Tài liệu ôn tập thi THPTQG môn Toán

Chủ đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
1.1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ; 
Hàm số đồng biến trong ( a ; b ) 
 Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) 
Hoặc Hàm số đồng biến trong ( a ; b ) 
 Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) 
 (Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)
x
y’
y
Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
Tìm tập xác định D
Tìm y’ .Tìm các giá trị mà tại các điểm đó = 0 hoặc không xác định
Lập bảng xét dấu của y’
Căn cứ dấu của y’ để kết luận
Vấn đề 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X
Phương pháp 
Hàm số đồng biến trong X 
Hàm số nghịch biến trong X 
Riêng hàm số nhất biến y = không có dấu “=”
Ví dụ: 
1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến trên R
2.Tìm m để hàm số y= đồng biến R
3.Tìm m để hàm số y= 3mx+đồng biến trên R
4.Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
5. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
6. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
7. Tìm m để hàm số tăng trên R
8.Tìm m để hàm số y= 3x3-2x2+mx-4 tăng trên (-1;)
9.Tìm m để hàm số y= 4mx3-6x2+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2)
10.Tìm m để hàm số y= giảm trên [1; )
11.Tìm m để hàm số y=mx4 -4x2+2m-1 giảm trên (0;3)
12.Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1)
13.Tìm m để hàm số y= giảm trên ()
14.Cho hàm số y= 
	a.Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định 
	b.Tìm m để hàm số giảm trên khoảng (a;b) với b-a =2
	15.Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1
	16. Tìm m để hàm số tăng trên 
	17. Tìm m để hàm số giảm trên 
	18. Tìm m để hàm số giảm trên khoảng 
	19. Tìm m để hàm số tăng trên 
	20. Tìm m để hàm số đồng biến trên 
Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT
Ví dụ:
1.Giải phương trình ( ĐK x3+3x0)
2.Giải phương trình x5+x3-+4=0
3.Giải phương trình 
4. Giải phương trình sinx =x 
5.Tìm m để phương trình có nghiệm 
6.Tìm để phương trình có nghiệm m- x = 0
7.Chứng minh rằng (HD xét hàm số )
8.Chứng minh rằng (HD xét hàm số )
9.Chứng minh rằng 
10.Chứng minh rằng : Nếu thì ( HD xét hàm số )
11.Giải hệ phương trình 
HD. Xét hàm đặc trưng . Chứng minh hàm số tăng trên R .ĐS
1.2. CỰC TRỊ
1.2.1. Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc 1 ( Dùng y’ ) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’ 
Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ( hay điểm mà không tồn tại).
Lập bảng xét dấu của y’ 
Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x0 mà :
 + y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y0 = f(x0)
 + y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ; yCT = y0 = f(x0)
x
 xo x1 
y’
 + – – + 
y
 y0 
 CĐ CT 
Qui tắc 2 ( Dùng y”)
a; Tìm tập xác định D
b; Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ; x1 ; .. 
c ; Tìm y” . Tính y”(x0). Nếu :
y”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
y”(x1) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x1
Lưu ý :
Nếu y”(x0) = 0 hay tại x0 mà y’(x0) không tồn tại thì không dùng được qui tắc 2
Hàm số y = đạt cực trị tại x0 . Có y0 = 
Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x0 khi tính y0 gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương P(x) và số dư px + q . 
Ta có : y = y’.P(x) + px + q
 nên y0 = y’(x0).P(x0) + px0 + q = px0 + q (vì x0 là nghiệm của y’ = 0) .
1.2.2. Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại 
Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y’(x0) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra giá trị của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0. 
Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x0 ; y0) thì thêm y0 = f(x0) . 
Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng 
1; Hs đạt cực trị tại x0
2; Hs đạt cực đại tại x0 
3; Hàm số đạt cực tiểu tại x0 
Nếu f”(x0) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’
1.2.3. Vấn đề 3 : Tìm tham số để hàm số có cực trị 
Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x) 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x0 (hoặc không tồn tại tại ) và y’ đổi dấu khi x đi qua x0 . Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó thì hàm số có bấy nhiêu cực trị.
