Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 7

Toán BDHS Giỏi Hình học 7
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có và . Gọi Ax là tia đối của tia AB, đường phân giác của góc cắt phân giác tại D. Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD tại E. So sánh độ dài AC và CE.
	Giải:
Gọi Cy là tia đối của tia CB. Dựng DH, DI, DK lần lượt vuông góc với BC. AC, AB. Từ giả thiết ta suy ra DI = DK; DK = DH nên suy ra DI = DH ( CI nằm trên tia CA vì nếu điểm I thuộc tia đối của CA thì DI > DH). Vậy CD là tia phân giác của và là góc ngoài của tam giâc ABC suy ra .
 Mặt khác . Do đó, nên cân tại C. Vậy CA = CE
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm. Các đường trung tuyến BD và CE có độ dài theo thứ tự bằng 9 cm và 12cm. Chứng minh rằng: 
Giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có:
. Tam giác BGC có hay . Suy ra vuông tại G hay 
Bài toán 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi M, N theo thứ tự trung điểm của BC và CE. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh rằng BI = IK = KE
	Giải:
Do AM và BD là hai trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: 
Ta có K là trọng tâm tam giác ACE nên (2)
Mà BD = DE từ (1) và (2) suy ra BI = EK (3) . Mặt khác, ta lại có: và suy ra ID = KD ( do BD = ED ) nên (4). Từ (3) và (4) suy ra BI = IK = KE.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm. Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm)
	Giải:
Trên tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho DM = DG khi đó AG = GM = ; ; nên suy ra (so le trong) nên BM//CG và MB = CG mà . Mặt khác, ta có hay . Suy ra vuông tại G. Theo định lý Pythagore ta có . Vậy BC = 2BD =	
Bài toán 5: Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giác lớn hơn chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác ấy.
	Giải:
Ta có ; ; nên suy ra hay (1)
Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà 
 nên .
 Tương tự ta có ; . Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta có:
 (2). 
Kết hợp (1) và (2) suy ra (đpcm)	
Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Vẽ các điểm M, N sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là giao điểm của AC và DM. Chứng minh N, E, K thẳng hàng.
	Giải:
Tam giác MND có BE = EC = CM nên mà MB là trung tuyến nên E là trọng tâm suy ra NE là trung tuyến của tam giác NMD. Mặt khác, DE //AC do DE là đường trung bình của tam giác ABC hay DE // KC mà C là trung điểm của ME nên K là trung điểm của DM. Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA. Gọi N là trung điểm của EC. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua N
	Giải:
Tam giác AEC có CI là đường trung tuyến (vì IE = IA) nên nên M là trọng tâm của tam giác AEC do đó AM đi qua N
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và . Tia phân giác của cắt AC tại E.
Tia phân giác cắt BE tại I. Chứng minh rằng tam giác AIE vuông cân.
Chứng minh rằng HE là tia phân giác 
Giải:
a) Chứng minh vuông cân:
Ta có nên tam giác AHC vuông tại H nên (1). Do AI là phân giác của nên mà (gt) nên (2). Từ (1) và (2) suy ra nên tam giác AIE vuông tại A. Ta có ; Do là góc ngoài của tam giác BIA nên nên tam giác AIE vuông cân
b)Chứng minh HE là tia phân giác 
Ta có mà AI là phân giác trong của tam giác BAH nên AE là phân giác ngoài của tam giác ABH tại A. BE là phân giác trong của tam giác ABH suy ra HE là phân giác ngoài tại 	
Bài toán 9: Cho tam giác ABC có góc . Đường phân giác AD, đường phân giác ngoài tại C cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tính số đo của góc BED
	Giải:
Tam giác ADC có hai phân giác ngoài tại A và C cắt nhau tại K nên DK là phân giác trong của 
Trong tam giác BAD có AE và DE là hai phân giác ngoài của các góc A và D cắt nhau tại E nên BE là phân giác trong của góc B.
 là góc ngoài của tam giác BDE nên ta có mà ( do DE là phân giác ) suy ra 
Bài toán 10: Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF.
Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB
Tính 
Giải:
Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB. 
Tam giác BAD có AE và BE là hai phân giác ngoài và trong tại đỉnh A và B (Do ) nên DE là phân giác ngoài của tam giác ABD.
