ôn thi môn Toán lớp 12 - Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong khơng gian
 Ta cĩ: Ox, Oy, Oz vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Do đĩ, nếu hình vẽ bài tốn cho cĩ chứa các cạnh vuơng gĩc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đĩ làm trục tọa độ. Cụ thể:
1. Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
 ​
Với hình lập phương
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: 
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0)
A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D’(0; a; a)
Với hình hộp chữ nhật. 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: 
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0)
A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c)
2. Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’
 ​
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: 
Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy
3. Với hình chĩp tứ giác đều S.ABCD
 ​
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh hình vuơng bằng a và đường cao SO = h
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuơng
Khi đĩ 
4. Với hình chĩp tam giác đều S.ABC
 ​
cách 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h. Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đĩ: 
cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O
tính => suy ra dc tọa độ các đỉnh
cách 3: từ A ta dựng đường thẳng Az // SH, Ax // BC
chọn hệ trục sao cho A= O (0;0;0),
5. Với hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD)
 ​
ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = b và chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đĩ: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h) 
6. Với hình chĩp S.ABC cĩ ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD)
 ​
ABCD là hình thoi cạnh a và chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)
7. Với hình chĩp S.ABC cĩ SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuơng tại A
 ​
Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = a; AC = b đường cao bằng h.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đĩ: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h) 
8. Với hình chĩp S.ABC cĩ SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuơng tại B
 ​
Tam giác ABC vuơng tại B cĩ BA = a; BC = b đường cao bằng h. 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) 
Khi đĩ: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h) 
9. Với hình chĩp S.ABC cĩ (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuơng tại C
 ​
ΔABC vuơng tại C với CA = a; CB = b và chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0)
Khi đĩ: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h) 
10. Với hình chĩp S.ABC cĩ (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuơng tại A
 ​
hình a)
ΔABC vuơng tại A: AB = a; AC = b và chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đĩ: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h)
hình b)
Tam giác ABC vuơng cân tại C cĩ 
CA = CB = a đường cao bằng h. 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) 
Khi đĩ: 
11.Hình lăng trụ cĩ đáy là tam giác vuơng tại O
Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài tốn:
Các dạng câu hỏi thường gặp
1.khoảng cách giữa 2 điểm : (ý phụ)
Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:
Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) 
Cách 1:( d đi qua M0 cĩ vtcp ) 
Cách 2: Phương pháp :
Lập ptmp()đi qua M vàvuơng gĩcvới (d)
Tìm tọa độ giao điểm H của mp() và d 
d(M, d) =MH
3. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi cơngthức
4.khoảng cách giữa 2 mặt phẳng //:
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
5.khoảng cách giữa 2 đường thẳng
A, Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Cách 1: (d) điqua M(x0;y0;z0);cĩvtcp 
(d’)quaM’(x’0;y’0;z’0)
Cách 2: 
d điqua M(x0;y0;z0);cĩ vtcp 
d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp
Phương pháp :
Lập ptmp()chứa d và songsong với d’
d(d,d’)= d(M’,())
ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng
B. khoảng cách giữa 2 đường thẳng //:
-Khoảng cách giữa 2 đường thẳng // bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia => quay về dạng tốn khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng J
6. gĩc giữa 2 đường thẳng
Gĩc giữa hai đường thẳng
	(D) đi qua M(x0;y0;z0) cĩ VTCP 
	(D’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) cĩ VTCP 
7.gĩc giữa 2 mặt phẳng
Gọiφ là gĩc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900)
 (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 
8.gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng
(D) đi qua M0 cĩ VTCP , mp(α) cĩ VTPT 
	Gọi φ là gĩc hợp bởi (D) và mp(α) 
9. diện tích thiết diện
Diện tích tam giác :
Diện tích hình bình hành: SABCD=
10.thể tích khối đa diện
- Thểtích chĩp: Vchĩp = Sđáy.h Hoặc VABCD= (nếu biết hết tọa độ các đỉnh)
- Thể tích khối hộp:
 VABCDA’B’C’D’ = 
MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC BỔ XUNG
1. Dấu hiệu nhận biết các hình:
1): Dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuơng, hình thang cân: 
- Tứ giác có hai cạnh đới song song. 
