Ôn tập môn Toán lớp 12 - Phương trình – bất phương trình vô tỷ

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG 
Ví dụ 1 Giải pt: 24 8 2 3 1x x x    
Bài giải 
ĐK: 32x   . 
Phương trình đã cho tương đương    
2
2 22
1 8 4 02 3 1 8 4 2 3 1 8 4 1
x xx x x x x x
             
Phương trình (1) tương đương 
ĐẶT ẨN PHỤ 
Ví dụ 2 Giải phương trình 32 3 2 3 6 5 8 0x x     
Bài giải 
ĐK: 65x  
Đặt 3 3 2t x  3 23
tx   . Phương trình đã cho trở thành 3 22 3 6 5 8 03tt
       
Ví dụ 3 Giải pt 2 22 3 5 4 6x x x x x      
Bài giải 
ĐK: 
NHÂN LIÊN HỢP 
Dạng 1 
Ví dụ 4 Giải pt 3 22 4 2 2 2
xx x x
    
Bài giải 
ĐK: 
Dạng 2 
Ví dụ 5 Giải pt 23 1 6 3 14 8 0x x x x       
Bài giải 
ĐK: 
Dạng 3 
Ví dụ 6 Giải pt 23 1 5 4 3 3x x x x      
Bài giải 
ĐK: 
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Dạng 1 
Ví dụ 7 Giải pt 31 1 2 6x x x x     
Bài giải 
ĐK: 
Dạng 2 
Ví dụ 8 Giải pt     2 22 4 7 1 3 1 0x x x x x        . 
Bài giải 
ĐK: 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Giải các phương trình và bất phương trình sau 
1. 46. 
2. 47. 
3. 48. 
4. 49. 
5. 50. 
6. 51. 
7. 52. 
8. 53. 
9. 54. 
10. 55. 
11. 56. 
12. 57. 
13. 58. 
14. 59. 
15. 60. 
16. 61. 
17. 62. 
18. 63. 
19. 64. 
20. 65. 
21. 66. 
22. 67. 
23. 68. 
2 2 2 1 1 4x x x      23 2 6 2 4 4 10 3x x x x       22 16 733 3x xxx x     24 4 2 12 2 16x x x x      
5 1 1 2 4x x x     22 7 2 1 8 7 1x x x x x        
22 1 3 1 0x x x         221 3 2 3 2 1x x x x x       
1 2 2 5 1x x x     2 24 3 4x x x x   
12 3 2 1x x x     2 3 25 8 3 2 5 7 6x x x x x     
28 6 1 4 1 0x x x     2 33 6 8 1x x  
2 7 5 3 2x x x     22 2 4 2x x x     
10 1 3 5 9 4 2 2x x x x       22 1 3 21 3 x xx x      
2 2 5 9x x x        2 2 34 2 1 3 2 2 1 2 5x x x x x x     
2 224 5 12 4 2x x x x         2 2 43 2 3 2 1x x x x   
2 21 9 9 2x x x x x       2 22 3 2 2x x x x x     
1 4 1 4x x    2 2 21 2 2 3 3 4 5x x x x x      
2 24 1 2 2 1x x x x x      243 4 4 2 3 16x x x    
2
1 1
2 12 3 5 xx x      2 1 2 3 3x x x x   
2 3 3 2 3x x x    23 1 6 3 14 8 0x x x x      
2 2 9x x x     22 12 1 3 2 2xx x    
1 2 2 3x x x       2 3 2 6 1 5x x x     
3 1 12 1
x x
x
   2 7 2 2 3 1 0x x x    
   1 2 1 3 1x x x    4 1 52x x xx x x      2 23 4 9x x x    2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x         
21 1 4 3xx
   2 22 3 2 3 6 4 2 11 6 3 2x x x x x x         
22 1 1 2 2 2 1x x x x       28 10 11 14 18 11x x x    
24. 69. 
25. 70. 
26. 71. 
27. 72. 
28. 73. 
29. 74. 
30. 75. 
31. 76. 
32. 77. 
33. 78. 
34. 79. 
35. 80. 
36. 81. 
37. 82. 
38. 83. 
39. 84. 
40. 85. 
41. 86. 
42. 87. 
43. 88. 
44. 89. 
45. 90. (THPTQG 2015) 
22 5 4 3x x x     3 23 2 4 1x x x x x      
1 32 3 9 22 2x x    23 1 5 4 3 3x x x x       2 23 10 12x x x x         21 2 6 7 7 12x x x x x x       
4 3 10 3 2x x    75 1 3 13 3xx x    
22 6 1 4 5x x x      4 2 4 2 2x x x        2 3 23 1 2 1 2x x x x    22 4 2 5 1x x x x     
9 99 x xx x    24 1 6 4 2 2 3x x x x     
32 3 2 3 6 5 8 0x x     235 1 9 2 3 1x x x x     
7 2 44 2xx x x xx
     2 26 2 1 12 1 1x x xx     
23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x        24 3 1 1x x x   
2 2
1 311 1
x
x x      22 2 1 1 5x x x x    
23 1 3 1 1x x x x       22 2 3 2x x x x     
2 12 8 1x x x xx    22 3 1x x x x     
2 23 15 3 3x x x x       24 1 2 2 3 1 2x x x x     
23 5 7 3 9 36 38x x x x       34 1 2 1 0x x x x    
2 24 2 3 4x x x x     27 8 2 2 11x x xx    
21 2 1 2 2x x x     24 1 4 1 1x x   
 211 1 2 12 4 8xxx x      3 33 3 2 3x x x   
2 21 2 3 4x x x x     3 2 33 1 6 2 5x x x x x       2 3 25 4 1 2 4x x x x x     2 32 11 21 3 4 4x x x   
22 3 4 6 5 0x x x x           4 4 1 2 2 1 5x x x x x      
21 4 1 3x x x x       22 2 8 1 2 22 3x x x xx x      
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
RÚT THẾ 
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 
Ví dụ 5 Giải hệ phương trình 
Ví dụ 6 Giải hệ phương trình 
ĐẶT ẨN PHỤ 
Ví dụ 7 Giải hệ phương trình 
Ví dụ 8 Giải hệ phương trình 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
1. (A-2003) 61. 
2. (D-2008) 62. 
3. (A-2011) 63. 
4. (D-2012) 64. 
3
1 1
2 1
x yx y
y x
     
