Tóm tắt kiến thức cơ bản Toán 9

Tóm tắt kiến thức cơ bản
Phần đại số
Chương I 
căn bậc hai - căn bậc ba
1/ Khái niệm căn bậc hai:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương ký hiệu là và số âm là -.
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết .
+ Số a âm không có căn bậc hai, viết với a < 0 không có nghĩa.
2/ Căn bậc hai số học: Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
+ Với hai số a và b không âm, a < b.
3/ Căn thức bậc hai:
+ Nếu A là một biểu thức đại số thì được gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
+ Điều kiện có nghĩa hay điều kiện xác định của là A 0.
+ Với mọi số A, ta có (hằng đẳng thức ).
4/ Khai phương một tích, một thương:
	+ Với hai số a và b không âm, ta có .
Kết quả này có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
	+ Với số a không âm và số b dương ta có 
5/ Bảng căn bậc hai:
	+ Muốn tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100, ta tra bảng căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mười) rồi theo dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta được giá trị gần đúng của căn bậc hai cần tìm.
	+ Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần phải theo hướng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6 ... chữ số thì phải dời dấu phẩy trong số đi 1, 2, 3 ... chữ số sang trái (hoặc sang phải) và sẽ được cần tìm.
6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:
Với hai biểu thức A, B mà B 0 ta có: 
	+ Với A 0 và B 0 thì 
	+ Với A < 0 và B 0 thì 
	+ Với các biểu thức A, B mà A.B 0, B 0 thì:
	+ Với các biểu thức A, B mà A.B 0, ta có:
	+ Với các biểu thức A, B, C mà A 0, A B2 ta có:
	+ Với các biểu thức A, B, C mà A 0,B 0,AB ta có:
7/ Căn bậc ba:
	+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a. 
	+ Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
	+ Kí hiệu căn bậc ba của a là tức là () = a.
	+ Căn bậc ba của số dương là một số dương, căn bậc ba của một số âm là một số âm, căn bậc ba của số 0 là số 0.
	+ a > b 
	+ Với mọi số a, b, 
	+ Với mọi số a, b mà b 0 thì 
Chương II
Hàm số bậc nhất
1/ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y, thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số.
2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x: f(x)) trên mặt phẳng toạ độđược gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)
3/ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá trị x1, x2 (a, b) mà x1< x2 thì f(x1) < f(x2)
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá trị x1, x2 (a, b) mà x1 f(x2)
4/ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức 
	y = ax + b
	trong đó a, b là các số cho trước và a 0
	+ Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R, đồng biêt khi a > 0, và nghịch biến khi a < 0.
5/ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là môt đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b va song song với đường thẳng y = ax nếu b 0 trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.
 + Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) ta xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm Q(-; 0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q.
6/ Hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a’x + b’ (a’ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b = b’.
	* Hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a’x + b’ (a’ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a a’.
7/ Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox được hiểu là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đố A là giao điểm của đường thẳng = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng = ax + b và có tung độ dương (hình dưới)
A x
y = ax + b
T
O
y
a < 0
y = ax + b
T
A
O x
y
a > 0
	* Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.
Chương IiI 
hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng
ax + by = c 	 (1)
 trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a 0 hoặc b 0).
+ Nếu tại x = x0 và y = y0 mà vế trái của phương trình (1) có giá trị bằng vế phải thì cặp số (x0; y0) được gọi là nghiệm của phương trình đó. Đồng thời mỗi nghiệm (x0; y0) của phương trình (1) được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ(x0; y0) trong mặt phẳng toạ độ Oxy.
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là đường thẳng (d).
2/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng
(I) 
Trong đố ax + by = c và a’x + b’y = c’ là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Nếu hai phương trình của hệ (I) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ.
+ Nếu hai phương trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó.
3/ Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại.
	Trong một hệ phương trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ để được một phương trình mới. Phương trình mới này cùng với một trong hai phương trình của hệ lập thành một hệ tương đương với hệ đã cho.
4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới rong đó có một phương trình một ẩn; giải phương trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
5/ Nhân các vế của hai phương trình với hệ số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là được một phương trình một ẩn; giải phương trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết.