Tính 
Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và trong tại các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài của góc D của tam giác ADC suy ra DE là phân giác trong tại đỉnh D nên hay 
	Bài toán 11:Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuông góc với AB . Gọi E là một điểm thuộc đoạn AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho . Chứng minh FM là tia phân giác của góc 
	Giải:
Tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM là phân giác . Tam giác AEF có AM là phân giác trong tại góc A nên ta phảI chứng minh EM là phân giác góc ngoài tại E của tam giác AEF.
Thật vậy, Do tam giác EMH vuông tại H nên mà 
 (gt) nên . Do đó . Mặt khác ta có . Từ (1) và (2) suy ra = hay EM là phân giác của . Tia phân giác trong AM của góc A và tia EM là phân giác ngoài của tam giác AEF cắt nhau tại M nên FM là phân giác ngoài của hay FM là phân giác 	
	Bài toán 12: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I và 
ID = IE. Chứng minh rằng = hay + 
	Giải:
Qua I kẻ và , Do I là giao điểm của hai đường phân giác nên và nên (cạnh huyền, cạnh góc vuông) nên suy ra (1) 
Trường hợp thì ta có ( là góc ngoài của ) (2)
 ( là góc ngoài của ) (3) . Từ (1); (2) và (3) 
Nếu và thì suy ra tương tự trên ta có 
	Nếu và thì 
 và thì . 
Vậy cả bốn trường hợp trên ta luôn có = hoặc 
Bài toán 13: Cho tam giác ABC. Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giác EBC có chu vi nhỏ nhất.
	Giải:
Chu vi tam giác EBC nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng EB + CE nhỏ nhất. Vẽ vuông góc với phân giác ngoài tại góc A cắt AC tại D vì đường thẳng a ( đường phân giác ngoài tại đỉnh A) cuả tam giác ABC nên a là đường trung trực của BD nên EB = ED . Do đó với mọi điểm E thuộc a ta có xảy ra dấu đẳng thức thì E nằm giữa D và C. Vậy thì chu vi tam giác EBC nhỏ nhất
	Bài toán 14: Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.
Giải:
Ta có AB là đường trung trực của MD nên ( 1)
AC là đường trung trực của ME nên (2) Từ (1) và (2) suy ra nên tam giác ADE cân tại A và 
 không đổi nên DE đạt nhỏ nhất nếu AD nhỏ nhất. với xảy ra dấu bằng khi khi đó DE đạt giá trị nhỏ nhất.
	Bài toán 15: Cho A nằm trong góc nhọn. Tìm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
	Giải:
Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox
Nên Oy, Ox lần lượt là các đường trung trực của AD và AE. Khi đó ta có CA = CD và BE = BA nên chu vi của tam giác ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Do đó có chu vi nhỏ nhất ở vị trí 
	Bài toán 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc cắt BC tại D, tia phân giác của góc cắt BC tại E. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC là giao điểm các đường trung trực của tam giác ADE
	Giải:
Ta có là góc ngoài của tam giác ADB nên 
. Mặt khác ta có: mà ( cùng phụ với ); (Do AD là tia phân giác của nên . Vậy tam giác CAD cân tại C mà CK là đường phân giác nên CK cũng là đường trung trực của AD.
Tương tự cân tại E mà BP là đường phân giác nên BP cũng là đường trung trực của AE. Nên M là giao điểm của hai đường phân giác CK và BP cũng là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ADE.
Bài toán 17:Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm E và D theo thứ tự di chuyển trên hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định	
Giải:
 Khi . Đường trung trực của DE chính là đường trung trực của AB
Khi . Đường trung trực của DE chính là đường trung trực của AC. 
Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực AB và AC. Ta phải chứng minh đường trung trực của DE đi qua O.
Ta có tam giác ABC cân tại A nên O nằm trên đường trung trực của BC. Suy ra AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH = KE và OH = OK nên . Do đó OD = OC. Vậy mọi đường trung trực của DE đều đi qua một điểm cố định O
Khai thác bài toán trên:
Nếu bất kỳ với AC > AB và BD = CE thì các đường trung trực của DE luôn đi qua điểm cố định nào?