2 22
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
        
 2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
        
   
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
y x y x x y y
y x y x y x y
               
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
          
2 2
2 2
2 2 2 2 1
2 2 2 0
x x x y y y
x y x y
            
 
2 3 2
4 2
5
451 2 4
x y x y xy xy
x y xy x
           
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
     
3
1 1
2 1
x yx y
y x
     
 2 2 2 3
2 23
1 2 2 0
3 2 2 0
x y y x y y
y xy x x
              
2 22
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
        
2 22 3 1 1
3 6 3 2 3 7 2 7
x xy y y y x
y x y x
                 
2 2 3
22 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
         
 4 19 20
2 2
y x y
x x y
      
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
        
3
3
2 0
3 3 0
x xy
y xy
      
5. (B-2013) 65. 
6. (A-2014) 
66. 
7. (B-2014) 67. 
8. (CĐ-2010) 68. 
9. (CĐ-2013) 69. 
10. (CĐ-2014) 70. 
11. 71. 
12. (B-2008) 72. 
13. 73. 
14. 74. 
15. 75. 
16. 76. 
17. 77. 
18. 78 
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
             
4 2 2
2
4 2
6
x y x y
x y y
     
 2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
        
   2 2 2 2 2 23 4 5 2 1x x yx y xy x y x y        
   
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
y x y x x y y
y x y x y x y
               
