx +3 = 0 c) x2- 2mx+ (5m- 4) = 0
Bài 6: Tìm m để phương trình 
x2- x+ 2(m- 1) = 0 có hai nghiệm dương 
4x2+ 2x+ m- 1= 0 có hai nghiệm âm c) m2x2+ 2mx- 2 = 0 có hai nghiệm pb 
Bài tập ( tứ giác nội tiếp)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE thứ tự cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh 
tam giác ABC và tam giác EBD đồng dạng
Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG
d)Các đường thẳng AC,DE,BF đồng qui.
Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E, các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau ở F. Chứng minh 
a)Bốn điểm A,D,O,E cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác AOCF nội tiếp. 
Bài tập ( tứ giác nội tiếp)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE thứ tự cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh 
a)tam giác ABC và tam giác EBD đồng dạng
b)Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG
d)Các đường thẳng AC,DE,BF đồng qui.
Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E, các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau ở F. Chứng minh 
Bốn điểm A,D,O,E cùng nằm trên một đường tròn. b)Tứ giác AOCF nội tiếp. 
Bài tập ( tứ giác nội tiếp)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE thứ tự cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh 
a)tam giác ABC và tam giác EBD đồng dạng
b)Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG
 d)Các đường thẳng AC,DE,BF đồng qui.
Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E, các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau ở F. Chứng minh 
a)Bốn điểm A,D,O,E cùng nằm trên một đường tròn. b)Tứ giác AOCF nội tiếp. 
Bài tập ( tứ giác nội tiếp)
Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đườngtròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H , cắt AM tại K.
a) Chứng minh IA2 = IM.IB b) Chứng minh BAF là tam giác cân
c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi
d)Xác định vị trí của M để tứ giác AKFH nội tiếp.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC thứ tự tại H và K.
a)Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD= KH.KB
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thi H di chuyển trên đường nào?
 Bài tập ( tứ giác nội tiếp)
Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đườngtròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H , cắt AM tại K.
a) Chứng minh IA2 = IM.IB b) Chứng minh BAF là tam giác cân
c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi
d)Xác định vị trí của M để tứ giác AKFH nội tiếp.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC thứ tự tại H và K.
a)Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD= KH.KB
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thi H di chuyển trên đường nào?
Tứ giác nội tiếp(tiếp theo)
Bài 8: Cho tam giác ABC ( góc A bằng 900).Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn tâm O đường kính MC. Đường thẳng BM cắt (O) tại D.Đường thẳng AD cắt (O) tại S.
Chứng minh ABCD nội tiếp và CA là tia phân giác của góc SCB.
Gọi E là giao điểm của BC với (O) .Chứng minh BA,EM,CD đồng qui
Chứng minh DM là phân giác góc ADE
Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M(không trùng với A và C). Từ M hạ MD vuông góc BC; ME vuông góc AC.
Chứng minh 4 điểm D,C,M,E cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AM.ED = EM.AB
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB, ED. Chứng minh IJ vuông góc với MJ.
Tứ giác nội tiếp(tiếp theo)
Bài 8: Cho tam giác ABC ( góc A bằng 900).Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn tâm O đường kính MC. Đường thẳng BM cắt (O) tại D.Đường thẳng AD cắt (O) tại S.
Chứng minh ABCD nội tiếp và CA là tia phân giác của góc SCB.
Gọi E là giao điểm của BC với (O) .Chứng minh BA,EM,CD đồng qui
Chứng minh DM là phân giác góc ADE
Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M(không trùng với A và C). Từ M hạ MD vuông góc BC; ME vuông góc AC.
Chứng minh 4 điểm D,C,M,E cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AM.ED = EM.AB
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB, ED. Chứng minh IJ vuông góc với MJ.
Kiểm tra 15 phút
Cho (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn( B và C là tiếp điểm). M là một điểm trên dây BC. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với OM cắt tia AB, AC thứ tự tại D và E. Chứng minh
Bốn điểm B,D,M,O cùng thuộc một đường tròn, bốn điểm O,M,E,C cùng thuộc một đường tròn.
