50 đề thi học sinh giỏi Toán 6

 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 1 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 2 
LỜI NÓI ĐẦU 
Quyển sách “50 đề thi học sinh giỏi toán 6” mà bạn đang 
cầm trên tay, là một trong những quyển sách được soạn thảo kỹ lưỡng 
của chúng tôi. Nó được trích lọc thông qua kinh nghiệm nhiều năm 
giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi của tác giả. Do đó, nó có chưa 
những loại toán và những phương pháp giải đặc trưng. Những phương 
pháp giải không những mang tính chất tư duy cao độ đối với chương 
trình toán 6. Mà nó còn chưa những kỹ năng lý luận của lớp 6 để được 
những kiến thức toán mang tầm cao hơn. 
Hiểu rõ những vấn đề này, chúng tôi giới thiệu đến bạn đọc 
quyển sách này để bổ sung và cũng là bước chuẩn bị cho các em học 
sinh khá giỏi đi đến con đường từ duy và sáng tạo toán học. Cũng 
chính vì điều này, học sinh có thể tự mình học hỏi những bài toán cũng 
như dạng toán một cách tự động lĩnh hội được. 
Cũng do quyển sách này được chúng tôi thiết kế trên tinh thần 
kích thích tính tự học của học sinh. Nên mỗi đề thi chúng tôi đã bố trí 
ngay phần hướng dẫn giải ngay ở bên cạnh. Hơn thế nữa, những bài 
tập có phần khó khăn khi giải của học sinh chúng tôi đều bố trí những 
phần ghi chú hoặc bổ sung kiến thức. 
Dù cố gắng nhiều, quyển sách chắc chắn không thể tránh khỏi 
một vài sai lầm. Mong quý bạn đọc gần xa chân thành góp ý. Liên hệ 
tác giả để được giải đáp và sở hữu quyển sách. Điện thoại: 
0905671232 - Email : quoctuansp@gmail.com 
Trân trọng! 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 3 
Câu 1: 
 a) Rút gọn A = 
108.6381.4227.21
36.2127.149.7


b) Tính B = 
1400
10
.........
260
10
140
10
56
10
 
c) So sánh 20092010 20092009  với 20102010 
Câu 2: Cho phân số A = 
35
10
n
n
 ( n Z ) 
a) Tìm n để A có giá trị nguyên 
b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó? 
Câu3: 
a) Tìm x  Z biết 
5
999999
131313
636363
131313
353535
131313
151515
131313
:
11
10
70.
3
2






x 
b) Chứng minh rằng nếu a, b  N và a + 5b  7 thì 10a + b cũng 
chia hết cho 7 
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau 
Câu 4: Cho  0 60AMC  . Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia 
phân giác của CMx, MT là tia phân giác của xMy 
a) Tính AMy 
b) Chứng minh rằng:  0 90CMT  
Câu 5: 
ĐỀ SỐ 1 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 4 
a) Cho S = 
2500
2499
..............
25
24
16
15
9
8
4
3
 
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên 
b) Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và 
loại 7 chỗ ngồi . Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi 
mỗi loại có mấy xe? 
---------------------------- 
Câu 1: 
a) Ta có biến đổi: 
 A = 
9
1
27.21
9.7
)4.33.21(27.21
)4.33.21(9.7
108.6381.4227.21
36.2127.149.7






b) Ta có biến đổi: 
B = 
1400
10
.........
260
10
140
10
56
10
B = 
700
5
.........
130
5
70
5
28
5
 
 B= 
28.25
5
.........
13.10
5
10.7
5
7.4
5
 
B= .(
3
5
)
28.25
3
.........
13.10
3
10.7
3
7.4
3
 
B= .(
3
5
14
5
28
6
.
3
5
)
28
1
4
1
.(
3
5
)
28
1
25
1
............
13
1
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 5 
c) Ta có biến đổi: 
 20092010 20092009  
= 2010.2009)12009(2009 20092009  
= 2010.20102010 20092010  
Vì: 20102009201020092009 20102009200920102009  
Câu 2 Ta có biến đổi: 
 a) 
35
6
2
35
6)35(2





nn
n
A 
Biểu thức A Z 
Khi và chỉ khi 

35
35
6
nZ
n
Ư(6) =  1, -1;2;-2;3;-3;6; -6 
Ta có bảng thống kê sau: 
5n - 3 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 
5n 4 2 5 1 6 0 9 -3 
N 1 0 
b) Ta có biến đổi: 
35
6
2
35
6)35(2