2 2
2 2
2 3 2
3
x xy y y
x y
      
2 2
2 2 3 2
2 2
x y x y
x xy y
       
 
2 2
3
2
xy x y x y
x y
     
2
3 1 0
4 10 0
xy y
x y xy
     
2 2
3
4 2 2
2 8 3 0
xy x y x y
x x y
       
2 2
2 2
7
2 2
x xy y
x xy y x y
           
2 2 19
1 2 20
x x y
xy x y
      
  22 2 22 2 4 8 2 34 15x y x yx y y xy y x          
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y
      
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
       
4 2 2 2
2
2 7 7 8
3 13 15 2 1
y xy y x x
y x x
           
 
3
4
1 8
1
x y x
x y
      
     3 22 213 2 9 3 4 2 1 1 0xy x x y x yy x y x x             
 
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
      
22
2 3
2 2 2
1 2 1 1
yy x xx
y x
       
  
2 2
22 2
3
7
x xy y x y
x xy y x y
        
2
2 2
3 5 4
2 5 2 2
x xy x y y y
x y x
         
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
        
2
2 2 2
2 2
2 1 2 3 2 4
xy y x
y x x x x x
         
  2 4
2 2
4 3 0
2 1 1 0
x y x y y y
x y y y
             
2
22 2
1
1 2 2
x yx y yy x
yy y xx
         
     2 2 23 01 3 1 2 2 0x xy xx y xy x y y                    22 21 1 2 1 3 1 3 1 3 21 9 1 9 2x x x y y xx y x y            
19. 79. 
20. 80. 
21. 81. 
22. 82. 
23. 83. 
24. 84. 
25. 85. 
26. 86. 
27. 87. 
28. 88. 
29. 89. 
30. 90. 
31. 91. 
 2 24 8 2
3 3 2 1
xy y x x
x y y
        
 3 3 2
2 2
7 3 12 6 1
2 3 9 1
x y xy x y x x
x y y
           
    
2 3
3 2
1 3 2 1 3 2 3
3 12 3 1 6 0
y x y x xy
x x x x y
               
3 2 2
2 2
2 2
4 2 16 3 2 4 12
x x y y x x
y x y x x
            
 
2 2
5 2
2
2 1 5
x y
x xyx y
      
3
3
4 3
1 2
x y x y
x y x y x y
           
 
3 2
4 2
4
3 3
x x y
x y x y x
        
2
2
4 1 17
2 1 2 2 2 2
y x x
x y x x x y
          
 
2 2
3 3 0
1 0
x y x y x y
x y x
          
 3 2
2
2 1 2
3 1 2
x x y x y
x x y x y
           
3 2
2
2 3 2 3 2
3 0
x y y x y y
x y y
             
3 2 4 6
2
2 2
2 1 1
y x y x x
x y x
       
2
4
9 3 3 3 2
x y x y x y
x y x
          
   
3 2
5
2 2 1
log 5 4 1 2x
x y x x y
y
          2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
         
   
2
23 3 7 3 20 6 0
2 2 3 2 8 3 14 8 0
x x y y
x y x y x x
                
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
          
3 2 3
2
8 12 10 2 3
2 3
x x x y y
x xy
       
 
44
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y
            
  3 3
3
3 1 1 1
3 3 19 105
x y y y x
y x y x y xy
                 3 2 22 2 24 1 2 1 62 2 4 1 1x y x xx y y x x           2 2 22 23 2 5 2 1 2 1 2 22 2 4 3x x x x y y yx y x y            
4 5 10 6
4 1 2 1 3 1 1
x y y x x
x x x y
          
 
 
3
2
4 3 1 2 1 0
2 2 1 0
x x y y
x x y y
          
2 2
2 2
2 2 2 2 1
2 2 2 0
x x x y y y
x y x y
            
  2 2
2
1 4 2
3 14
x x y y
x y x
        
32. 92. 
33. 93. 
34. 94. 
35. 95. 
36. 96. 
37. 97. 
38. 98. 
39. 99. 
40. 100. 
41. 101. 
42. 102. 
43. 103. 
44. 104. 
45. 105. 
 3 2
2 2
2 12 25 18 2 9 4
3 1 3 14 8 6 4
y y y x x
x x x y y
             