VD1: Tìm điều kiện của m sao cho :
y= x3-mx2+2(m+1)x-1 đạt cực đại tại x= -1
y= đạt cực tiểu tại x=2
y= đạt cực đại tại x=
VD2:Cho hàm số y= x3-(7m+1)x2+16x-m .Tìm m để 
Hàm số có cực đại và cực tiểu 
Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tại x1,x2 
VD3:Cho hàm số y= x3-mx2+(m+36)x-5 .Tìm m để 
Hàm số không có cực trị 
Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu tại các điểm x1,x2 và 
VD3:Cho hàm số y= .Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 
VD4:Cho hàm số y= 2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 
	Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2
VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 .Tìm m để 
Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)
Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1
VD6:Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng .
VD1: Cho hàm số y= x3+mx2-x
CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m
Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x
VD2:Cho hàm số y= 
Tìm m để hàm số có CĐ,CT và CĐ,CT và điểm M(-2;1) thẳng hàng 
Tìm m để hàm số có CĐ,CT và trung điểm của đoạn nối 2 điểm CĐ,CT cách gốc O một khoảng bằng 3
VD3.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn : .
VD4.Cho hàm số .Tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều .
VD5.Cho hàm số .Tìm để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P) 
VD6.Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 
Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ , yCT . Chứng minh rằng : .
VD7.Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung 
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu 
VD8.Cho hàm số 
	a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại và không phụ thuộc vào tham số m.
	b.Tìm m để 
VD9.Cho hàm số .Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại cực tiểu .Hãy xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất .
VD10.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ( A – 2007)
VD11.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên bằng .(A – 2005)
VD12.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O. ( B – 2007)
VD13.Cho hàm số (Cm) . CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng . ( B – 2005)
VD14.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương . ( CĐ – D – 2009)
VD15. Cho hàm số (1) m là tham số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại .	( B – 2011)
1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1; Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong ( a;b ) nếu:
 thì = M
 thì = m
2; Cách tìm
a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y
b; Dùng đạo hàm 
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong ( a;b )
Phương pháp 
Tìm y’ . Tìm . Lập bảng xét dấu của y’. Căn cứ bảng xét dấu để kết luận 
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong [ a;b ]
Phương pháp 
Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0, x1 . 
Tính f(a), f(b), f(x0), f(x1),
 là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.
là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên
Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:
	1.	2. trên 
	3. (B-2003)	4. trên (B-2004)
	5. trên (D-2003)	6. (SPTPHCM2000)
	7. trên 	8.
	9.	10.
	11.	12.
	13. trên 	 14. trên đoạn 
	15. trên 	16.
1.4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
I/- Tiệm cận đứng 
Cách tìm Tìm tập xác định D 
1. Nếu D = \ . Tìm
 thì x = x1 không phải là phương trình tiệm cận đứng 
2. Nếu D = ( a ; b ) tìm 
II/- Tiệm cận ngang 
Cách tìm Tập xác định D 
Nếu D không chứa thì không có tiệm cận ngang 
Nếu y = a là phương trình tiệm cận ngang 
Nếu đồ thị không có tiệm cận ngang 
1.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1)
Ví dụ 2. Cho đường cong (Cm): và đường thẳng (dm) . Xác định m biết rằng (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng (dm)một góc có .
Ví dụ 3. Cho hàm số .Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bắng 8.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất ?
Ví dụ 5. Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm để khoảng cách từ M đến giao điểm hai tiệm cận là nhỏ nhất ?
Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị (C).
	a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2.
	b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) .
	c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 2.Cho hàm số có đồ thị (C).
	a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3.
	b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai.
	c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)
Ví dụ 3.Cho hàm số .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 	( Khối D – 2010)
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1, -9).	( Khối B – 2008)
Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết :
Tung độ tiếp điểm bằng 
Tiếp tuyến song song với đường thẳng 
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)
1.5. CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
Lí thuyết
P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)
( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau có nghiệm 
 ( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )
1.5.1. Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M()
Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )
Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0) (giao của (C ) và trục tung là cho)
Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0 (giao của (C ) và trục hoành là cho)
1.5.2. Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp 
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. 
Tiếp tuyến có hệ số góc k . 
Giải phương trình tìm x0 
Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 )
Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C ) có nghiệm . 
Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
(d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a
(d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = (hay a.k = – 1 )
1.5.3. Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A()
Phương pháp 
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A() nên y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải phương trình tìm x0 thay vào (1).
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k . 
Ta có :(d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm
Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1) 
Viết phương trình tiếp tuyến thõa điều kiện cho trước
Ví dụ 1 Gọi là đồ thị hàm số ( m là tham số ). Gọi M là điểm thuộc có hoành độ bằng -1.Tìm m để tiếp tuyến của tại M song song với đường thẳng .
	( Khối D – 2005)
Ví dụ 2.Cho hàm số .
	a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C
	b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau .
Ví dụ 3.Cho hàm số (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .
Ví dụ 4.Cho hàm số (C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam, giác OAB có diện tích bằng .( Khối D – 2007)
Ví dụ 6.Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B và tam giác OAB cân tại O. ( Khối A – 2009)
Ví dụ 7. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 	 ( Khối B – 2006)
Ví dụ 8.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
	( Đại học An Ninh – 2001)
Ví dụ 9.Cho hàm số có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
	(CĐ-SPTPHCM – 2005)
Ví dụ 10.Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình Parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng 	( Đại học An Ninh – 1999)
Ví dụ 11. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Ví dụ 12. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc .
Ví dụ 13.Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng 
Tiếp tuyến tạo với một góc 
Tiếp tuyến tạo với một góc 
Ví dụ 14. Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB
Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi
Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Ví dụ 15. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B .Tìm m để tổng đạt giá trị lớn nhất . ( Khối A – 2011)
 Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm
Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua 
	1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
	d: (1)
	2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
	 (I)
	3.Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A .
Ví dụ 1.Cho hàm số .Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 2. Cho hàm số .Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = 2 và hàm số có đồ thị (C). Từ một điểm bất kỳ trên (d) có thể được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C).
Ví dụ 4.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị (C)
Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O.
Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho A là trung điểm của MB.
Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Ví dụ 6.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 7.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng các điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 8.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C).
Ví dụ 9. Cho hàm số có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất.
Ví dụ 10.Cho hàm số có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 11. Cho hàm số . Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị hàm số sao cho đều ( Với B, C là hai tiếp điểm ).
Ví dụ 12.Cho hàm số có đồ thị (C).
	a.Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) và trục Oy.
	b.Tìm m để chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8.
 Chủ đề 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 
Ví dụ 1.Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d) : 
Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Ví dụ 2.Cho hàm số .Định m để đường thẳng (d): cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 3.Cho hàm số . Định m để đồ thị cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt .
Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị .Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.	( Khối D – 2009)
Ví dụ 6.Cho hàm số (C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2) với hệ số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.
	( Khối D – 2008)
Ví dụ 7. Cho hàm số (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. 	( Khối D – 2006)
Ví dụ 8. Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng ( O là gốc tọa độ ) 
( Khối B – 2010)
Ví dụ 9. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thõa mãn điều kiện .	( Khối A – 2010)	
Ví dụ 10.Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thõa mãn điều kiện 	
Ví dụ 11.Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB. (Với O là gốc tọa độ )
Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
Ví dụ 13. Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 
Tìm k để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. ( Khối D – 2011)
Chủ đề 3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị Û ?
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị Û ?
Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 1 cực trị Û pt y’ = 0 có 1 nghiệm duy nhất x = 0
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị Û pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
 Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
 a. 	b. 
	c. 	d. 
	e. 	f. 
	g. 	h. 
Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
	e. 	f. 
Ví dụ 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
	e. 	f. 
Ví dụ 1.Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 
Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị (Cm)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 	(Khối A – Năm 2005)
Ví dụ 3.Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phận biệt : (Khối A – Năm 2006)
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Tìm điểm trên đồ thị (C) thõa :
Có tọa độ nguyên 
Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số 
Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)
Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất 
Ví dụ 5.Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình: 
Ví dụ 6.Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)
Tìm k để phương trình có ba nghiệm phân biệt 
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)
 Chủ đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
	◙ Hàm số lũy thừa:
	● Tính chất của lũy thừa: 
	▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa : 
	+ xác định " a Î .
	+ xác định khi a ≠ 0 
	+ xác định khi a > 0. 
	▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n Î : 
	* .
	* ; * 
	* .
	▪ 
	▪ xác định khi (k Î )
	▪ xác định "x Î (k Î )
	▪ Đạo hàm ; 
	; 
	◙ Hàm số mũ: 
	▪ Hàm số mũ y = ax (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là ; tập giá trị là (tức là ax > 0, "x Î − chú ý tính chất nà
y để đặt điều kiện của ẩn phụ sau này); liên tục trên .
	▪ Đạo hàm (a > 0, a ≠ 1)
▪ Khi a > 1 hàm số y = ax đồng biến trên .
	▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = ax nghịch biến trên .
	▪ a0 = 1 "a ¹ 0 , a1 = a. 
	▪ Khi a > 1: ; .
	▪ Khi 0 < a < 1: ; .
	▪ Với a > b > 0 ta có: ax > bx Û x > 0 và ax < bx Û x < 0. 
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và để nhớ các tính chất)
◙ Hàm số logarit: 
 F Chú ý: Khi xét phải chú ý điều kiện 
	Trong phần này, ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương).
	▪ Cho 0 0: logax = y Û a y = x.
	▪ Với 0 0 ); ("m Î ); loga1 = 0; .
 ▪ loga(x1.x2) = logax1 + logax2; = logax1 logax2 ( x1; x2 > 0 ).
 ▪ logaxa = a.logax (x > 0) và (x > 0, α ≠ 0).
 ▪ Đổi cơ số: hay logax = logab.logbx
 ▪ logab = và .
 ▪ Hàm số y = logax xác định và liên tục trên (0 ;+ ∞ ).
 ▪ Đạo hàm 
 ▪ Khi a > 1 hàm số y = logax đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ).
 ▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = logax nghịch biến trên ( 0; + ∞ ).
 ▪ Nếu a > 1: 
 ▪ Nếu 0 < a < 1: . 
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
 ▪ Chú ý đến các công thức: 
	 và 
◙ Phương trình, bất phương trình mũ: 
▪ Phương trình ax = b có nghiệm Û b > 0.
▪ af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x) (0 < a ¹ 1) 
▪ Nếu a > 1 thì: af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 ag(x) Û f(x) < g(x).
▪ af(x) = b Û f(x) = logab. 
▪ af(x) 0) Û nếu a > 1; nếu 0 < a < 1.
	▪ af(x) > b Û 
 ◙ Phương trình, bất phương trình logarit: 
 ▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
	 logab có nghĩa Û 0 0 
 ▪ ( b > 0 ; 0 < a ¹ 1 ) .
 ▪ loga b2k = 2k.loga|b| với k Î Z . 
 ▪ loga f(x) = loga g(x) Û f(x) = g(x). 