nn
n
A 
A có giá trị lớn nhất Khi và chỉ khi 
35
6
n
 có giá trị lớn nhất 
Do đó: 5n – 3 là số nguyên dương nhỏ nhất 
Nên: 5n – 3 = 2  5n = 5  n = 1 
Khi đó GTLN của A là 5 
Câu 3: 
a) Ta có biến đổi: 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 6 
5)
11.9
2
9.7
2
7.5
2
5.3
2
(
2
13
:
11
780
3
2
5)
99
13
63
13
35
13
15
13
(:
11
780
3
2




 xx 
6040
3
2
545
3
2
5)
33
8
.
2
13
(:
11
780
3
2
5)
11
1
3
1
(
2
13
:
11
780
3
2




 xxxxx 
b) Ta có biến đổi: 
 Xét hiệu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a 7 
Mà a + 5b  7 nên 5(10a + b)  7 
Do (5;7) = 1 suy ra 10a + b 7 (đpcm) 
c) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d 
Khi đó: 6n +5 d và 2n + 1d 
Suy ra:6n + 5 – 3(2n + 1) d do đó 2 d 
Mặt khác: Do d là ước của số lẻ 
Suy ra: d = 1 nên (2n + 1; 6n +5) = 1 
Câu 4: 
a) Vì góc xMC và góc CMA là hai góc kề bù 
Nên:  xMC =  12060180 
Vì My là tia phân giác của góc xMC 
Do đó: xMy= 60 mà góc xMy kề bù với AMy 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 7 
Nên:  AMy=  12060180 
b) Do MC là ti phân giác của góc AMy. 
MT là tia phân giác của yMx 
Mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù 
Suy ra: My năm giữa 2 tia MC và MT 
+    CMT CMY yMT  
 = .
2
1
 AMy+ 
2
1 yMx = 
2
1
.120 + 
2
1
.60 = 90 
Câu 5: 
a) Ta có biến đổi : 
2500
1
1...................
25
1
1
16
1
1
9
1
1
4
1
1 S 
 )
50
1
........
5
1
4
1
3
1
2
1
(1.............111
22222
 
 49 s/h B 
 = 49 – B 
B = 1
50
1
1
50.49
1
...........
4.3
1
3.2
1
2.1
1
50
1
..............
4
1
3
1
2
1
2222
 
Ta lại có: 
B = 
3
1
147
49
102
49
51
1
2
1
51.50
1
......... .
5.4
1
4.3
1
3.2
1
50
1
..............
4
1
3
1
2
1
2222
 
Suy ra:  1
3
1
B 48 < S < 49 (đpcm) 
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ 
 y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y *N ) 
 Ta có 12x + 7y = 64 (1) 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 8 
Ta thấy 12x  4 , 64 4 => 7y  4 mà (4;7) =1 => y 4.(2) 
 Từ (1) => 7y y y = 4; 8 
Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM) 
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn 
 Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ 
-------------------------------------- Hết --------------------------------- 
Bài 1: 
Tìm phân số lớn hơn 
17
4
, nhỏ hơn 
17
6
 và có mẫu số bằng 20. 
Bài 2 
Tìm các cặp số tự nhiên thảo mãn: Tổng của chúng bằng 240 và 
ước chung lớn nhất của chúng bằng 12. 
Bài 3: Một người đã cắt từ một sợi dây dài 
3
2
 mét lấy một đoạn 
dây dài 25 cm mà không phải dùng thước để đo. Hỏi người đó đã 
làm như thế nào. 
Bài 4 : Cho dãy số m+1, m+2, ... , m+10, với m là số tự nhiên. 
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều 
số nguyên tố nhất. 
Bài 5: Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ nhất có 495 vận 
động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn 
thể thao. 
ĐỀ SỐ 2 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 9 
Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số người 
quen như nhau. (Người A quen người B thì người B cũng quen 
người A). 
Bài 1: Gọi phân số phải tìm là 
20
a
, a là số tự nhiên 
17
4
<
20
a
<
17
6
 80 < 17a < 120 
 5 a = 6 
Bài 2: 
 Gọi số phải tìm là a, b. Giả sử a ≤ b 
 ƯCLN (a,b) = 12 ta có a = 12a1 và b = 12b1 
 Trong đó ƯCLN (a1,b1) = 1 
 Ta có: a + b = 240 = 12 (a1 + b1) 
 a1 + b1 = 20 
 Kết hợp với ƯCLN (a1,b1) = 1 ta có: 
a1 1 3 7 9 
b1 19 17 13 11 
 Thay vào ta tính được: 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 10 
A 12 36 84 108 
B 228 204 156 132 
 Kết luận: 
Bài 3: 
- Nhận xét được: 
6
1
2
1
3
2
 
