Bài ôn tập lớp 9 môn Đại số - Chuyên đề 1: Căn Thức rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 3 - 
Phần 1: Đại số 
  Chuyên đề 1: Căn Thức rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức 
A. Kiến thức cần nhớ: 
- Cách đặt ĐKXĐ của một biểu thức 
- Cách quy đồng khử mẫu hai hay nhiều phân thức 
B. Bài tập: 
 Rút gọn các căn thức sau: 
Bài 1. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp: 
 a, 
9
196
49
16
81
25
 b, 
81
34
2.
25
14
2.
16
1
3 c. 
567
3,34.640
 d, 22 511.8106,21  
Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai: 
a, 8+2 15 ; b, 10-2 21 ; c, 12- 140 
d, 5 + 24 ; e, 14+6 5 ; g, 8- 28 
Bài 3. Phân tích thành thừa số các biểu thức sau: 
a, 1 + 1553  b, 21151410  
c, 6141535  d, 3 + 8318  
e, xy +y 1xx  g, 3+ x +9 -x 
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: 
a, ( 10238  )( 4,032  ) b, ( 0,2 3.)10( 2 + 2 2)53(  
c, ( 714228  ). 7 + 7 8 d, ( 15 50 5 4503200 ) : 10 
e, 2 422 )1(5)3(2)32(  g, ( 6:)
3
216
28
632



h, 
57
1
:)
31
515
21
714
(





 i, 
1027
1528625


Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a, ba
ba
1
:
ab
abba



 ( a, b > 0 và a  b ) 
b, ( 1+ a1)
1a
aa
1)(
1a
aa





(a > 0 và a  1);c, ( a
a1
aa1



)(
a1
a1


) 2 =1 (a > 0 và a  1) 
d, a
bab2a
ba
.
b
ba
22
42
2



 (a+b>0, b  0) 
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau: 
a, 2a4a129a9  với a = -9 ; b, 1 + 4m4m
2m
m3 2 

 với m<2 
c, a4a25a101 2  với a= 2 ; d, 4x- 1x6x9 2  với x=- 3 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 4 - 
e, 6x2 -x 6 +1 với x = 
2
3
3
2
 
Bài 7:Rút gọn các biểu thức sau: 
42
442



x
xx
A 
144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22 













xx
x
xx
x
x
B 
xy
y
yx
yx
yx
yx
C








2
2222
xxxxx
D




















1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1




















1
2
1
1
:
1
1 xxxxx
x
E a
x
xa
a
x
xa
F 22
22




 
 Gợi ý: 
 Khi làm các bài toán này cần: 
- Đặt ĐKXĐ? 
- Quy đồng khử mẫu, rồi làm gọn kết quả thu đ-ợc 
1
2
2
1
2
2
khix
A
khix



  

2
1 2
B
x


2 y
C
x y


1
D
x
 
1x
E
x

 
Một số loại toán th-ờng kèm theo bài toán rút gọn 
I.Tính toán một biểu thức đại số 
 Ph-ơng pháp: 
 Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần: 
 +Rút gọn biểu thức P(x). 
 + Thay x=a vào biểu thức vừa rút gọn 
*Ví dụ: 
xx
xxx
A
32
96
2
2


 Tính giá trị của A biết 18x . 
22
1
22
1




aa
B Tính giá trị của B biết(a-6)(a-3)= 0 
4
5
:
2
3
2
2
22 












xxxx
x
x
x
C Tính giá trị của C biết 2x2+3x =0 
12
12
:
1
1
.
11
1
2
2
3 













xx
x
x
xx
x
x
x
D Tính giá trị của D biết x=
2007
2005
 
9
961
2
2



x
xxx
E Tính E biết 16x 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 5 - 
4
4ã2
2
2



xx
xa
F Tính F biết x= a
a

1
. 
 Đáp án: 
1
 khi 3
3
 3
(2 3)
x
x
A
khi x
x x




 ;
4
2
B
a



& B=-4/5 
( 2) 2
&
5 5
x
C C
x
 
  
1
1
x
D
x



1
 x -3
3
1- x
 khi x < -3
x -3
x
khi
x
E



 
II.Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức: 
 Ph-ơng pháp: 
Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần : 
 + Rút gọn biểu thức P(x) 
 + Giải ph-ơng trình P(x) =a. 
 Ví dụ: 






















1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
A 
a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a để A=0 

























13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
B 
Tìm x khi B=6/5 




















1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
xx
x
C 
a) Tính C biết x= 324 b)Tìm x khi C >1. 