Lập hệ hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết luận.
Chương Iv 
Hàm số y = ax2 (a 0). phương trình bậc hai một ẩn
1/ Hàm số y = ax2 (a 0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.
2/ Hàm số y = ax2 có các tính chất:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0
Nếu a 0
Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)
Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)
3/ Đồ thị hàm số là một đường cong (được gọi là parabol với đỉnh O(0; 0)) đi qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị.
Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tương ứng của x và y. Ngoài ra có thể vẽ bằng các cách được mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu trên trang vở có dòng kẻ hoặc biết một điểm khác O(0; 0) của nó.
4/ 	a) Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0. (1) 
b) Có hai cách cơ bản để giải (1): 
+ Phân tích vế trái (1) ra thừa số:
a(x – m)(x – n) = 0 
+ Bằng cách biến đổi tương đương để đưa (1) về dạng 
 	(2)
Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.
5/ Đặt = b2 – 4ac. Gọi là biệt thức của phương trình (1)
+ Nếu > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt
x1 = ; 	x2 = 
+ Nếu = 0 thì (1) có nghiệm kép x1 = x2 = 
+ Nếu < 0 thì (1) vô nghiệm.
6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn: 
Nếu đặt b’ = và = b’2 – ac:
+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = ; 	x2 = 
+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
7/ Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì có định lý Vi-ét:
x1 + x2 = -; x1.x2 = 
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1 và một nghiệm x2 = 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1 và một nghiệm x2 = -.
8/ a) Để giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a 0), thường đặt ẩn phụ t = x2 (t 0) và đưa về phương trình bậc hai ẩn t. Lấy những nghiệm không âm của phương trình này và từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho.
b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bước:
	+ Tìm điều kiện xác định của phương trình
	+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức
	+ Giải phương trình vừa thu được
	+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện.
	c) Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0. Để giải ta giải riêng biệt đối với hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0. Nghiệm của phương trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phương trình trên.
9/ Để giải toán bằng cách lập phương trình ta tiến hành theo các bước:
	Bước 1: Lập phương trình: 
+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn; 
+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số; 
+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã biết.
	Bước 2: Giải phương trình vừa lập được.
	Bước 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đưa ra đáp số.
Phần hình học
Chương I
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
1/ Hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông:
+ b2 = ab’; c2 = ac’
+ h2 = b’c’
+ ah = bc
+ 
 A
 c h b
 B c’ b’
 a
2/ Tỷ số lượng giác của góc nhọn: 
Cạnh đối
Cạnh huyền
Cạnh kề
Cạnh huyền
sin = 
cos = 
Cạnh kề
Cạnh đối
tg = 
Cạnh đối
Cạnh kề
cotg = 	
 + = 900 ( và là hai góc phụ nhau) thì:
sin = cos, cos = sin
tg = cotg, cotg = tg
 cạnh kề cạnh đối
 Cạnh huyền
 A
 C B
3/ Hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông: A
Trong tam giác vuông ABC, = 900 ta có hệ thức:
 c h b
 C c’ b’ B
	 a	
+ b = a sin B = a cos C	b = c tg B = c cotg C
+ c = a sin C = a cos B	c = b tg C = b cotg B
4/ Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác:
+ sin ; cos ; tg = ; cotg = ; 
+ 1 + tg2 = ; 1 + cotg2 = .
Chương II
đường tròn
1/ Định nghĩa, sự xác định, tính chất dối xứng của đường tròn:
Định nghĩa: 
Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khỏng R không đổi ( R > 0) gọi là đường tròn tâm O bán kính R.
Ký hiệu là: (O; R) hoặc (O)
Cung tròn là một phần của đường tròn được giới hạn bởi hai điểm. 
C
B
A
R
O
Hai điểm này gọi là hai mút của cung. Chẳng hạn cung AC (AC), cung BC (BC)
Dây cung là một đoạn thẳng nối hai mút của một cung. Chẳng hạn dây cung BC.
Đường kính là dây đi qua tâm.
Định lý: Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.