 Mà 
3
2
4
1
6
1
 
- Nhận xét được: 
2
1
2
1
4
1
 
- Nhận xét được 
2
1
 chính là phép chia dôi sợi dây. 
- Nhận xét được 25 cm chính là 0,25 m = 
4
1
 sợi dây. 
- Kết luận. 
Bài 4: 
 + m = 0 ta có dãy số: 1; 2; 3; 4; ... ; 10. Trong dãy này có 
4 số nguyên tố. 
 + m = 1 ta có dãy số: 2; 3; 4; ... ; 11. Trong dãy này có 5 
số nguyên tố. 
 + m = 2 ta có dãy số: 3; 4; 5; ... ; 12. Trong dãy này có 4 
số nguyên tố. 
 + m ≥ 3 trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này 
đều lớn hơn 3 nên phải có 1 số lẻ là bội của 3 do đó nó không là 
số nguyên tố. Vậy m ≥ 3 thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố. 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 11 
 Do đó m = 1là số phải tìm. Khi đó ta có 5 số nguyên tố. 
Bài 5: 
 Giả sử có 1 người không quen ai trong số 495 vận động 
viên. 
 Như vậy 494 người còn lại có nhiều nhất là 493 người quen. 
 Ta chia thành nhóm số người quen: 
Nhóm 0 người quen gồm những người có số người quen bằng 0 
Nhóm 1 người quen gồm những người có số người quen bằng 1 
 .................. 
 .................. 
Nhóm 493 người quen gồm những người có số người quen bằng 
493 
Như vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493) . Mà có 495 người. 
Vậy theo nguyên tắc Dirichlet ít nhất có 1 nhóm người quen gồm 
2 hay ít nhất có 2 người có số người quen giống nhau. 
Giả sử có 1 người quen tất cả những người còn lại. Như vậy 494 
người còn lại có nhiều nhất là 494 người quen. 
Chia nhóm người quen: Có 494 nhóm người quen (từ 1 đến 494). 
 Kết luận. 
-------------------------------------- Hết --------------------------------- 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 12 
Bài 1: 
 Câu 1: Tính: 
 a)    2008.57 1004.( 86) : 32.74 16.( 48)     
 b) 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 –  + 2006 – 
2007 – 2008 + 2009 
 Câu 2: Cho: A = 
309
1
308
1
.................
5
1
4
1
3
1
2
1
 
 B = 
308
1
307
2
306
3
...................
3
306
2
307
1
308
 
 Tính 
B
A
? 
Bài 2: 
 Câu 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó 
cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. 
 Câu 2: Tìm x biết: 0
16
1
3
21
2







x
Bài 3: Cho a ; b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. 
Chứng minh rằng: (a – 1).( b – 1)  192 
Bài 4: 
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số abcd biết nó thoả mãn cả 3 điều kiện 
sau: 
1) c là chữ số tận cùng của số M = 5 + 52 + 53 +  + 5101 
2) abcd  25 
ĐỀ SỐ 3 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 13 
3) 2ab a b  
Bài 5: 
 Câu 1: Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 
thì dư 9? Giải thích? 
 Câu 2: Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, 
luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết 
cho 12. 
Bài 1: 
 Câu 1: 
 a) Kết quả : 
251
2

 = - 1 25,5 
b) Kết quả: 1 
Câu 2: 
B = 
308
1
307
2
306
3
...................
3
306
2
307
1
308
 
B = 1
308
1
1
307
2
1
306
3
1.........
4
305
1
3
306
1
2
307
1 



































 
B = 
309
309
308
309
307
309
..........
4
309
3
309
2
309
 
B = 309. 