 ▪ loga f(x) ≥ loga g(x) Û 
 ▪ 
4.1. Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : (1) 
Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) 
Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì (ít gặp)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
 	ĐS : 
	ĐS: 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
	(ĐH Quốc Gia HN-2000)	ĐS : 
	(ĐH D-2006)	ĐS : 
4.2. Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt với a và thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
 Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 2 
	ĐS : 0
	ĐS : 1; -1
	ĐS : 1
	ĐS : 
	ĐS : 3; 11
 (đặt t=)	ĐS : 2
	ĐS : 3; 
	ĐS : 0
	ĐS : 2
	ĐS : 1; -1
	ĐS : 0; 1/2
	ĐS : 
	ĐS : 1; -4
Bài 2 : Giải các phương trình sau
 	(ĐH A-2006)	ĐS : 1
 	(ĐH D-2003)	ĐS : -1; 2
	(ĐH B-2007)	ĐS : 1; -1	
	(ĐH Hàng Hải-1999)	ĐS : 4
 	(ĐH Thủy Lợi-2000)	ĐS : -1; 2
 	(ĐHSP Hải Phòng-2000)	ĐS : 0
	(ĐH Quốc Gia HN-1998)	ĐS : 0
	(HV Quan Hệ Quốc Tế-1999)	ĐS : 
 	(ĐH Luật HN-1998)	ĐS : 
	(ĐH Y HN-2000)	ĐS : 1
4.3. Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau : 
Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ.
VD. Giải các phương trình sau
	1. 	ĐS : 	ĐS : 
	3. 	ĐS : 	ĐS : 
	5. 	ĐS : 	ĐS : 
	7. 	ĐS : 	ĐS : 
	9. 	ĐS : 9 	ĐS : 
4.4. Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
 Đưa phương trình đã cho về dạng (*)
Bước 1 : Chỉ ra là một nghiệm của phương trình (*)
Bước 2 : Chứng minh là hàm đồng biến, là hàm nghịch biến hoặc là hàm đồng biến, là hàm hằng hoặc là hàm nghịch biến, là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng , rồi chứng minh là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra .
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 3
	ĐS : 2
	ĐS : 2
	ĐS :
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 1
	ĐS : 2; 4
	ĐS : 0
	ĐS : 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(Học Viện Công Nghệ BCVT-1998)	ĐS : 1
	(ĐH Thủy lợi-2001)	ĐS : 1
	(ĐH Bách khoa TPHCM-1995)	ĐS : 1
	(Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997)	ĐS : 
	(ĐH Sư Phạm HN-2001)	ĐS : 
 Chủ đề 5 : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
5.1. Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng 
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 3
	ĐS : 729
	ĐS : 1
	ĐS : 2
	ĐS : 1
	ĐS : 48
	ĐS : 1
	ĐS : 3
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH D-2007)	ĐS : 
	(ĐH Huế-1999)	ĐS : 2
	(ĐH Quốc Gia HN-1998)	ĐS : 0;-5
	(ĐH Thủy Lợi-1998)	ĐS : 1; 4
	(ĐH Đông Đô-1999)	ĐS : 1; 6
	(ĐH Y Hà Nội-1999)	ĐS : 3
	(ĐH Bách Khoa HN-2000)	ĐS : 
	(ĐH Y Thái Bình-1998)	ĐS : 
	(HV BCVT-2000)	ĐS : 
5.2.Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 
	ĐS : 2; 16
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 2
log4(log2x) + log2(log4x) = 2 (đặt t=) 
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH Công Đoàn-2000)	ĐS : 2
	(Cao Đẳng -2008)	ĐS : 1; 3
	(ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS : 
	(ĐH Y HN-2000)
	(HV CNBCVT-1999)	ĐS : 1; 4
	(ĐH Sư Phạm HN-1998)	ĐS : 
	(ĐH Sư Phạm TPHCM-2001)	ĐS : 
 (ĐH Khối A-2008) ĐS : 
	(ĐH KTQD-2001)	ĐS : 
	(ĐH Quốc Gia HN-2000)	ĐS : 0;1
 (ĐHSP Vinh-2001) ĐS : 1;
5.3. Dạng 3 : Phương pháp mũ hóa
Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau
 đặt suy ra. Khử x trong hpt để thu được phương trình theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 
	ĐS : 1
	ĐS : 4096
	ĐS : 
	ĐS : 9
	(ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991)	ĐS : 16
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH Huế-2000)	ĐS : 0; 3
	(ĐH Quốc Gia HN-2000)	ĐS : 5
 	(ĐH Thái Nguyên-2000)	ĐS : 49
	(ĐH Y HN-1998)	ĐS : 256
	(ĐH Y Dược TPHCM-1986)	ĐS : 
5.4. Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
 Đưa phương trình đã cho về dạng (*)
Bước 1 : Chỉ ra là một nghiệm của phương trình (*)
Bước 2 : Chứng minh là hàm đồng biến, là hàm nghịch biến hoặc là hàm đồng biến, là hàm hằng hoặc là hàm nghịch biến, là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng , rồi chứng minh là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra .
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 4
	ĐS : 5
	ĐS : 2; 4
	ĐS : 3
	ĐS : 0; 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH Đông Đô-1997)	ĐS : 
	(ĐH Ngoại Thương-2001)	ĐS : 
Chủ đề 6:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau : 
 	(ĐH A-2009)	ĐS : (2;2), (-2;-2)
 	(ĐH D-2002)	ĐS : (0;1), (2;4) 
 	(ĐH A-2004)	ĐS : (3;4)
 	(ĐH B-2005)	ĐS : (1;1), (2;2)
 ĐS : 	 	ĐS : (5;2) 
 ĐS : (3;3) ĐS : (2;1) 
 ĐS : (16;3), (1/64;-2) ĐS : (1;1), (9;3) 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau : 
	ĐS : (-2;7)
 ĐS : 
 	ĐS : (1;3), (3;1)
 	ĐS : (-1;-1), (1;0) 
 	ĐS : (0;0) 
 	ĐS : (1;1) 
 Chủ đề 7:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
PHƯƠNG PHÁP 
Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất : 
Nếu thì 
Nếu thì 
Tổng quát : 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
7.1. Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau : 
	(ĐH Quốc Gia HN-1996)	ĐS : 
	(Học Viện Quân Y-1995)	ĐS :
	(ĐH Bách Khoa HN-1997)	ĐS : 
	(ĐH Sư Phạm TPHCM-1976)	ĐS : 
7.2. Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau : 
	(Dự Bị D-2005)	ĐS : 
	(ĐH Văn Hóa HN-1996)	ĐS : 
	(HV CNBCVT-1998)	ĐS : 
	(HV Hành Chính QG-2001)	ĐS : 
	(ĐH Phương Đông-2000)	ĐS : 
7.3. Dạng 3 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
Chủ đề  8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
PHƯƠNG PHÁP
Nếu thì 
Nếu thì 
Tổng quát : 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 Giải các bất phương trình sau : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	(ĐH A-2007)	ĐS : 
	(ĐH B-2008)	 ĐS : 
 	(ĐH Văn Hóa HN-1998)	ĐS : 
	(ĐH GTVT-2000)	ĐS : 
	(ĐH B-2002)	ĐS : 
	(ĐH Văn Lang-1997)	ĐS :
	(ĐH Y Hà Nội-1997) 	ĐS : 
	(ĐH Kiến Trúc HN-1997) 	 ĐS : 
 Chủ đề 9 :NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
9.1. NGUYÊN HÀM
Định nghĩa
	Hàm số gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu .
Định lý : 
Nếu là nguyên hàm của hàm số trên thì mọi hàm số có dạng cũng là nguyên hàm của trên và chỉ những hàm số có dạng mới là nguyên hàm của trên .
Ta gọi là họ nguyên hàm của trên và ký hiệu là . 
Vậy :
.
Tính chất 1 : 
Tính chất 2 : 
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp : 
	Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số này thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.
Tìm nguyên hà