1
2
11
1
:
1
1
1
1
2xx
x
xx
x
x
x
D a) Tính D khi x= 324  
b)Tìm x để D=-3 
E= 














1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x a) Tính E khi x= 14012 
b) Tính x khi E >5 
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
F
x x x x
  
  
   
 a)Rút gọn F 
b)Tính x để F=1/2 
    
   
2
2
2 3 1 4 2 3
1 3
x x x
G
x x
   

 
 a)Rút gọn G 
 c)Tính G khi 223x 
b)Tìm x để G >1 
 Đáp án: 
1
; 1
a
A a
a

  ;a=1 
1
; 4;
43 1
x x
B x x
x

  

1 6 3 3
; ; 1 or x < -2
1 3
x x
C C x
x
  
  

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 6 - 
2
;
1
x
D
x



2 1
; 0
2
x
E x
x
 
   ;
7 9 5
2 3
x x
F
x x
 

 
2 3 2 2 1
; 2 x < -1;G = ...
1 2 2 1
x
G x or
x
 
  
 
III. Tìm giá trị của biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện nào đó: 
 Ph-ơng pháp: 
Tr-ớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của bài toán 
mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn: 
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên? 
Ta cần đ-a biểu thức rút gọn về dạng: R(x)= f(x)+
( )
a
g x
 sau đó lập luận: 
 ( ) ( ) g(x) R x Z a g x hay  là -ớc của a (a là hằng số) 
 Ví dụ: 
1)
  2
2
4 2 3
6 9
x x x
A
x x
  

 
 a) Rút gọn A b)Tính xZ để AZ? 
2)
xxxx
x
B







2
1
6
5
3
2
2
Rút gọn B, Tính xZ để BZ? 
3)
2
2
:
11
















a
a
aa
aa
aa
aa
C 
a)Tìm a để biểu thức C không xác định 
b)Rút gọn C c) Tính aZ để C Z? 
4)
11
1
1
1 3







x
xx
xxxx
D 
a)Rút gọn và tính giá trị của D khi x=5 
b)Tìm giá trị nguyên d-ơng của x để DZ ? 
5)E= 














1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x :
x
x 2
Tính xZ để E Z? 
 Đáp án:
4
3
3
A
x
  

 ;
4 2
1
2 2
x
B
x x

  
 
 ;
2 4 8
2
2 2
a
C
a a

  
 
;  
2
1 1D x   ;
2 4
1
2 2
x
E
x x

  
 
IV. Một số thể loại khác 
Bài 1. Chứng minh rằng: 
 a)   2004200522006.20051
2
 b) 2725725 33  
 c)
ab
a
a
b
a
b
abaabb
a
bba
aba 11
1.
2
23223
2
32
2 


















Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 7 - 
Bài 2. Cho B=
















1
1
1
1
1
2
:1
x
x
xx
x
xx
x
 a) Rút gọn B 
 b)CMR : B>3 với mọi x>0 ;x 1 . 
Bài 3. Cho C=
632ab
6
632
32





ba
ab
baab
ba
 a) Rút gọn C b) CMR nếu C=
81
81


b
b
 thì 3
b
a
. 
Bài 4. Cho 
 
xxbb
xb
xb
xxbb
xb
xb
D
















2
. 
 a) Rút gọn D b) So sánh D với D . 
Bài 5. Cho 























 1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
E 
 a) Rút gọn E. b) Tìm x để 2EE  . 
c) Tìm x để
4
1
E 
Bài 6. Cho 
ab
ba
bab
b
bab
a
F