309
1
308
1
.................
5
1
4
1
3
1
2
1
B = 309.A 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 14 

309
1
.309

A
A
B
A
Bài 2: 
 a) Gọi số tự nhiên phải tìm là x. 
- Từ giả thiết suy ra (x 20) 25  và (x 20) 28  và (x 20) 35  x+ 
20 là bội chung của 25; 28 và 35. 
- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 
Suy ra (x + 20) = k.700  k N . 
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra 
x 999 x 20 1019    suy ra k = 1 suy ra 
 x + 20 = 700 suy ra x = 680. 
b) Ta có biến đổi: 
- Từ giả thiết ta có: 
2
1 2 1
x 3 16
 
  
 
 (1) 
- Vì 
2
1 1
16 4
 
  
 
nên (1) xảy ra 
Khi và chỉ khi 
1 2 1
x 3 4
  hoặc 
1 2 1
x 3 4
   
- Từ đó tìm ra kết quả x = 
11
12
 hoặc x = 
5
12
Bài 3: 
- Chỉ ra dạng của a,b là: a =  212 k và b =  
2
2 1k  (Với k *N ) 
- Suy ra a – 1 = (2k – 1)(2k – 1) – 1 
 = ....... = 4k2– 4k + 1 – 1 = 4k.(k – 1) 
 + b – 1 = (2k + 1)(2k + 1) – 1 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 15 
= ....... = 4k2+ 4k + 1 – 1 = 4k(k + 1) 
 (a – 1)(b – 1) = 16k(k – 1)k(k + 1) 
Từ đó lập luận k(k – 1)k(k + 1)  4 và k(k – 1)(k + 1) 3 
Mà (4; 3 ) = 1  k (k – 1)k(k + 1) 4.3 
Suy ra (a – 1)(b – 1)  16.4.3 
 (a – 1)(b – 1)  192 (đpcm) 
Bài 4: 
- Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d N; 1 a  9; 
0 b;c;d 9  
- Lý luận dẫn đến M có chữ số tận cùng là 5 c = 5 
- Từ điều kiện: abcd  25, lý luận dẫn đến (10c + d)  25, từ đó 
tìm được d = 0 
- Từ điều kiện: ab = a + b2 
 10a + b = a + b2 
  9 a = b2 – b 
 9a = b(b – 1) 
Lý luận dấn đến b(b – 1)  0 và b(b – 1)  9 
Mà b và b -1 là hai số nguyên tố cùng nhau; 0 < b – 1< 9 b(b 
– 1)  9 chỉ khi b  9 
  a=8 
Kết luận: Số cần tìm 8950 
Bài 5: 
Câu 1: 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 16 
- Không thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì dư 9. Vì: 
nếu có số tự nhiên a mà khi chia cho 12 dư 9 thì a = 12.k + 9 ; 
 k N a 3  và a 3  a là hợp số, không thể là số nguyên tố. 
Câu 2: 
- Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số dư là một trong 
12 số sau: 0; 1; 2; ...; 11 
- Chứng minh tương tự câu 1 ta có: một số nguyên tố lớn hơn 3 
(bất kỳ) khi chia cho 12 không thể có số dư là 2; 3; 4; 6; 8; 10. 
- Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì 
được số dư là một trong 4 giá trị : 1; 5; 7; 11. 
- Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai nhóm : 
 + Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì 
dư 1 hoặc 11 . 
+ Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì 
dư 5 hoặc 7. 
- Giả sử p1; p2; p3 là ba số nguyên tố bất kỳ lớn hơn 3. Có ba số 
nguyên tố, chỉ nằm ở hai nhóm, theo nguyên lý Dirichle thì trong 
ba số nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai số nguyên tố cùng thuộc 
một nhóm , chẳng hạn p1 và p2 cùng thuộc một nhóm: 
 + Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số dư khác nhau (tức là dư 1 
và 11; hoặc 5 và 7) thì 
 p1 + p2 = 12 k1 + 1 + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12 
;  1 2;k k N suy ra p1 + p2 12 . 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 17 
 hoặc p1 + p2 = 12 n1 + 5 + 12 n2 + 7 = 12(n1+ n2) + 12 ; 
 1 2;n n N suy ra p1 + p2 12 . 
 + Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số dư bằng nhau thì hiệu p1 – 
p 2 12 . 
-------------------------------------- Hết --------------------------------- 
Câu1. Tính giá trị các biểu thức 
a) M = 1 +2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11- 
– 12 + .......- 299 – 300 + 301 + 302 
b) N = 
200.197
3
..............
17.14
3
14.11
3
11.8
3 2222
 