3
2
2 2 1 3 1
2 1 4 4
y y x x x
y y x
          
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 2 0
x y y x
x x y y
           
3 38 2
2 2 1
x x y y
x y x
       
3
2 2 2
2 2 1 3 1
9 4 2 6 7
y y x x x
y x y
         
 2 2 2
2 2
1 1 2 2 4
2 3 4 3 4
x y y x x
y x x
         
3 2 3 2
2
3 2 3
3 2 8
x x y y
x y y
       
  2 2
2
2 4 5 1 1
3 2 2 2 0
x x x y y
x x y x
             
3 2 3
3 2 8 2 10 3 12
5 2 8 6 2
y x x y xy
y x y xy x
           
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x
            2 2 22 2 22 2 4 1 14 1 2 1 6x y y x xx y x x           
2 2
2
31 1 2
2 5 1 2 2 4 2
y y y x
x x x x y
            
 2 3
2 3
3 3 2 3 1
3 1 6 6 2 1
x x x x y y
x x x y
               
  3
2 3 2
8 3 2 1 4 0
4 8 2 2 3 0
x x y y
x x y y y
           
 3
2 2
27 3 9 7 6 9 0
1092 33 81
x x y y
x y x
         
 
 
2 2 2
22 2
2 5 2 0
1 2 1
x y x y y
y x y xy x y x y
              
3 2 2
3 2 2
4 3
3 3 4 3
x x y x
y x y y
        
3 3 2
2 2
3 17 27 3 13
6 5 10 0
y xy x x x y
x y xy y x
            
     
2
2
12 7 3 2 4 1 0
1 3 1 2
x x y y
x x x y
               
2 3 6 4
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
       
2
2
2 log
log 5
x x y y
x y
     
  
3
3
2 3 8
2 6
x y
x y
    
2 2
2 2
21 1
21 1
x y y
y x x
            
3 3 2 2
2
17 32 6 9 24
2 4 9 2 9 9 1
x y x y x y
y x x y x x y
               
3 2 3
3 2
6 13 10
2 5 3 3 10 6
x x x y y
x y x y x x y
              
3 3 2
2 2
3 6 3 4
6 10 5 4
x y x x y
x y x y y x y
             
3 3 2
2 2 2
6 12 16 0
4 3 4 3 10 0
x y y x
x x y y y x
              
3
34 3 2
1 0
1 1 1
x x y y
x x x x y
          
46. 106. 
47. 107. 
48. 108. 
49. 
109. 
50. 110. 
51. (A-2008) 111. 
52. (B-2009) 112. 
53. (D-2009) 113. 
54. (A-2006) 114. 
55. (B-2003) 
 115. 
56. 116. 
57. 117. 
 
 
2 2 2
2 3 3
1 1 3 9 3
3 1 5 4 3 7
xy x y y
x x y xy x x y x
             
3 3 2
2 3
13 6 9 2 ln 01
log 3 log 1
xx x y y y y
y x y x
               
2
2 6 1
9 1 9 0
x y y
x xy y
        
 3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
             2 21 1 1
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x xy xy x
          
2
3
1 3 43 1 1
9 2 7 2 2 2 3
xx y y y x
y x y y
            
3 3 2
3
3 4 2 0
3 2 2
x y y x y
x x x y
           
      
2 2
3 3 3
1 1 1 1 1
3 4 1 0
y x y y x x
x x x y x y
               
  
 
2 36 4 2 1 1
3 2 2 2 1 0
x y y x
x x y y
            3 2
1 20161
log 2 1 3log 4
x yxy
y x
     