 
 a) Tính F khi a= 324;324  b 
 b) CMR nếu
5
1



b
a
b
a
thì F có giá trị không đổi. 
Bài 7. Cho biểu thức: A1 = (
x1
1
x1
1



) : (
x1
1
x1
1



) +
x1
1

a) Rút gọn A1. 
b) Tính giá trị của A1 khi x=7+4 3 . 
c) Với giá trị nào của x thì A1 đạt giá trị nhỏ nhất ? 
 Bài 8. Cho biểu thức: A2 = 22
2
)2x()1x2(
4)1x(


 a) Tìm x để A2 xác định. b) Rút gọn A2. c) Tìm x khi A2 =5. 
 Bài 9. Cho biểu thức: A3 = (
1x
1x
1x
1x





):(
1x
1
1x
x
1x
2
2 




) 
a) Rút gọn A3 b) Tìm giá trị của A3 khi x= 83 c) Tìm x khi A3 = 5 
Bài 10. Cho biểu : A4 = (
aa
1aa
aa
1aa





 ):
2a
2a


a) Với giá trị nào của a thì A4 không xác định. b) Rút gọn A4. 
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị tự nguyên ? 
 Bài 11. Cho biểu thức: B1 =
xx
xx2
1x
x




a) Rút gọn B1 b) Tính giá trị của B1 khi x=3+ 8 
c) Tìm x để B1 > 0 ? B1 < 0? B1 =0 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 8 - 
 Bài 12. Cho biểu thức: B2 = 
6a2
a3
6a2
3a





 a) Rút gọn B2 b) Tìm a để B2 1? 
Bài 13. Cho biểu thức: B3= ( 1+ 
1x
x

):(
1xxxx
x2
1x
1



) 
a) Rút gọn B3 b) Tìm x để B3 > 3? c) Tìm x để B3 =7. 
Bài 14. Cho biểu thức: B4 = (
xx
1
1x
x



):(
1x
2
1x
1



) 
 a) Rút gọn B4 b) Tính giá trị của B4 khi x=3+2 2 
 c) Giải ph-ơng trình B4 = 5 
Bài 15. Cho biểu thức: B5 = (
ab
a
ba
a



):(
ab2ba
aa
ba
a



) 
a) Tìm điều kiện của a để B5 xác định. b) Rút gọn B5. 
c) Biết rằng khi a/b = 1/4 thì B5 = 1, tìm giá trị của b. 
Bài 16. Cho biểu thức: C1 = 4x4x4x4x  
a) Rút gọn C1 b) Tìm x để C1 = 4 
Bài 17. Cho biểu thức: C2 = 
ab
ba
aab
b
bab
a 




a) Rút gọn C2 
b) Tính giá trị của C2 khi a = 324  , b = 324  
c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C2 có giá trị không đổi 
Bài 18. Cho biểu thức: C3 = 
6b3a2ab
ab6
6b3a2ab
b3a2





a) Chứng minh rằng 0b  thì C3 có giá trị không phụ thuộc vào b 
b) Giải ph-ơng trình C3 = -2. 
c) Tìm a để C3 0? 
d) Tìm giá trị nguyên của a để C3 có giá trị nguyên. 
e) Chứng minh rằng nếu C3 = b+81/b-81, 
khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3. 
Bài 19. Cho biểu thức: C4 = (
1x2x
2x
1x
2x





).
2
1x2x 2 
a) Xác định x để C4 tồn tại. b) Rút gọn C4 
c) Chứng minh rằng nếu 0 0. 
d) Tìm giá trị của C4 khi x = 0,16. 
e) Tìm giá trị lớn nhất của C4. 
g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z. 
Bài 20. Cho biểu thức: C5 = 3223
3223
yxyyxx
yxyyxx


a) Rút gọn C5. 
b) Tính giá trị của C5 khi x = 3 , y = 2 . 
c) Với giá trị nào của x, y thì C5 = 1. 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 9 - 
Bài 21. Cho biểu thức: D1 = (
x1
1
1xx
x
1xx
2x