Câu2. 
a) Cho 200832 2..................2221 A ; 20092B 
 Chứng tỏ rằng : B – A = 1 
b) Cho C = 1111 Hỏi C là hợp số hay số nguyên tố? 
 2008 chữ số 1 
Câu3. 
a) Tìm x  N biết: 
11
3
55.53
20
...........
17.15
20
15.13
20
13.11
20
x 
ĐỀ SỐ 4 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 18 
b) Một quầy hàng trong ba giờ bán được 44 quả dưa hấu . 
Giờ đầu bán được 
3
1
 số dưa đó và 
3
1
 quả. Giờ thứ hai bán 
3
1
 số 
dưa còn lại và 
3
1
 quả. Hỏi giờ thứ ba bán bao nhiêu quả. 
Câu4. 
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số sau là phân số tối giản 
8
5
n
 ; 
9
6
n
 ; 
10
7
n
 ;  ; 
20
17
n
Câu5. Cho góc AOB. Gọi Oz là tia phân giác của góc AOB. Ot là 
tia phân giác của góc AOz. Tìm giá trị lớn nhất của góc AOt 
-------------------------- 
Bài 1: Ta có biến đổi: 
a) M = 1 + (2 – 3 – 4 + 5) + (6 – 7 – 8 + 9) + (10 – 11 – 12 
+ 13) +..(298 – 299 – 300 + 301) + 302 
= 1 + 302 = 303 
b) N = 3.( )
200.197
3
...............
17.14
3
14.11
3
11.8
3
 
 = 3.( )
200
1
197
1
..........
17
1
14
1
14
1
11
1
11
1
8
1
 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 19 
 = 3.(
25
9
)
200
1
8
1
 
Bài 2: 
 a) Ta có biến đổi: 
200832 2..................2221 A 
 2A = 2009200832 22..................222  
 A = 2A – A = 22009- 1 => B – A = 22009 – ( 22009 – 1) = 1 
 b)Ta có biến đổi: 
 C = 111.1 (có 2008 chữ số 1 ) 
= 102007+ 102006+ 102005+ 102004++ 103+ 102+ 10 + 1 
 = 102006(10 + 1) + 102004(10 + 1) 
 +..+ 102(10 + 1) + ( 10 + 1) 
 = 11.( 102006+ 102004+ ..+ 102+ 1)  11 
Do đó: C là hợp số 
Bài 3 
 a) Ta có biến đổi: 
11
3
)
55.53
2
...........
17.15
2
15.13
2
13.11
2
(10 x 
 Suy ra: x – 10
11
3
)
55
1
53
1
.........
17
1
15
1
15
1
13
1
13
1
11
1
(  
 Do đó: x – 10(
11
3
)
55
1
11
1
 
 Suy ra: x -
11
3
11
8
 
 Vậy: x = 
11
8
11
3
 => x = 1 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 20 
 b) Giờ đầu bán được : 
3
1
.44 + 
3
1
 = 15 ( quả) 
Còn lại 44 – 15 = 29 (quả) 
 Giờ thứ hai bán được : 
3
1
.29 + 
3
1
 = 10 (quả) 
 Giờ thứ ba bán được 44 – (10 +15) = 19 (quả) 
Bài 4: 
Các phân số đã cho có dạng 
)3(5
5
 n
; 
)3(6
6
 n
; 
)3(7
7
 n
;;
)3(17
17
 n
Hay 
)3(  na
a
 Để các phân số đó tối giản thì a và n + 3 phải là 
hai số nguyên tố cùng nhau (vì nếu chúng cùng chia hết cho d ≠ 
1 thì phân số rút gọn được cho d). 
Do vậy cần tìm n  N sao cho n + 3 nhỏ nhất nguyên tố cùng 
nhau với các số 5;6;;17 suy ra n + 3 = 19 => n = 16 
Bài 5: 
Do Oz là tia phân giác của góc AOB 
Nên  AOz = 
2
1 AOB 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 21 
Do Ot là tia phân giác của  AOz nên: AOt = 
2
1  AOz 
=> AOt= 
2
1  AOz = 
4
1 AOB . Mà AOB ≤ 180 
=> AOt ≤ 
4
1 AOB = 
4
1
.180 = 45 
-------------------------------------- Hết --------------------------------- 
Bài 1: 
a. Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội 
của 3. 
b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004. Chứng minh S 
chia hết cho 126 và chia hết cho 65. 
Bài 2 : 
Tìm số tự nhiên x biết : 
 a. 2029099 2010) (x 2)(x 1)(x x  
 b. 210 2x 8 6 4 2  
Bài 3: 
 Thực hiện so sánh: 
ĐỀ SỐ 5 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 22 
a. A = 
12009
12009
2009
2008