Tìm điểm đặc biệt: 
Khi . Đường trung trực của DE chính là đường trung trực của BC. 
Khi . Với .Đường trung trực của AG là (d’) cắt đường trung trực (d) của BC tại K. Vậy mọi đường trung trực của DE đều đi qua K.
	Thật vậy, trên cạnh AC lấy điểm G sao cho AB = CG. Gọi K là giao điểm của hai đường trung trực (d) và (d’) của các đoạn thẳng BC và AG khi đó ta có KB = KC và KA = KG nên nên suy ra , hay nên suy ra KD = KE. Vậy đường trung trực của DE luôn qua K (đpcm)
	Bài toán 18: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F sao cho . Chứng minh rằng .
	Giải:
Vẽ K, H, I sao cho BC, AC, AB là các đường trung trực của KF, EH, EI. Khi đó ta có ; . Ta phải chứng minh 
Ta có AI = AE = AH (vì AB là đường trung trực của EI) nên tam giác AHI cân tại A mà AE là phân giác nên AD là đường trung trực của IH do đó IF = FH (1). Ta lại có BK = BF ; và BI = BE nên 
suy ra EK = IF (2). Từ (1) và (2) suy ra EK = FH (3)
Xét tam giác và ta có HC = EC (4) ( vì AC là đường trung trực của EH); CF = CK (vì BC là đường trung trực của KF) (5) . Từ (3) ,(4) và (5) nên suy ra 
 (đpcm)
Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng 
	Giải: 
Ta có ( vì cùng phụ với )
 ( Do BI là tia phân giác của góc B)
( Do AD là tia phân giác của góc ) Từ những đẳng thức trên suy ra mà nên . Chứng minh tương tự ta cũng có .Tam giác AIK có hai đường cao cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác nên 
Bài toán 20: Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD, ACE với =
Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng HA tại K. Chứng minh rằng .
Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy
Giải:
Chứng minh :
Ta có cùng phụ với 
 cùng phụ với nên suy ra và AC = CE (gt) nên suy ra KA = BC. Mặt khác ta có BD =AB ; ; KA = BC nên 
 suy ra và suy ra ( với M giao điểm của DC và KB) nên tại M.
Trong tam giác KBC ba đường cao AH, CD, BE nên đồng quy tại I.
Bài toán 21: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
HA + HB + HC < AB + AC
Giải:
Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC. 
Ta kẻ NH // AC và HM //AB. Khi đó ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính chất đoạn chắn). Do BH vuông góc với AC mà HN //AC nên . Do đó BH < BN. (2) Tương tự ta cũng chứng minh đựơc HC < CM (3). 
Từ (1) ; (2) và (3) suy ra HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm)
Ta có 	HA + HB + HC < AB + AC ( Theo câu a)
Tương tự 	 HA + HB + HC < BC + AC
HA + HB + HC < AB + BC
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: (đpcm)	
Bài toán 22: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH tại H. Kẻ tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và HM là phân giác của góc BHE.
	Giải:
Từ A ta kẻ AK tại K và tại Q. Hai tam giác vuông MAK và NCH có MA = NC = (cùng phụ với góc KAC) nên (cạnh huyền, góc nhọn). Suy ra AK = HC (1) . Ta lại có . Hai tam giác vuông AQN và CHN có NA = NC và (đ.đ) nên (cạnh huyền, góc nhọn). Suy ra AQ = CH (2). Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ nên HA là tia phân giác của góc KHQ suy ra . Từ . Tam giác AKH có nên nó vuông cân tại K. Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ; hay tam giác BAH cân tại B
 Ta có và KE // CA nên (đồng vị) vì suy ra nên HM là tia phân giác của EHB.
Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hình học:
Bài toán 23: Tam giác ABC có hai góc B và C nhọn. Kẻ . Chứng minh rằng H nằm giữa BC.
	Giải:
Ta thấy H, B, C là ba điểm phân biệt . Thật vậy, nếu H trùng với B hoặc C thì hoặc . Trái với giả thiết . Trong ba điểm phân biệt thì có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm kia. Giả sử C nằm giữa B và H thì suy ra trái với giả thiết. Giả sử B nằm giữa C và H thì suy ra trái với giả thiết. Vậy H nằm giữa B và C.