):
2
1x 
a) Rút gọn D1. 
b) Chứng minh D1 > 0 với 1x,0x  . 
Bài 22. Cho biểu thức: D2 = (
xy
yx
yx
yx
33





):
yx
xy)yx( 2


a) Xác định x, y để D2 có nghĩa. b) Rút gọn D2. 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D2. d) So sánh D2 và 2D . 
e) Tính giá trị của D2 khi x = 1,8 và y = 0,2. 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 10 - 
 Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b 
  Kiến thức: 
Cho hàm số y=ax+b (a≠0) 
- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0 
- Nếu toạ độ (x0;y0) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này. 
- Ng-ợc lại, nếu điểm A(x0;y0) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x0;y0) của A thoả 
mãn hàm số y=f(x). 
- Cho hai đ-ờng thẳng (d1): y=ax+b & (d2): y= a1.x+b1 (a ≠ 0 ; a1 ≠ 0) 
 + (d1) // (d2)  a=a1 & b≠ b1 
 + (d1)  (d2)  a= a1 & b= b1 
 + (d1) cắt (d2)  a≠ a1 & b≠ b1 
 + (d1) ┴ (d2)  a.a1=-1 
Bài tập vận dụng: 
Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m. 
Bài 2: Cho đ-ờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m 
Bài 3: Cho các đ-ờng thẳng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) và 
 (d2): y= (2m-3)x +(m
2-1) (m≠ 3/2): 
a) CMR: (d1) & (d2) không thể trùng nhau với mọi m. 
b) Tìm m để (d1) // (d2); (d1) cắt (d2); (d1) ┴ (d2) 
Bài 4: CMR: 3 đ-ờng thẳng sau đây đồng quy: (d1): y=-3x (d2): y=2x+5 (d3): y=x+4 
Bài 5: Tìm m để ba đ-ờng thẳng sau đồng quy:(d1):y=x-4; (d2): y= -2x-1;(d3): y= mx+2 
Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đ-ờng thẳng :(d1): y= 
1
3
x ;(d2):y=-3x ;(d3): y=-x+4 
Bài 7: Cho đ-ờng thẳng (d1):y=4mx - (m+5) & (d2): y= (3m
2+1)x+m2-4 
a) CMR: (d1) luôn đi qua điểm A cố định và (d2) luôn đi qua điểm B cố định 
b) Tính khoảng cách AB. ; c) Tìm m để (d1) // (d2) 
Bài 8. Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1 
Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đ-ờng trên có thể 
trùng nhau đ-ợc không ? 
Bài 9. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng: a. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P(
2
5
;
2
1
) 
b. Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5) 
c. Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 ) 
d . Song song với đ-ờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm (
3
4
;
3
1
) 
Bài 10.Cho 3 đ-ờng thẳng : y=2x+1(d1) ; y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3) 
a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đ-ờng thẳng (d1) & (d2) 
b. Xác định m để 3 đ-ờng thẳng đã cho đồng quy 
Bài 11. a. Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3) 
 b. Gọi các giao điểm của đ-ờng thẳng có ph-ơng trình (3) với các đ-ờng thẳng (1), (2) thứ tự 
là A, B; Tìm toạ độ của các điểm A,B. 
 c.Tính các góc của tam giác OAB. 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 11 - 
 Chuyên đề 3:Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất 
Bất ph-ơng trình 
I.Ph-ơng trình bậc nhất 1 ẩn số 
 Ph-ơng pháp: ax+b=0 ax=-b  x=-b/a 
 Nếu ph-ơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đ-a 
 về dạng tổng quát rồi tính 
 * Ví dụ: 
Bài 1:Giải các ph-ơng trình: 
 a)     223 2  xxx b)
        
4
12
12
52
3
51 



 xxxxxx
 c) 0
22
3
1
12
22
1
2






 xxx
x
x
* Ph-ơng trình dạng )()( xgxf  (1) 
  Sơ đồ giải: 
 
2
( ) 0(2)
( ) ( )
( ) ( ) (3)
g x
f x g x
f x g x

  

 Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp, 
 nghiệm thích hợp là nghiệm của ph-ơng trình đã cho. 
 Ví dụ: 
Bài 2:Giải ph-ơng trình: a) 783 x b) xxx  212 
c)  
2
2 3 3 1x x   
* Ph-ơng trình dạng )()()( xhxgxf  
  Sơ đồ giải:- Đặt điều kiện có nghĩa của ph-ơng trình: 
0)(
0)(
0)(



xh
xg
xf
- Bình ph-ơng 2 vế , rút gọn đ-a về dạng(1) 
Ví dụ: 
Bài 3:Giải ph-ơng trình: 
 a) xx  15 b) xx  11 
c) 22 10 2x x    d) 3 1 1 2x x    
Bài 4:Giải ph-ơng trình: 
 a) 5 1x x   b) 3 1 10 1 5x x    
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 12 - 
* Ph-ơng trình dạng ( ) ( ) ( )f x g x h x  
 Sơ đồ giải: 
 - Đặt đk có nghĩa của ph-ơng trình 
0)(
0)(
0)(



xh
xg
xf
 -Bình ph-ơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình ph-ơng) sau đó cần phải 
 đối chiếu nghiệm vừa tìm đ-ợc với điều kiện! 
 *Ví dụ: 
Bài 5:Giải ph-ơng trình 
a) 5 3 2 7x x x     b) 1 7 12x x x     
IV. Bất ph-ơng trình 
 *Dạng 1: Bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0 
 + Ph-ơng pháp: ax+b>0  ax>-b  x>-b/a nếu a>0 
 x<-b/a nếu a<0 
+ Ví dụ: 
Bài 6: Cho ph-ơng trình: 
32
16
3
1
52
xxx
x 



 
a) Giải bất ph-ơng trình 
 b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất ph-ơng trình. 
Dạng 2: BPT phân thức 
B
A
>0 , BPT tíchA.B>0 
 *Cách giải: Mỗi bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với 2 hệ bpt : 
0
0
0
0
A
B
A
B
 


 


*Ví dụ: 
Bài 6: Giải các ph-ơng trình sau: 
1)2x(3x-5) <0 2) 1
12
2



xx
xx
 3)(x-1)2-4 <0 
*Dạng 3: 
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a
 
   
 Bài 7: Giải ph-ơng trình: 14  xx 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 13 - 
*Dạng 4:
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a

    
 hoặc axfaaxf  )()( 
Bài 8: Giải ph-ơng trình: 1
2
4
2
2



xx
xx
V. Hệ ph-ơng trình 
* Ph-ơng pháp: 
*Ví dụ: Cho hệ ph-ơng trình 3 2
9 6 1
x my
x y
 

 
 (1) 
a) Giải (1) khi m=
2
1
 b)Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất 
c) Tìm m để (1) có vô nghiệm d) Tìm m để (1) có nghiệm 
0
0
x
y



Bài tâp: 
Bài 1.Giải các ph-ơng trình và bất ph-ơng trình sau: 
a) 
25
20
5
5
5
5
2 






xx
x
x
x
 b)
 
  1
2
7
1
4
12 2
2

 x
x
x
c) 8362 x d) 1222  xx d) 
e)    1223  xxx f) 121  xx g) 5144 2  xxx 
Bài 2. Giải các hệ ph-ơng trình sau 
 a)
1
1
3
2
2
1
1
1
2
1








yx
yx
 b) 
5
43
1
11


yx
yx
 c) 
15
151


xy
yx
 d) 2
2


x
xx
 e) 
05
05)(3)(2 2


yx
yxyx
 f) 
1233
8)(3)(5 2


yx
yxyx
Bài 3.Cho hệ pt: 
3
3
mx y
x my
 

 
 a)Tìm m để hệ có nghiệm(x;y)=(-2;5) 
b)Tìm m để hệ có vô số nghiệm; vô nghiệm? ; c) Tìm m để hệ có nghiệm 
0
0
x
y