 với B = 
12009
12009
2010
2009


b. C = 1. 3. 5. 7  99 với D = 
2
100
...
2
53
.
2
52
.
2
51
Bài 4: 
Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng 
7
3
 số còn lại. Cuối năm 
có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 
3
2
số 
còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A. 
Bài 5: 
Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. 
a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì 
2
CBCA
CM

 
b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì 
2
CBCA
CM

 . 
Bài 1: 
- ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab . 
- Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay 
ababab là bội của 3. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 23 
Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 
+ 53) 
= 5. 126 + 52.126 + 53.126 
 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126. 
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) 
+  + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56). 
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó 
chia hết cho 126. 
Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130. 
 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 . 
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + 
  + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) 
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó 
chia hết cho 130. 
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65. 
Bài 2 : 
-  2029099 2010 21 2011x  
-  2029099
2
2011.2010
2011 x 
- 
2
2011.2010
- 20290992011 x 
-  





 2011:
2
2011.2010
- 2029099x 4 
-  210 x) 3 2 2(1  
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 24 
-  210
2
)1(
2 
xx
-  210)1( xx 
- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 
Bài 3: 
- Thực hiện qui đồng mẫu số: 
C = 
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20102009
200820104018
20102009
20102008





D = 
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20092010
200920094018
20092010
20092009





)12009(200920092009 2200820082010  
)20092009(200920092009 200820092009  
Do )12009( 2  > )20092009(  nên C > D 
(Có thể chứng tỏ C - D > 0 để kết luận C > D). 
Cách khác: Có thể so sánh 2009 C với 2009 D trước. 
100...6.4.2
00.2.4.6...1 99 7 5. 3. 1.
 99 7 5. 3. 1. A 

 
)2.50)..(2.3).(2.2).(2.1(
00.2.4.6...1 99 7 5. 3. 1. 
 
2...2.2.2.50...3.2.1
100...53.52.51.50...3.2.1
 
2
100
...
2
53
.
2
52
.
2
51
 
Bài 4: 
- Số học sinh giỏi kỳ I bằng 
10
3
 số học sinh cả lớp. 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 25 
- Số học sinh giỏi cuối bằng 
5
2
 số học sinh cả lớp. 
- 4 học sinh là 
5
2
- 
10
3
 số học sinh cả lớp. 
- 
10
1
số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4 : 
10
1
= 40. 
Bài 5: 
CA = MA + CM 
CB = MB - CM 
Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 
 
2
CBCA
CM

 
CA = CM + MA 
CB = CM – MB 
Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 
 
2
CBCA
CM

 
-------------------------------------- Hết --------------------------------- 
Bài 1: Tìm x biết: 
A B M C 
A B M C 
ĐỀ SỐ 6 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 26 
a. 
4
3
x + 
3
1
 = - 
2
1
 b. 
4
x
 = 
x
9
 c. 12 x = 5 
Bài 2 
 Một lớp học có chưa đến 50 học sinh, cuối năm học có 30% 
số học sinh xếp loại giỏi, 
8
3
 số học sinh xếp loại khá còn lại là 
học sinh xếp loại trung bình. Tính số học sinh xếp loại trung bình 
của lớp. 
Bài 3 Cho A = 
2 3
1
n
n