- Hình thang có mợt góc vuơng là hình thang vuơng 
- Hình thang có hai góc kề mợt đáy là hình thang cân 
- Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân 
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân 
2): Dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Có 5 dấu hiệu nhận biết): 
- Tứ giác có các cặp cạnh đới song song 
- Tứ giác có các cặp cạnh đới bằng nhau 
- Tứ giác có hai cạnh đới song song và bằng nhau 
- Tứ giác có các góc đới bằng nhau 
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỡi đường. 
3): Hình chữ nhật (có 4 dấu hiệu nhận biết): 
- Tứ giác có 3 góc vuơng 
- Hình thang cân có mợt gócvuơng 
- Hình bình hành có mợt góc vuơng 
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau 
4): Hình thoi (có 4 dấu hiệu nhận biết): 
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau 
- Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau 
- Hình bình hành có hai đường chéo vuơng góc nhau 
- Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác cùa 1 góc. 
5): Hình vuơng (có 5 dấu hiệu nhận biết): 
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau 
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuơng góc 
- Hình chứ nhật có đường chéo là đường phân giác của mợt góc 
- Hình thoi có mợt góc vuơng 
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. 
II: Bài tập vận dụng:
Dạng 1: Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Bài 1.(ĐHA-2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ độ dài các cạnh bằng 1.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
A, tính thể tích khối chĩp M.A’B’D’
 b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN 
Đ/S: d = 
Bài 2: (ĐHB- 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bằng a. 
 A. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
 B Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính gĩc giữa hai đường thẳng MP và C’N
Đ/S: Đáp số: A. B. MP ^C 'N .
Bài 3: (ĐH A – 2003): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B ‘C‘D‘cĩ AB=a, AD = a, AA’ = b (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . 
a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. 
b. Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuơng gĩc với nhau
Đ/S: a, b. a:b = 1
Dạng 2: hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’
Bài 1: (ĐH– 2006) Cho hình hộp đứng ABCD. A’ B’ C’ D’ cĩ các cạnh AB= AD = a, và gĩc . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’ D’ và A’B’
A,Chứng minh AC ' vuơng gĩc với mặt phẳng (BDM ).
B, Tính thể tích khối chĩp A. BDMN
C, Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và C’D’
Đ/S: 
Dạng 3.Hình chĩp tam giác đều S.ABC (Dấu hiệu: Đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao vuơng gĩc với đáy)
Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC đỉnh S, cĩ độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . 
A,Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng (AMN) vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC)
B, Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và AB
Bài tập tổng hợp
Câu 1: THPT Đơng Sơn 1- lần 2- 2015 
 	Cho hình chĩp cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), gọi M là trung điểm của SC. Biết , . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.
Đ/S: V= 
Câu 2: THPT Chuyên ban Hạ Long – 2015
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ ABC, SBC là các tam giác đều cạnh a. Gĩc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 độ. Hình chiếu vuơng gĩc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ B đến (SAC) theo a
Đ/S: ; d = 	
Câu 3: THPT Hậu Lộc 2 - 2015
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng tại A, AB= 2a , . Hình chiếu vuơng gĩc của S trên (ABC) là H, H là trung điểm của AB. Gĩc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 độ. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm M là trung điểm cạnh BC đến (SAC)
Câu 4: THPT Lương Thế Vinh – HN - 2015
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, tam giác SAB cân tại S và nằm tring mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Hình chiếu của S lên ABCD là trung điểm H của cạnh AB. Gĩc giữa đường thẳng SC và (ABCD) bằng 45 độ. Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC)
Câu 5: THPT Đào Duy Từ - TH - 2015
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SD = . Hình chiếu vuơng gĩc H của S trên (ABCD) là trung điểm của AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa HK và SD theo a
Lời kết: 
Đây thực sự chưa phải là phương pháp làm hay nhất, chưa cĩ nhiều bài tập phong phú và tơi cũng chưa cĩ thời gian để đánh máy phần hướng dẫn giải bài tập cụ thể mà mới chỉ hướng dẫn giải ở dạng tổng quát, song cũng gĩp phần nhỏ bé nào đĩ cho các bạn và tơi hi vọng nĩ cĩ thể giúp các bạn phần nào trong việc tìm kiếm phương pháp giải tốn hay và dễ hiểu hơn. 