Bài toán 24: a) Tam giác ABC có và . Chứng minh 
	b) Tam giác ABC có và BC = 2dm; AB = 3dm. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AD = AC
	Giải:
Giả sử Kẻ AH thì H không trùng C nên vuông tại H suy ra nên . Theo giả thiết ta có nên BH = BC suy ra H trùng với C mâu thuẩn. Nên 
Gọi H là trung điểm của DC thì . Do đó. Theo câu a) nên suy ra AD = AC
Bài toán 25: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH. Trên tia HD lấy điểm C sao cho HD = HA. Trên nửa mặt phẳmg bờ BD không chứa điểm A vẽ tia Dx sao cho . Dx cắt AB tại E. Chứng minh HD = HE
	Giải:
Giả sử HD > HE thì (1) . Mặt khác HD > HE nên HA > HE do đó (2) . Từ (1) và (2) nên . TráI với giả thiết tam giác ABC đều. Tương tự giả sử HD < HE ta cũng chứng minh được , trái với giả thiết. Nên HD = HE (đpcm)
Bài toán 26: Tam giác ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phân giác CK cắt nhau tại ba điểm phân biệt D, E, F. Chứng minh tam giác DEF không thể là tam giác đều
	Giải:
 Giả sử tam giác DEF đều thì nên suy ra . Ta lại có suy ra . Tam giác ABC có BI là trung tuyến cũng là đường cao nên tam giác ABC cân tại B. lại có nên tam giác ABC đều. Do đó AH, BI, CK đồng quy tức là D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết. Vậy tam giác DEF không thể là tam giác đều.
Bài toán 27: Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường phân giác AD, đường trung tuyến BM, và đường cao CH đồng quy. Chứng minh rằng 
	Giải:
Giả sử . Trên tia Hx lấy điểm E sao cho HE = HA thì . Ta chứng minh nên trái với giả thiết tam giác ABC các góc nhọn.
	Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex. Gọi O là giao điểm của các đường CH,BM,AD và F là giao điểm của EO và AC. Xét tam giác EAC có EA > EC ( vì EA đối diện với góc lớn hơn) mà FE là phân giác của góc CEA nên AF > FC suy ra còn M là trung điểm của AC nên M nằm giữa A và F vì thế B thuộc tia Ex. Do đó mà . Trái với giả thiết nên .
Bài toán 28: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB. Gọi M là trung điểm của BC và D là trung điểm của BM. Chứng minh rằng AC = 2AD
	Giải: 
Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE nên ta có (đ.đ). DB = DM nên (c.g.c) suy ra AB = ME và . Vì AB = ME = MC = nên MC = ME. Ta lại có ( góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó của tam giác ABM) mà và (Do tam giác BAM cân tại B). Suy ra . Vậy . Suy ra AC = AE =2AD (đpcm).
Bài toán 29:Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là trung điểm của BC. Trên tia BC lấy điểm D với D khác B và M. Kẻ BK vuông góc với AD tại K. Chứng minh KM là phân giác trong hoặc phân giác ngoài của tam giác BKD tại đỉnh K
	Giải:
Khi D trùng với C thì K trùng với A. Khi đó tại M nên kết luận đúng. Từ M ta hạ và nên tại M và MH //KD. Do đó 
 và 
 Khi M nằm ngoài đoạn BD. Do đó ( cạnh huyền, góc nhọn). Suy ra MI = MH. Do M cách đều hai đoạn thẳng KB và KD nên KM là phân giác của .
Tính số đo các góc trong tam giác
 	Bài toán 30: Tam giác ABC cân tại A có . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính ?
Cách giải 1:
	Vẽ tam giác BCE đều ( với E nằm cùng phia với A có bờ đường thẳng BC) nên . Hay .
Xét tam giác và có DA = EC; ; AC cạnh chung nên = (c.g.c) suy ra mà nên . Vậy .
Cách giải 2:
Vẽ tam giác đều ADE nằm ngoài tam giác ABC thì . Do đó nên CE =AC
. Nên suy ra 
Cách giải 3: Vẽ tam giác đều ACK ta chứng minh được tam giác CDK cân tại K (vì , KA = AB; AD = BC nên suy ra KD = AC = KC ) nên suy ra 
Cách giải 4: Vẽ tam giác đều FAB với F và C cùng phía đối với AB. Nên tam giác AFC cân tại A Tính được nên
Chú ý : Nếu giả thiết cho thì AD = BC ta xét = (c.g.c).