a. Tìm n là số nguyên sao cho giá trị A củng là một số 
nguyên. 
b. Chứng minh rằng với mọi n là số nguyên dương thì A là một 
phân số tối giản. 
Bài 4 
 Cho góc bẹt x0y.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy vẽ các 
tia Oa và 0b sao cho 
 xOa = 30 0 , yOb = 50 0 . 
a. Chứng tỏ tia Oa nằm giữa hai tia Ox và Ob và hãy tính 
aOb . 
b. Nếu xOa = m 0 và yOb = n 0 biết m 0 + n 0 > 180 0 .Chứng tỏ 
tia 0b nằm giữa hai tia Ox và Oa và hãy tính aOb . 
Bài 5 Cho M = 
2
1
2
 + 
2
1
3
 + 
2
1
4
+ .....+ 
2
1
2009
+ 
2
1
2010
Chứng minh rằng M < 1. 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 27 
Bài 1: 
a. Ta có biến đổi: 
3
4
x = -
1
2
 - 
1
3
 = -
5
6
 x = -
5
6
 : 
3
4
 x = -
5
6
.
4
3
 x = -
10
9
b. -x 2 = - 36 hay x 2 = 36 
Vậy x = 6 hoặc x = - 6 
c. 2x – 1 = 5 
  x = 3 
Hoặc 2x – 1 = -5 
  x = - 2 
Bài 2: 
Đổi 30% = 
3
10
Số hs của lớp phải là bội chung của 8 và 10 
Và số hs của lớp nhỏ hơn 50 
Nên số hs của lớp đó là 40 
Số hs trung bình chiếm là 1- 
3
10
 - 
3
8
 = 
13
40
HƯỚNG DẪN GIẢI 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 28 
Vậy số hs xếp loại trung bình là 13 
Bài 3: 
a. A = 2 + 
1
1n 
 Để A nguyên thì 
1
1n 
 phải nguyên mà n+ 1 nguyên 
nên n + 1 phải là ước của 1. 
 Vậy n+ 1 = 1 hay n = 0. 
Hoặc n + 1 = - 1 hay n = -2 
b. Gọi d = UCLN( 2n + 3 , n+1) 
Ta có : 2n + 3  d và n+ 1  d 
 {( 2n + 3) –2( n +1) } d vậy 1  d 
Vậy d = 1và mẫu lớn hơn một nên A là phân số tối giản với n 
nguyên dương 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 29 
Vì tia Oa nằm giữa hai tia Ox và Ob 
Từ đó ta có : xOa + aOb = xOb 
Nên aOb = xOb - xOa = 130 0 - 30 0 =100 0 
 b a 
 m 0 n 0 
 x O y 
 Ta có xOb + yOb = 180 0 Nên xOb = 180 0 - n 0 
 Vậy xOa - xOb = m 0 - (180 0 - n 0 ) = m 0 + n 0 -180 0 > 0 
 Nên xOb < xOa tia Ob nằm giữa hai tia Ox và Oa 
Mà xOa - xOb = aOb = m 0 + n 0 -180 0 
Bài 5: 
Bài 4: 
 a b 
 30 0 50 0 
 x O y 
Ta có xOb + yOb = xOy 
 nên xOb = 180 0 - 50 0 = 130 0 
 xOa < xOb nên tia Oa nằm giữa hai tia Ox và Ob 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 30 
 Ta có: 
2
1
2
< 
1
1.2
 ,
2
1
3
 < 
1
2.3
...........
2
1
2010
 < 
1
2009.2010
 Nên M < 
1
1.2
 + 
1
2.3
+...+ 
1
2008.2009
+ 
1
2009.2010
-------------------------------------- Hết --------------------------------- 
Câu 1 
 a) Tìm x, biết 
3
8 7516 : 9
21 10
x
 
 
 
 
 

  
 b) Tính giá trị của biểu thức 
1 1 1 1 1
A 1
3 6 10 15 120
        
Câu 2 
 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn   1 2 5 8x y   . 
 b) Tìm các giá trị nguyên của n để B
6n 3
3n 1



 có giá trị là 
một số nguyên. 
Câu 3: 
 = 
1
1
 - 
1
2
 + 
1
2
-
1
3
+....+
1
2008
- 
1
2009
+ 
1
2009
- 
1
2010
 Hay M < 1 - 
1
2010
 Vậy M < 1 
ĐỀ SỐ 7 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 31 
 a) Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a, b) =300; ƯCLN(a, 
b) = 15. 
 b) So sánh hai số 6655 và 5566 . 
Câu 4 : 
 Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt 
phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ ba tia OC, OD, OE sao cho 
  0 0 0BOC 38 ; AOD 98 ; AOE 54   . 
 a) Tính số đo các góc  BOD; BOE ? 
 b) Chứng tỏ OD là tia phân giác của góc COE. 
Câu 5: 
 Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức 
6n +1
S = 
2n + 5
 đạt giá 
trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó? 
Câu 1 
 a) Tìm x, biết 
3
8 7516 : 9
21 10
x
 
 
 
 
 