M là trung điểm của ED
Kiểm tra 15 phút
Cho (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn( B và C là tiếp điểm). M là một điểm trên dây BC. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với OM cắt tia AB, AC thứ tự tại D và E. Chứng minh
a)Bốn điểm B,D,M,O cùng thuộc một đường tròn, bốn điểm O,M,E,C cùng thuộc một đường tròn.
b)M là trung điểm của ED
Kiểm tra 15 phút
Cho (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn( B và C là tiếp điểm). M là một điểm trên dây BC. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với OM cắt tia AB, AC thứ tự tại D và E. Chứng minh
a)Bốn điểm B,D,M,O cùng thuộc một đường tròn, bốn điểm O,M,E,C cùng thuộc một đường tròn.
b)M là trung điểm của ED
Kiểm tra 15 phút
Cho (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn( B và C là tiếp điểm). M là một điểm trên dây BC. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với OM cắt tia AB, AC thứ tự tại D và E. Chứng minh
a)Bốn điểm B,D,M,O cùng thuộc một đường tròn, bốn điểm O,M,E,C cùng thuộc một đường tròn.
b)M là trung điểm của ED
Bài tập( Một số bài toán về phương trình bậc hai)
Bài 1: Tìm m để phương trình 2x2- 4x+5(m- 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Bài 2: Cho pt ẩn x sau: x2- 2(m+ 4)x+ m2- 8 = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho 
a) x1+ x2- 3x1x2 đạt GTLN b) x12+ x22- x1x2 đạt GTNN
Bài 3: Cho pt x2- (2m+ 5)x- m2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tìm m để 
a) x1 và x2 đều lớn hơn -5 b) x1< 2 < x2 
Bài 4: Cho pt: x2- 4x+ 8 = 0 có hai nghiệm x1và x2 . Không giải pt , hãy tính giá trị của biểu thức: 
 Q = 
Bài 5: Tìm GTLN (nếu có) và GTNN(nếu có) của các biểu thức sau:
a) P = b) Q = c) E = 
Bài tập( Một số bài toán về phương trình bậc hai)
Bài 1: Tìm m để phương trình 2x2- 4x+5(m- 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Bài 2: Cho pt ẩn x sau: x2- 2(m+ 4)x+ m2- 8 = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho 
a) x1+ x2- 3x1x2 đạt GTLN b) x12+ x22- x1x2 đạt GTNN
Bài 3: Cho pt x2- (2m+ 5)x- m2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tìm m để 
a) x1 và x2 đều lớn hơn -5 b) x1< 2 < x2 
Bài 4: Cho pt: x2- 4x+ 8 = 0 có hai nghiệm x1và x2 . Không giải pt , hãy tính giá trị của biểu thức: 
 Q = 
Bài 5: Tìm GTLN (nếu có) và GTNN(nếu có) của các biểu thức sau:
a) P = b) Q = c) E = 
Kiểm tra 60 phút
Cho phương trình x2- (2m+1)x+ 4m- 2 = 0 (1)
Giải pt khi m = 3
Chứng tỏ pt(1) có nghiệm với mọi m
Tìm m để PT(1) có nghiệm x = - 1 
Tìm m để pt(1) không có nghiệm x = - 2
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm là hai số trái dấu
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm cùng dấu? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm cùng dương
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm cùng âm
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt là hai số đối nhau
10)Tìm m để pt(1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
11)Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2x1+3x2= 2
12)Tìm m để pt(1) có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x12+x22 đạt min
13)Tìm m để pt(1) có nghiệm thỏa mãn x1<1<x2
Kiểm tra 60 phút
Cho phương trình x2- (2m+1)x+ 4m- 2 = 0 (1)
Giải pt khi m = 3
Chứng tỏ pt(1) có nghiệm với mọi m
Tìm m để PT(1) có nghiệm x = - 1 
Tìm m để pt(1) không có nghiệm x = - 2
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm là hai số trái dấu
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm cùng dấu? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm cùng dương
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm cùng âm
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt là hai số đối nhau
10)Tìm m để pt(1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
11)Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2x1+3x2= 2
12)Tìm m để pt(1) có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x12+x22 đạt min
13)Tìm m để pt(1) có nghiệm thỏa mãn x1<1<x2
Bài tập (ôn tập)
Bài 1: 
Cho phương trình x2- 2(m+1)x+ m- 4 = 0 (1) 
Giải pt khi m = 1
Chứng minh pt(1) luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm trái dấu
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm cùng dấu? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt sao cho x12+x22 = 22
Tìm GTNN của x12x2+ x1x22 
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt và tích hai nghiệm này bằng 4
Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 6
Tìm m để pt(1) có nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
10)Tìm m để pt(1) có nghiệm sao cho x1<1<x2
11)Chứng minh biểu thức A = x1(1-x2)+ x2(1- x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
Bài 2: 
Cho 3 phương trình ax2+ 2bx+ c = 0 (1); bx2 + 2cx + a = 0 (2); 
 cx2+2ax+b = 0 (3) 
Trong đó a,b,c khác 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các pt trên có nghiệm.