	Bài toán 31: Cho tam giác ABC cân có . Gọi K là điểm trong tam giác sao cho . Chứng minh rằng tam giác ABK cân và tính ?
	Giải:
Dựng tam giác đều EBC có đỉnh E và A cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là BC. Nên Do nên và EA là phân giác của . Do đó (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân tại B.
.
	Bài toán 32: Tính các góc của tam giác ABC cân tại A biết rằng trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = DC = BC.
	Giải:
 Đặt thì . Do đó ; mà tam giác ABC có nên . Vậy .
Nên .
Bài toán 33: Tam giác ABC có . Lấy điểm D trên cạnh AC. Điểm E trên cạnh AB sao cho ; . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE.
	Giải:
Tam giác ABC có suy ra . Do đó ; ;
. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác của các góc nên . Do đó nên 
 suy ra KI = KE. Tương tự ta chứng minh được suy ra KI = KD. Do đó KD = KE. Tam giác KDE cân tại K suy ra .
Bài toán 34: Cho tam giác ABC góc và các góc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của HD , AC là đường trung trực của HE. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của DE với AB và AC. Tính các góc và 
	Giải:
Trường hợp Thì IB và KC là hai phân giác ngoài của tam giác IHK. Do đó HA là phân giác trong . Do nên HC là phân giác ngoài tại đỉnh H. Các phân giác ngoài cắt nhau tại C nên IC là phân giác của góc . Do đó hay .
	Chứng minh tương tự ta cũng có ( phân giác trong KB và phân giác ngoài tại góc K) nên .
	Trường hợp . Tam giác HIK có KC, IB là các tia phân giác trong góc và KB , IC là các tia phân giác ngoài nên 
Bài toán 35: Cho tam giác ABC có AH là đường cao, phân giác BD và . Nêu cách vẽ hình và tính 
	Giải:
*) Vẽ tam giác BHD sao cho , vẽ đường thẳng vuông góc với BH tại H. vẽ tia Bx sao cho cắt đường thẳng vừa vẽ tại điểm A. Hai tia AD và BH cắt nhau tại C, ta được hình thoả mãn đề cần vẽ.
Xét ta có ( Do BD là tia phân giác của góc B). Ta lại có (vì tia BD là phân giác trong và tia HD là phân giác ngoài cắt nhau tại D nên AD là phân giác ngoài của tam giác BHA). Vậy == (1). Mặt khác, trong tam giác ABD có (định lý góc ngoài của tam giác ABD). Từ (1) và (2) suy ra 
=
	Bài toán 36: Cho tam giác ABC có K là giao điểm của các đương phân giác, O là giao điểm các đường trung trực, BC là đường trung trực của OK. Tính các góc của tam giác ABC.
	Giải:
Do O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC nên OB = OC. Suy ra cân tại O suy ra , Mà BC là đường trung trực của OK nên
 BO = BK ; OC = CK . Do đó . K là giao điểm các đường phân giác nên . Ta lại có OA = OB nên và CA = OC nên . Do đó, mà có 
. 
Vậy .
Bài toán 37: Cho tam giác ABC có . Trong góc ABC vẽ tia Bx sao cho . Đường vuông góc với BA tại A cắt Bx tại I. Tính .
	Giải:
 Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho AB = BK nên tam giác ABK cân tại B có nên tam giác ABK đều . Do đó KB = KA. Ta lại có tam giác ABI vuông tại A mà nên tam giác ABI vuông cân tại A suy ra AB = AK = AI. Do nên . Nên ; . Do đó . Vậy 
	Bài toán 38: Cho tam giác ABC có . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của tại E. Tính .
	Giải:
Ta có và suy ra nên mà DE là phân giác của nên . Ta lại có CE là phân giác trong của và DA là phân giác ngoài của cắt nhau tại A nên EA là phân giác ngoài tại E. 
 vuông tại C có . Do đó (do EA là phân giác ngoài tại E) suy ra . Do đó BD = ED nên tam giác BDE cân tại D nên ta có .