Tuy nhiên do tuổi đời cịn trẻ, kinh nghiệm và năng lực cịn thiếu, rất mong các em học sinh và các bạn đồng nghiệp đĩng gĩp ý kiến, bổ sung thêm giúp tơi để cĩ 1 phương pháp giải tốn hồn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn !
Mọi ý kiến đĩng gĩp xin gửi về: phamthingansp2@gmail.com hoặc địa chỉ: Phạm Thị Ngân, Số nhà 6, ngõ 120, Mễ Trì Thượng, Nam Từ Liêm, Từ Liêm, Hà Nội. SDT: 01692 936 376
CHUYÊN ĐỀ 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
	Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP 
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành cơng của bài tốn)
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm cĩ liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài tốn.
Các dạng tốn thường gặp:
Định tính: Chứng minh các quan hệ vuơng gĩc, song song, 
Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, gĩc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, 
Bài tốn cực trị, quỹ tích.
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chĩp tam giác
a. Dạng tam diện vuơng
z
A
y
C
N
O
M
a
x
B
Ví dụ : Cho tứ diện OABC cĩ đáy OBC là tam giác vuơng tại O, OB=a, OC=, (a>0) và đường cao OA=. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đĩ O(0;0;0),
, gọi N là trung điểm của AC Þ.
MN là đường trung bình của tam giác ABC Þ AB // MN
	Þ AB //(OMN) Þ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)).
, với .
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến 
O
A
C
N
M
a
B
Ta cĩ: . Vậy, 
	Cách 2:
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.
Ta cĩ: OM // BN (tính chất đường trung bình).
	Þ OM // (ABN)
	Þ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)).
Dựng 
Ta cĩ: 
Từ các tam giác vuơng OAK; ONB cĩ:
. Vậy, 
b. Dạng khác
Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với đáy và vuơng tại C. Độ dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).
x
4
z
y
M
B
A
H
S
C
K
I
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ:
 A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0).
mp(P) qua H vuơng gĩc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy 
 (1).
, suy ra:
ptts SB: , SC: và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
 = 
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đĩ ta khơng cần phải tìm K.
Ví dụ 2: Cho hình chĩp SABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của DABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để gĩc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o.
Cách 1:
z
x
x
y
C
B
A
E
F
G
M
Gọi M là trung điểm của BC .
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G lên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuơng 
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi một vuơng gĩc, A(0;0;0), B(a;0;0), 
C(0; a; 0), .
, với 
 với .
Mặt phẳng (SAB) cĩ cặp vectơ chỉ phương nên cĩ vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng (SAC) cĩ cặp vectơ chỉ phương nên cĩ vectơ pháp tuyến .
Gĩc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o.
G
M
C
S
I
A
B
Vậy, 
Cách 2:
Gọi M là trung điểm của BC (DABC vuơng cân)
Ta cĩ: . Suy ra: 
Dựng và là gĩc phẳng nhị diện (B; SA; C).
 cân tại I.
.
.
Ta cĩ: .
	Vậy, 
Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuơng gĩc với (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm . Gọi I là trung điểm của BC, ta cĩ:
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuơng gĩc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:
z
a
x
y
h
M
N
O
I
C
A
B
S
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), , ,
, và .
, 
.
2. Hình chĩp tứ giác
	a) Hình chĩp S.ABCD cĩ SA vuơng gĩc với đáy và đáy là hình vuơng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuơng.
	b) Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuơng gĩc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta cĩ
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
z
x
y
A
D
D'
C'
B
B'
C
A'
	c) Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. đều cạnh a và vuơng gĩc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuơng gĩc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta cĩ: H(0; 0; 0), 
3. Hình lăng trụ đứng
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
Ví dụ: 1. Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng AC' vuơng gĩc với mặt phẳng (A'BD).
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O º A; B Ỵ Ox; D Ỵ Oy và A' Ỵ Oz .
 	Þ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)Þ Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = 0
	 ÞPháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): và .