Bài 3 :
a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x2- 6x+ y- 2 = 0 sao cho y đạt giá tị lớn nhất
b)Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 
c)Tìm GTNN của biểu thức Q = 
Bài tập (ôn tập tổng hợp)
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh các tứ giác BFEC ; DHEC nội tiếp
Chứng minh tam giác DBH và tam giác DAC đồng dạng
c)Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
d) Gọi I,K thứ tự là trung điểm của AH, BC . Chứng minh IK vuông góc EF
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC; Gọi F là điểm đối xứng với H qua trung điểm I của BC.
a)Chứng minh BHCF là hình bình hành
b)Chứng minh E,F nằm trên đường tròn tâm O c)C/m tứ giác BCFE là hình thang cân
d) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M.
a)Chứng minh OM vuông góc với BC. b)C/m MC 2 = MI. MA
c) Kẻ đường kính MN. Các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh 4 điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn. 
Bài tập (ôn tập tổng hợp)
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a)Chứng minh các tứ giác BFEC ; DHEC nội tiếp
b)Chứng minh tam giác DBH và tam giác DAC đồng dạng
c)Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
d) Gọi I,K thứ tự là trung điểm của AH, BC . Chứng minh IK vuông góc EF
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC; Gọi F là điểm đối xứng với H qua trung điểm I của BC.
a)Chứng minh BHCF là hình bình hành
b)Chứng minh E,F nằm trên đường tròn tâm O c)C/m tứ giác BCFE là hình thang cân
d) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M.
 a)Chứng minh OM vuông góc với BC. b)C/m MC 2 = MI. MA
Kẻ đường kính MN. Các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh 4 điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn. 
Bài tập (chứng minh đường thẳng song song , vuông góc)
 Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Các điểm M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và BC. Gọi E là giao điểm của DN và CM. 
C/m tứ giác DAME nội tiếp
Gọi P,O,S thứ tự là trung điểm của DC, CA, AD . Gọi Q là điểm bất kì trên tia đối của tia BC. Gọi R là giao điểm của QM và AC. Gọi T là giao điểm của OS với PR. Chứng minh rằng MT // PQ.
 Bài 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O và P là một điểm trên cung nhỏ BC
Chứng minh PA = PB + PC
Qua điểm P dựng đường thẳng d song song với BC cắt AB kéo dài ở D. Qua P dựng đường thẳng e song song với AC cắt BC ở E. Qua P dựng đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Chứng minh PCFE và BDPE là các tứ giác nội tiếp. 
Bài tập (chứng minh đường thẳng song song , vuông góc)
 Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Các điểm M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và BC. Gọi E là giao điểm của DN và CM. 
C/m tứ giác DAME nội tiếp
Gọi P,O,S thứ tự là trung điểm của DC, CA, AD . Gọi Q là điểm bất kì trên tia đối của tia BC. Gọi R là giao điểm của QM và AC. Gọi T là giao điểm của OS với PR. Chứng minh rằng MT // PQ.
 Bài 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O và P là một điểm trên cung nhỏ BC
Chứng minh PA = PB + PC
Qua điểm P dựng đường thẳng d song song với BC cắt AB kéo dài ở D. Qua P dựng đường thẳng e song song với AC cắt BC ở E. Qua P dựng đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Chứng minh PCFE và BDPE là các tứ giác nội tiếp. 
Bài tập (phương trình – hệ pt)
Bài 6: Giải các pt sau
a) x2- b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0
c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d) 
Bài 7: Cho hệ pt: a) Giải hệ pt khi m = 3
Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất
Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất sao cho x+ y > 1
Bài 8: Tìm m Z để hệ pt ẩn x và y sau có nghiệm nguyên mà x > 0; y > 0
Bài 9: Cho hai pt: x2 + (m- 1)x +m2 = 0 và -x2- 2mx + m = 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai pt có nghiệm.