  ; 
 b) Tính giá trị của biểu thức 
1 1 1 1 1
A 1
3 6 10 15 120
        
a) Ta có biến đổi: 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 32 
3
8 7516 : 9
21 10
3
8 75 9 16 :
21 10
3
8 1605 9
21 7
x
x
x
 
 
 
 
 



 

 

 
9
97
7
97
21
7
3
8 1605
21 7
3
8
5
21
3
8
5
x
x
x

 
 

 

 
3
x 8 291
5
3
x 291 8
5
3
x 283
5
3
x 283 :
5
1415
x
3
  
  
 
 
 
b) Ta có biến đổi : 
1
2 1.2
1 1 1 1 1 1
A
2.3 3.4 4.5 5.6 15.16
       (Nhân cả hai vế với 
1
2
) 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 33 
1
1
2 2 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15
A 1
3 4 5 6 15 16 16 16
               
Suy ra A :
15 1 30 15
16 2 16 8
   
Câu 2 
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn   1 2 5 8x y   . 
b) Tìm các giá trị nguyên của n để B
6n 3
3n 1



 có giá trị là một số 
nguyên. 
a) Vì x, y là các số nguyên thỏa mãn   1 2 5 8x y   
Nên 2 5y  thuộc ước của 8, 
Mà 2 5y  là số lẻ nên 2 5y  =  1. 
Nếu 2 5y  = 1 thì x + 1 = 8 => x = 7 và y = 3 (Thỏa mãn). 
Nếu 2 5y  = -1 thì x + 1 = -8 => x = -9 và y = 2 (Thỏa mãn). 
Vậy các cặp số nguyên (x, y) cần tìm là (7; 3); (-9; 2). 
b) Ta có biến đổi: 
 
B
6n 2 5
B
3n 1
2 3n 1 5
B
3n 1
5
B 2
3n 1
6n 3
3n 1

 


 


 



 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 34 
Với n là số nguyên, để B có giá trị là một số nguyên thì 3n + 1 là 
ước của 5. 
+ Nếu 3n + 1 = 1 thì n = 0; thử lại B nhận giá trị nguyên là -3 
+ Nếu 3n + 1 = -1 thì loại; 
+ Nếu 3n + 1 = 5 thì loại; 
+ Nếu 3n + 1 = -5 thì n = -2; thử lại B nhận giá trị nguyên là 3 
Vậy n = 0 hoặc n = -2 thì B nhận giá trị nguyên. 
Câu 3 
a) Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a, b) =300; 
và ƯCLN(a, b) = 15. 
b) So sánh hai số 6655 và 5566 . 
a) Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > 0. 
Ta có: ab = BCNN(a, b) . ƯCLN(a, b) = 300.15 = 4500. 
Vì ƯCLN(a, b) = 15 
Nên a = 15m; b = 15n với m > n và (m, n) = 1 với m và n là 2 số 
tự nhiên. 
Do đó 15m. 15n = 4500, suy ra mn = 20. Lập bảng 
M 20 5 
A 300 75 
N 1 4 
B 15 60 
Vậy (a, b) = (300, 15) ; (15, 300) ; (75, 60) ; (60, 75). 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 35 
b) Ta có:    55
11 116 555 ; 66 66
6655   
Vì 56 6 5 5 5 5. . . ; .655 5 11 15625 11 11 66 6 11 7776.11    nên 5655 66 
Suy ra 6655 > 5566 
Câu 4 
 Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa 
mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ ba tia OC, OD, OE sao cho 
  0 0 038 ; 98 ; 54BOC AOD AOE   . 
 a) Tính số đo các góc  ;BOD BOE ? 
b) Chứng tỏ OD là tia phân giác của góc COE. 
Hướng dẫn giải 
a) Vì góc AOD và BOD là 2 góc kề bù 
Nên    0 0 0 0180 98 180 82AOD BOD BOD BOD       
Vì góc AOE và BOE là 2 góc kề bù 
Nên   0 0 0 0180 54 180 126AOE BOE BOE BOE       
b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB có góc   BOC BOD 
Nên tia OC nằm giữa 2 tia OB và OD (1) ta có 
    0 0 038 82 44BOC COD BOD COD COD       (2) 
O B A 
E 
D 
C 
 50 đề thi học sinh giòi toán 6 
Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập của Website: Xuctu.com Trang 36 
Trên cùng nửa mp bờ AB có góc AOE < AOD 
Nên tia OE nằm giữa 2 tia