Sự xác định của đường tròn: Định lý: Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng chỉ vẽ được một đường tròn và chỉ một mà thôi.
Tính chất đối xứng: 
Định lý 1: Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Định lý 2: (Đảo của 1). Đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không là đường kính) thì vuông góc với dây ấy.
Định lý 3: Trong một đường tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Dât lớn hơn thì gần tâm hơn.
Dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
2/ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
Đường thẳng có thể cắt, tiếp xúc hoặc không cắt đường tròn.
Tiếp tuyến của đường tròn:
Định nghĩa: 
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.
Các định lý về tiếp tuyến:
Định lý 1: Nếu một đường thẳng a là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với tiếp tuyến qua tiếp điểm.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng a đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
O
 a
3/ Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
4/ Vị trí tương đối của hai đường tròn: (Ba vị trí tương đối)
Hai đường tròn cắt nhau (có hai điểm chung)
Định lý: Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung ấy. 
OO’ AB, tại H là trung điểm của AB.
Hai đường tròn tiếp xúc nhau là hai đường tròn chỉ có một điểm chung, điểm chung đó gọi là tiếp điểm.
OO’ = R + r (tiếp xúc ngoài); OO’ = R = r > 0 (tếp xúc trong)
Hai đường tròn không cắt nhau (không có điểm chung.
+ Ngoài nhau: OO’ > R + r.
+ Đựng nhau: OO’ < R + r
H
B
A
R
O’
O
r
Chú ý: 
+ Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác hay tam giác nội tiếp đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.
+ Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia. Tâm của đường tròn bàng tiếp là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài với tia phân giác góc trong còn lại.
+ Hai đường tròn trong nhau không có tếp tuyến chung.
Hai đường tròn (không trong nhau) có thể có nhiều tiếp tuyến chung.
Chương III
Góc với đường tròn
1/ Góc ở tâm. Cung và dây:
a) Định nghĩa:
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn
Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 với số đo của cung nhỏ có chung hai đầu mút vơíi cung lớn đó.
Số đo của nửa đường tròn bằng 3600.
b) So sánh hai cung: (chỉ so sánh hai cung trên một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau).
Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn gọi là cung lớn hơn.
c) Điểm nằm trên cung: Điểm C nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng tổng số đo cung AC với số đo cung CB. 
d) Liên hệ giữa cung và dây: 
Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng hau,
Hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nahu.
Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đương tròn bằng nhau:
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
2/ Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và dây cung:
Góc nội tiếp: 
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đườngtròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Chẳng hạn góc BAC là góc nội tiếp của đường tròn (O).
Định lý: Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
sđ sđ BC
A
C
B
. O
 * Hệ quả: Trong một đường tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau, chắn các cung bằng nhau’
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+ Góc nộit iếp (nhỏ hơn 900) có sđ bằng nửa sđ của góc ở tâm cùng chắn một cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
C
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung:
* Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây AB
* Định lý. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung băng nửa số đo của cung bị chắn. 
 sđ sđ AB
Hệ quả: Trong một đường tròn góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 
D
A
B
c) Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn:
D
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, cung chức góc.
+ Góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc PNQ cũng gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
+ Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
sđ (sđ CB + sđ CD)
Q
A
B
C
E
P
N
M
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
+ Góc BMD là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
+ Định lý 2: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
sđ (sđ BD – sđAC)
B
D
A
C
Cung chứa góc: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc (00 < < 1800) là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB
M
A
B
O
3/ Tứ giác nội tiếp. Đường tròn nội ngoại tiếp:
Tứ giác nội tiếp: 
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 1800.
Định lý đảo. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì nội tiếp được đường tròn.
Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp.
Đường tròn đi qua các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
Đường tròn tiếp xác với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
4/ Chu vi, diện tích hình tròn:
Độ dài đường tròn, cung tròn.
 * Độ dài đường tròn: C = 2R.
* Trên đường tròn bán kính R, độ dài của cung tròn n là: 
Diện tích hình tròn và quạt tròn.
Diện tích hình tròn: S = R2
Diện tích hình quạt tròn bán kính R cung n0
 S = hay S =