Bài 4. Cho hệ ph-ơng trình: 
2
mx my m
mx y m
 

 
 (m: là tham số) 
a)Giải và biện luận hệ ph-ơng trình; b)Tìm điều kiện của m để hệ có nghệm thỏa mãn x>0;y<0. 
Bài 5.Tìm m để hệ ph-ơng trình sau :
5
2 3 7
mx y
x my
 

 
có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x>0; y<0 
Bài 6) Tìm a để hệ ph-ơng trình: 
3
ã 4 6
x ay
a x y
 

 
 có n0 thỏa mãn x>1; y>0. 
Bài 7)Tìm a để 3 đ-ờng thẳng sau: (d1) 2x +y =5 (d2) 3x-2y =4 (d3) a x +5y =11 đồng quy? 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 14 - 
Bài 8)Giải hệ ph-ơng trình 
2 3 8
3 1
x y
x y
 

 
 & 
4 3 2
3
x y
x y
  

 
Bài 9) Giải hệ ph-ơng trình sau: a) 
2 2
5
5
x y xy
x y
  

 
 b) 
30
35
x y y x
x x y y
  

 
 c) 
64
1 1 1
4
xy
x y



 

 d) 
2 2
11
30
x xy y
x y xy
  

 
 e) 
2 2
2 2
19
7
x y xy
x y xy
   

  
Bài 10. Giải hệ ph-ơng trình sau : 
2
3 1
x y
x y
 

 
2 0
3 1
x y
x y
 

 
  1y3x2 2y3x   
5y22x
101yx2

 


 

2yx4
5y3x8


 

5yx2
3yx2







2yx
4
9
y
1
x
1




 

1
7
y
4
x
03yx
1 1
1
3 4
5
x y
x y

 


  

 



 

36
5
y
1
x
1
4
3
y
6
x
5 



 







1
1y
1
2x
1
1
1y
3
2x
2




 







3
yx
1
yx
1
1
yx
3
yx
2 
Bài 11. Giải các hệ ph-ơng trình : a. 


 

05)yx(3)yx(2
05yx
2
 b. 


 

8)yx(3)yx(5
12y3x2
2
Bài 12. Cho hệ ph-ơng trình : 

 

)1(2
)2(1
bayx
byax 
a. Xác định a,b để hệ có nghiệm x= 2 ;y= 3 ; b. Tìm a,b để hệ vô số nghiệm 
Bài 13. Cho hệ ph-ơng trình :



 

3yx)1a(
ayax
a. Giải hệ ph-ơng trình với a=- 2 
b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0 
Bài 14. Cho hệ ph-ơng trình


 

aayx
1yax
 ; 
a. Giải hệ ph-ơng trình với a= 2 -1 
b. Chứng minh hệ ph-ơng trình có nghiệm với mọi a 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 15 - 
c. Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x>0; y>0 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 16 - 
 Chuyên đề 4: ph-ơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dụng 
I.Ph-ơng trình bậc hai: 
 1) Ph-ơng trình bậc hai khuyết: 
 * Ph-ơng pháp: Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đ-a về dạng ph-ơng trình tích. 
 * Ví dụ: Giải ph-ơng trình sau: 
 a) 2x2-50x =0 b) 54x2 =27x 
 c) 2
4
53 2
2


x
x
 d)
4
12
3
2
2
1 222 



 xxx
 2) Ph-ơng trình dạng đầy đủ: 
 * Ph-ơng pháp: Giải theo công thức nghiệm của ph-ơng trình bậc hai: 
 * Ví dụ: Giải ph-ơng trình: 
 a) 02
1
1



 x
x
x
x
 b) 
1
1
2
1
2
2 

 xx
x
 c) 
2
1 1 7
7 12 2 6 40x x x
 
  
 3)Ph-ơng trình giải đ-ợc bằng cách đặt ẩn số phụ: 
 * Ví dụ: Giải các ph-ơng trình 
 a) (x2+2x)2 -2(x2+2x) -3 =0 c) 4x4 +12x3-47x2+12x+4=0 
 b) x4-5x2-6 =0 d) x2+
2
5
x -
2
3
=0 
Bài tập: Giải các ph-ơng trình sau: 
 a)(6x2-7x)2- 2(6x2-7x) -3 =0 ; b)(x+
x
1
)2-4,5(x+
x
1
) +5=0 
 c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d) 
2
2 8
1
x
x
x
 