	Vậy AC' vuơng gĩc với (A'BC)
2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuơng cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.
Giải
Cách 1: 
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuơng nên 
A’
C’
B’
A
B
C
D
x
a
z
y
	Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi một vuơng gĩc, A(0;0;0), 
Ta cĩ: 
, với 
Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến : 
 Vậy, 
Cách 2:
A’
B’
C’
C
B
A
F
D
H
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuơng nên 
	Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Ta cĩ: .
	.
Ta cĩ: 
Dựng 
Vì 
DA’FD vuơng cĩ: 
Vậy, 
x
y
z
A
B
C
D
3. Tứ diện ABCD cĩ AB, AC, AD đơi một vuơng gĩc với nhau, AB = 3, AC=AD=4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Lời giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A º O.
D ỴOx; C Ỵ Oy và B Ỵ Oz
Þ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Þ Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
Û 3x + 3y + 4z - 12 = 0.
Suy ra khoảngr cách từ A tới mặt phẳng (BCD).
II. Lyuyện tập
Bài 1: Cho hình chĩp SABC cĩ độ dài các cạnh đề bằng 1, O là trọng tâm của tam giác DABC. I là trung điểm của SO.
Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.
H là chân đường vuơng gĩc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của DSAC. 
Lời giải
x
1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là gốc tọa độ. AỴOx, SỴOz, BC//Oy
Þ;;;;
z
x
y
I
O
H
A
C
S
G
N
Ta cĩ: ;;
Þ Phương trình mặt phẳng (IBC) là: 
Hay: mà ta lại cĩ: .
Phương trình đường thẳng SA: .
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: .
Thay (1), (2), (3) và (4):
M
z
x
y
I
O
B
A
C
S
;
Þ M nằm trên đoạn SA và .
2. Do G là trọng tâm của tam giác DASC 
Þ SG đi qua trung điểm N của AC
Þ GI Ì (SNB) Þ GI và SB đồng phẳng (1)
Ta lại cĩ 
Từ (1) và (2) .
Bài 2: Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c đơi một vuơng gĩc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC cĩ khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
c
z
b
y
a
x
3
H
O
C
B
A
M
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d(M, (OAB)) = 3 Þ zM = 3.
Tương tự Þ M(1; 2; 3).
Þ (ABC): 
 (1). (2).
 .
(2).
Bài 3: Cho tứ diện ABCD cĩ AD vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuơng tại A, AD=a, AC=b, B=c. Tính diện tích của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng .
x
y
z
A
B
C
D
Giải 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a).
Theo bất đẳng thức Cachy ta cĩ:
Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC. A1B1C1 cĩ đáy là tam giác đề cạnh a. AA1 = 2a và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1; M di động trên cạnh AA1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1D.
Lời giải
z
x
C
C1
M
A
A
B
B
D
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho AºO; BỴOy; A1ỴOz. Khi đĩ: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)
và D(0;a;a)
Do M di động trên AA1, tọa độ M(0;0;t) với t Ỵ [0;2a]
Ta cĩ : 
Ta cĩ: 
Giá trị lớn nhất củatùy thuộc vào giá trị của tham số t.
Xét f(t) = 4t2 - 12at + 15a2
f(t) = 4t2 - 12at + 15a2 (t Ỵ[0;2a])
 f '(t) = 8t -12a
Lập bảng biến thiên ta được giá trị lớn nhất củakhi t =0 hay M º A.
Chú ý
+ Hình chĩp tam giác đều cĩ đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng khơng nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.
+ Tứ diện đều là hình chĩp tam giác đều cĩ cạnh bên bằng đáy.
+ Hình hộp cĩ đáy là hình bình hành nhưng khơng nhất thiết phải là hình chữ nhật.
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC
Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2. Cho DABC vuơng tại A cĩ đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuơng gĩc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chĩp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chĩp O.ABC cĩ các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA, OB, OC đơi một vuơng gĩc. Gọi lần lượt là gĩc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của DABC.
2. Chứng minh 
3. Chứng minh 
4. Chứng minh 
Bài 5. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tính gĩc j giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm .
3. Chứng minh rằng gĩc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuơng khi và chỉ khi 
Bài 6. Cho hình chĩp S.ABC cĩ DABC vuơng cân tại A, SA vuơng gĩc với đáy. Biết AB = 2, .
1. Tính độ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
3. Tính gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Bài 7. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuơng gĩc với nhau từng đơi một.
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chĩp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp.
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuơng gĩc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC cĩ DABC vuơng cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy. Vẽ AH vuơng gĩc với SB tại H, AK vuơng gĩc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuơng gĩc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.
3. Tính sin của gĩc giữa SB và (AHK).
4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chĩp S.ABC cĩ DABC vuơng tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuơng gĩc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tính cosin gĩc giữa hai đường thẳng AC và SD.
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
3. Tính cosin của gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SBD) và (SCD).
Bài 12. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuơng gĩc với đáy và .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng (a) đi qua AB và vuơng gĩc với SC.
1. Tìm điều kiện của h theo a để (a) cắt cạnh SC tại K.
2. Tính diện tích DABK.
3. Tính h theo a để (a) chia hình chĩp thành hai phần cĩ thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đĩ tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
2. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC
Bài 14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a, SA = a và vuơng gĩc với đáy. Gọi E là trung điểm CD.
1. Tính diện tích DSBE.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3. (SBE) chia hình chĩp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đĩ. 
Bài 15. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3. Tính gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 16. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và cm. Mặt phẳng (a) đi qua A và vuơng gĩc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuơng gĩc với SB, AK vuơng gĩc với SD.
2. Chứng minh BD song song với (a).
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của .
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).
2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.
3. Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
4. Tìm điều kiện của a và b để . Trong trường hợp đĩ tính thể tích hình chĩp S.BCNM.
Bài 18. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. đều và vuơng gĩc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.
1. Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD).
2. Mặt phẳng (a) qua H và vuơng gĩc với SC tại I. Chứng tỏ (a) cắt các cạnh SB, SD.
3. Tính gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 19. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi tâm O. SO vuơng gĩc với đáy và , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng (a) qua A vuơng gĩc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại .
1. Chứng minh đều.
2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
Bài 20. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m .
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Cho , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SAK) và (SBK).
3. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.
3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính gĩc phẳng nhị diện [B,A'C,D].
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện cĩ diện tích nhỏ nhất.
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
1. Chứng minh A’C vuơng gĩc với (AB’D’).
2. Tính gĩc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k 
 a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
 b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đĩ MN là đoạn vuơng gĩc chung của AD’ và DB.
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD).
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp .
4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuơng ADD’A’. 
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tính bán kính r của đường trịn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy hình thoi cạnh a, Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 
2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuơng.
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác vuơng tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng (a) qua B và vuơng gĩc với B’C.
1. Tìm điều kiện của a, b, c để (a) cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trùng với C và C’).
2. Cho (a) cắt CC’ tại I.
 a. Xác định và tính diện tích của thiết diện.
 b. Tính gĩc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy.
-----------------------------
GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O)
Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan
	 (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán 
Các dạng toán thường gặp:
Độ dài đọan thẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
Góc giữa hai đường thẳng 
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Góc giữa hai mặt phẳng
Thể tích khối đa diện
Diện tích thiết diện
Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc
Bài toán cực trị, quỹ tích
Bổ sung kiến thức :
1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu
2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S
 Ta luôn có:
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chĩp tam giác
a. Dạng tam diện vuơng
Ví dụ 1. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c đơi một vuơng gĩc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC cĩ khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3 zM = 3.
Tương tự M(1; 2; 3).
pt(ABC): 
 (1).
 (2).
 .
(2).
Ví dụ: 
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.
	Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 
(Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003)
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :z
y
x
A
B
C
D
A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
b. Dạng khác
Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với đáy và vuơng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [H, SB, C]
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ:
 A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0).
mp(P) qua H vuơng gĩc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy 
[H, SB, C] = (1).
, suy ra:
ptts SB: , SC: 
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
 = 
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đĩ ta khơng cần phải tìm K.
Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuơng gĩc với (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm . Gọi I là trung điểm của BC, ta cĩ:
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuơng gĩc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:
O(0; 0; 0), S