Bài 10: Tìm m để hai pt x2+ mx +1 = 0 và x2- (m+1)x- 2m = 0 có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 11: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + 5 = 0
Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 và x2 
Tìm GTLN của biểu thức A =12- 10x1x2- (x12 + x22)
Bài 12: Cho pt: x2+ mx- 5 = 0. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 11. 
Bài tập (phương trình – hệ pt)
Bài 6: Giải các pt sau
a) x2- b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0
c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d) 
Bài 7: Cho hệ pt: a) Giải hệ pt khi m = 3
Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất
Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất sao cho x+ y > 1
Bài 8: Tìm m Z để hệ pt ẩn x và y sau có nghiệm nguyên mà x > 0; y > 0
Bài 9: Cho hai pt: x2 + (m- 1)x +m2 = 0 và -x2- 2mx + m = 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai pt có nghiệm.
Bài 10: Tìm m để hai pt x2+ mx +1 = 0 và x2- (m+1)x- 2m = 0 có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 11: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + 5 = 0
Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 và x2 
Tìm GTLN của biểu thức A =12- 10x1x2- (x12 + x22)
Bài 12: Cho pt: x2+ mx- 5 = 0. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 11. 
 Bài tập (phương trình – hệ pt)
Bài 6: Giải các pt sau
a) x2- b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0
c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d) 
Bài 7: Cho hệ pt: a) Giải hệ pt khi m = 3
b)Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất
c)Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất sao cho x+ y > 1
Bài 8: Tìm m Z để hệ pt ẩn x và y sau có nghiệm nguyên mà x > 0; y > 0
Bài 9: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + 5 = 0
a)Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 và x2 
b)Tìm GTLN của biểu thức A =12- 10x1x2- (x12 + x22)
Bài 10: Cho pt: x2+ mx- 5 = 0. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 11. 
Bài 11: Cho pt: x2- (a- 1)x- a2+a- 2 = 0 
Cmr pt luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi a.
b) Tính S = x12+ x22 và xác định a để S nhỏ nhất 
 Bài tập (phương trình – hệ pt)
Bài 6: Giải các pt sau
a) x2- b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0
c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d) 
Bài 7: Cho hệ pt: a) Giải hệ pt khi m = 3
b)Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất
c)Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất sao cho x+ y > 1
Bài 8: Tìm m Z để hệ pt ẩn x và y sau có nghiệm nguyên mà x > 0; y > 0
Bài 9: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + 5 = 0
a)Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 và x2 
b)Tìm GTLN của biểu thức A =12- 10x1x2- (x12 + x22)
Bài 10: Cho pt: x2+ mx- 5 = 0. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 11. 
Bài 11: Cho pt: x2- (a- 1)x- a2+a- 2 = 0 
Cmr pt luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi a.
b) Tính S = x12+ x22 và xác định a để S nhỏ nhất 
Bài tập (Giải bài toán bằng cách lập pt- lập hệ pt)
 Bài 1: Một thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h 20 phút một ca nô chạy từ A đuổi theo và kịp thuyền tại một địa điểm cách A 20 km. Tính vận tốc của ca nô, biết rằng ca nô đi nhanh hơn thuyền 12km/h.( coi vận tốc dòng nước là không đáng kể).
Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận 10 km/h trên quãng đường còn lại, do đó ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.
Bài 3: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu nó chuyển động ngược chiều thì hai giây gặp nhau. Nếu nó chuyển động cùng chiều thì 10 giây lại gặp nhau.Tính vận tốc mỗi vật.
Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km rồi ngược dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5h . Biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc ca nô khi nước yên nặng
Bài 5: Một vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước của vườn.
 Bài tập (Giải bài toán bằng cách lập pt- lập hệ pt)
 Bài 1: Một thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h 20 phút một ca nô chạy từ A đuổi theo và kịp thuyền tại một địa điểm cách A 20 km. Tính vận tốc của ca nô, biết rằng ca nô đi nhanh hơn thuyền 12km/h.( coi vận tốc dòng nước là không đáng kể).
Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận 10 km/h trên quãng đường còn lại, do đó ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.
Bài 3: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu nó chuyển động ngược chiều thì hai giây gặp nhau. Nếu nó chuyển động cùng chiều thì 10 giây lại gặp nhau.Tính vận tốc mỗi vật.
Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km rồi ngược dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5h . Biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc ca nô khi nước yên nặng
Bài 5: Một vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước của vườn.