	Bài toán 39:Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABE; ACF. Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của tâm giác ABE. Tính các góc cuả tam giác FIH.
	Giải:
Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK. Gọi thì ( vì đều nên và tam giác EAB đều có H là trực tâm nên nếu ). Ta lại có: nên suy ra nên . 
Do đó: +
. Từ (1) và (2) suy ra .Nên 
do đó tam giác HFK đều suy ra tam giác HFI là nửa tam giác đều cạnh HF. Các góc của tam giác HFI có số đo là: .
	Bài toán 40: Cho tam giác ABC cân tại A có . Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Cx sao cho , trên tia ấy lấy điểm D sao cho AB = CD. Tính .
	Giải:
Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC vẽ tia Cy sao cho . Tia này cắt AB tại E. Do tam giác ABC cân tại A có nên . Trong tam giác BCE có . Góc là góc ngoài của tam giác AEC nên ta có . Nên tam giác CEB cân tại C suy ra CE = CB. Từ đó ta có 
	Bài toán 41: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm E nằm trong tam giác sao cho tam giác EAC cân tại E và có góc ở đáy . Tính góc .
	Giải:
Cách giải 1: Vẽ tam giác đều ACD.
Ta có tam giác EAC cân tại E nên nên . 
Xét và có AB = AD = AC ; ;
AE cạnh chung. Nên . Do AD = AC và EA = EC nên ED là đường trung trực của AC. Đồng thời AE là phân giác của nên 
Cách giải 2: Vẽ tam giác đều EAK nằm ngoài tam giác AEC. Ta được và 
	Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân tại A có . Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho. Tính .
	Giải:
Tam giác ABC cân tại A nên mà nên CM là tia phân giác của . Trên tia CA lấy điểm E sao cho CB = CE nên và . Do đó tam giác BME đều suy ra BM =BE. Ta có:nên suy ra BA là phân giác của góc nên .
	Bài toán 43: Cho tam giác cân tại A có . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho . Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam giác IDE cân và tính các góc của nó.
	Giải:
Ta có tam giác ABC cân tại A có nên mà nên . Khi đó cân tại D suy ra AD = BD. Trên BI lấy điểm K sao cho nên (1)
	(2)
Từ (1) và (2) suy ra cân tại K nên KA = KE. Ta cũng chứng minh được tam giác AkD cân tại A nên AK = AD . Do đó AD = KE. (3)
Mặt khác, cân tại I nên IA = IK (4). Từ (3) và (4) suy ra IE = ID nên tam giác IED cân tại I..
.
Bài toán 44: Cho tam giác ABC cân tại A có , các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho ;. Tính 
	Giải:
Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AN = AD thì DN //BC và . Ta tính . 
Gọi I là giao điểm của BN và CD thì các tam giác IBC và IDN là các tam giác đều vì và tam giác ABC cân tại A. Ta chứng minh MN là tia phân giác của .Thật vậy, Trong tam giác BDC có (1)
Trong tam giác BMC có cân tại B. Do đó BM = BC mà tam giác BIC đều nên IB = BC suy ra MB = BI hay tam giác BMI cân tại B mà . Do đó (2) Từ (1) và (2) suy ra nên cân tại M. Suy ra MD = MI. Ta lại có NI = ND nên MN là đường trung trực của DI suy ra MN là phân giác của hay . 
Vậy 
 	Bài toán 45: Điểm M nằm bên trong tam giác ABC vuông cân tại B sao cho 
KA: MB: MC = 1: 2: 3. Tính 
	Giải:
Vẽ tam giác MBK vuông cân tại B ( K và A nằm cùng phía đối với BM). Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a. Khi đó ta có AB = BC; ; BM = BK nên suy ra CM = KA = 3a. Xét tam giác vuông MBK vuông tại B ta có 
Xét tam giác AMB có 
( vì AK = MC) nên tam giác KMA vuông tại M. Vậy 
Bài toán 46: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn điều kiện thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
	Giải:
Giả sử thì và nên ta có trái với giả thiết
Giả sử thì và nên ta có trái với giả thiết. Vậy c là độ dài nhỏ nhất trong tam giác.