  
 
II.Điều kiện nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax2+bx+c =0: 
 Ph-ơng pháp: 
Cho ph-ơng trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (1) 
+ ĐK để (1) vô nghiệm: 
0
0
a 

 
 + ĐK để (1)Có 2 nghiệm pb: 
0
0
a 

 
 + ĐK để (1)Có nghiệm kép: 
0
0
a 

 
 + ĐK để (1)Có 2 nghiệm trái dấu: a.c<0 
 + ĐK để (1)Có nghiệm: 
0
0
a 

 
 + ĐK để (1) có 2n0 d-ơng: 
0
0
0
S
P
 


 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 17 - 
 + ĐK để (1) có 2n0 âm: 
0
0
0
S
P
 


 
 + ĐK để (1)có 2n0 cùng dấu: 
0
0P
 


 (Khi đó nếu Tổng 2n0 d-ơng thì 2n0 mang dấu d-ơng và ng-ợc lại) 
Ví dụ: 
Bài 1:Cho ph-ơng trình: (m-1)x2 -2(m+1x + m-2=0 (1) 
 a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt 
 b) Giải ph-ơng trình khi m= 5 
Bài 2: Cho ph-ơng trình :(m+2)x2 + 6mx + (4m +1)=0. Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép? 
Bài 3: Cho ph-ơng trình :m2x2 + mx +4 =0 . Tìm m để ph-ơng trình vô nghiệm? 
Bài 4: Cho ph-ơng trình :x2 -2(k-1)x + 2k -5 =0 
 a)CMR: Ph-ơng trình luôn có nghiệm? 
 b)Tìm k để ph-ơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n0 mang dấu gì? 
Bài 5: Xác định k để pt :3x2 - (2k+1)x +k2- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu? 
Bài 6: Xác định k để pt :x2- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu? 
Bài 7:Cho pt : 2x2 +14x +2m-3 =0 
 a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng - 3 .Tìm nghiệm thứ hai? 
 b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? 
Bài 8: Cho pt: x2-2mx+2m-1=0 
 a) m=? để ph-ơng trình có nghiệm kép 
b) m=? để ph-ơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n0 mang dấu gì? 
III.Bài toán liên quan giữa nghiệm ph-ơng trình và hệ thức Vi-ét: 
  Ph-ơng pháp: 
 Nếu pt bậc 2 :ax2+bx+c = 0 
 có 2 nghiệm x1, x2 thì tổng và tích các nghiệm đó là: 
1 2
1 2.
b
x x
a
c
x x
a

  

 

 Tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho tr-ớc. Nếu 
đk cho tr-ớc có chứa biểu thức x1
2+x2
2 hoặc x1
3+x2
3 thì cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: 
x1
2+x2
2=(x1+x2)
2-2x1x2 
 x1
3+x2
3=(x1+x)
3-3x1x2(x1+x2). 
 Tất nhiên các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa mãn đk 0 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 18 - 
Ví dụ: 
Bài 1:Cho ph-ơng trình bậc hai: x2- 2(m+1)x + m2 +3 =0 (1) 
 a) Tìm m để (1) có 2 n0 d-ơng? 
 b) Tìm m để (1) có 2 n0 x1,x2 thỏa mãn 22
77
1
2
2
1 
x
x
x
x
Bài 2:Cho ph-ơng trình : x2 +2kx+2-5k =0 (2) k: tham số 
a) Tìm k để pt(2) có n0 kép? 
b) Tìm k để (1) có 2 n0 x1,x2 thỏa mãn x1
2+x2
2=10 
Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 (1) 
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x. 
b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia? 
Bài 4: Cho ph-ơng trình: x2-2(m+2)x +m+1 =0 (x là ẩn) 
a) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu? 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình. Tìm giá trị của m để: x1(1-2x2)+x2(1-2x2)=m
2. 
Bài 5:Cho ph-ơng trình mx2-(m-4)x +2m =0. 
 Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2(x1
2+x2
2)-x1.x2=0. 
Bài 6:Cho ph-ơng trình x2-(m-1)x +5m-6=0. 
Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4x1+3x2=1 
Bài 7:Cho ph-ơng trình x2-2(m+1)x+m2+3=0. 
 Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : 2(x1+x2)-3x1.x2+9=0. 
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số? 
 Ph-ơng pháp: Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đ-ợc biểu 
thức không phụ thuộc vào tham số 
Ví dụ: 
Bài 1:Cho ph-ơng trình: x2-(k-3)x +2k+1 =0 có các nghiệm là x1,x2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các 
nghiệm độc lập với k. 
Bài 2:Cho ph-ơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 có các nghiệm là x1,x2. Tìm một hệ thức liên hệ 
giữa các nghiệm độc lập với k. 
Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m+1)x2-2(m-1)x+m =0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc 
lập với m?. 
Bài 4: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m-1)x2-2(m-2)2x +m+3=0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm 
độc lập với m?. 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 19 - 
Lập ph-ơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của chúng 
 Ph-ơng pháp: 
 - Lập tổng x1+x2 
 - Lập tích x1x2 
 - Ph-ơng trình cần tìm là X2-SX+P =0. 
* Ví dụ: 
 Bài 1:Lập ph-ơng trình bậc hai có các nghiệm là:a) 
3
1
và
2
1
;b) 3 và 5 ; c) 25  và 25  
Bài 2: Cho ph-ơng trình: x2+px+q =0(1) 
a) Không giải ph-ơng trình, hãy tính biểu thức:
   22
2
1 322
1
322
1




xx
A theo p và q 
 b)Không giải ph-ơng trình, hãy lập ph-ơng trình bậc 2 theo y có hai nghiệm là: 
1
1
1
1
1



x
x
y ; 
1
1
2
2
2



x
x
y 
c)Chứng minh rằng nếu ph-ơng trình (1) và ph-ơng trình x2+mx+n=0 
 có nghiệm chung thì :(n-q)2+(m-p)(mq-np)=0 
 Bài tập: 
Bài 1: Cho ph-ơng trình x2-mx +m-1 =0(1) 
a)CMR: (1) có nghiệm với mọi m.Tìm nghiệm kép nếu có của (1) và giá trị t-ơng ứng của m. 
b)Đặt A= x1
2+x2
2-6x1x2. 
 - CMR : A=m2-8m +8. 
 - Tìm m để A=8 
Bài 2:Cho ph-ơng trình : (m-4)x2-2mx+m-2=0 
 a) Giải ph-ơng trình khi m=18 
b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt. 
c) Tính x1
3+x2
3 theo m? 
Bài 3: Cho ph-ơng trình : x2-2(m+2)x+m+1=0 (1) 
a) Giải ph-ơng trình khi m=-3/2 
b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu 
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình.Tìm m để x1(1-2x2)+x2(1-2x1)=m
2. 
Bài 4: Cho ph-ơng trình : x2- 2mx+2m-1=0 
a) CMR: Ph-ơng trình luôn có nghiệm với mọi m. 
b) Đặt A= 2(x1
2+x2
2)-5x1x2 
 1.CMR: A= 8m2-18m+9 
 2. Tìm m để A=27 
 3. Tìm m sao cho ph-ơng trình nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia? 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 20 - 
 Chuyên đề 5: Mối t-ơng quan giữa đồ thị 
hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai 
 Ph-ơng pháp: 
 Cho Parabol (P): y=ax2 và đ-ờng thẳng (d): y=mx+b 
- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  ph-ơng trình ax2=mx+b có 2 nghiệm phân biệt 
 >0 (nghiệm của ph-ơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm) 
- ĐK để (d)