 
2 3 2
4 2
5
451 2 4
x y x y xy xy
x y xy x
           
   
2
2
1 0
1 2 0
x y x y
x x y y
         
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
     
7 2 4
2 2 5 8 2
x y x y
x y x
         
 2 2
1 3 0
5 1 0
x x y
x y x
        
2 24 8 2
2 4
x y xy
x y xy
     
3
1 1 4
x y xy
x y
       
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
       
2
2
2
2
23
23
yy x
xx y
   
2
2
2 3 5 0
2 3 5 0
x x y
y y x
      
     
2
2
1 4
1 2
x y y x y
x y x y
        
    
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
      
   
2 2 4
1 1 2
x y x y
x x y y y
         
3 2
3 2
156 0
39 0
x xy y
y x y x
      
58. 118. 
59. 119. 
60.  23 2 224 5 6y x yx xy x y      120. 
 
2
4
4 0
2 5 16
x x y
x y
        
3
3
2 3
3 2 1
x y y
y x
    
2
2 1 5
2
x y y x y
y xy y
         
Câu 8. HHGT trong mặt phẳng tọa độ Oxy 
I. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 
1. Phương trình đường thẳng 
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  2;5A  và đường thẳng : 3 4 1 0d x y   . Viết 
phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho 
5AM  . 
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm    1;1 , 4; 3A B  . Tìm tọa độ điểm C thuộc 
đường thẳng 2 1 0x y   sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. 
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các đường thẳng 1 : 2 3 0x y    và 2 : 1 0x y    . 
Tìm tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng 12 . 
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các đường thẳng 1 : 3 0d x y   , 2 : 4 0d x y   , 
3 : 2 0d x y  . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d . 
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình các cạnh 
: 3 7 0AB x y   , : 4 5 7 0BC x y   , : 3 2 7 0CA x y   . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh 
A của tam giác ABC . 
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 2 3 0d x y   . Tìm tọa độ điểm A thuộc 
trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng nhau qua d . 
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 3 0d x y   . Viết phương trình đường 
thẳng đi qua  2; 4A  và tạo với đường thẳng d một góc bằng 045 . 
Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 0d x y  và 2 : 2 1 0d x y   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết rằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d và các đỉnh 
,B D thuộc trục hoành. 
Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  2;2A và các đường thẳng 1 : 2 0d x y   , 
2 : 8 0d x y   . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc các đường thẳng 1d và 2d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . 
Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có  1; 2C   , đường trung tuyến kẻ từ 
A và đường cao kẻ từ B có phương trình lần lượt là 5 9 0x y   và 3 5 0x y   . Tìm tọa độ A 
và B . 
Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh  4;1B  , trọng tâm  1;1G và 
đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình 1 0x y   . Tìm tọa độ các đỉnh 
A và C . 
Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có  2;0M là trung điểm của cạnh AB . 
Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình 7 2 3 0x y   và 
6 4 0x y   . Viết phương trình đường thẳng AC . 
Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh  4;1C  , phân giác 
trong góc A có phương trình 5 0x y   . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam 
giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 
Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng 
hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm  1; 1H   , đường phân giác trong của 
góc A có phương trình 2 0x y   và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 3 1 0x y   . 
Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A . Biết  1; 1M  là trung 
điểm cạnh BC và 2 ;03G     là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh , ,A B C . 
Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại  3;2A  và có trọng tâm 
1 1;3 3G     . Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm  2;0P  . Tìm tọa độ B và C . 
Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Các đường thẳng , ', ' 'BC BB B C lần lượt 
có phương trình là 2 0, 2 0, 3 2 0y x y x y        ; với ', 'B C tương ứng là các chân đường cao 
kẻ từ ,B C của tam giác ABC . Viết phương trình đường thẳng ,AB AC . 
Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  0;2A và  là đường thẳng đi qua O . Gọi H là 
hình chiếu vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH . 
Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm  6;2I là giao điểm của 
hai đường chéo AC và BD . Điểm  1;5M thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD 
thuộc đường thẳng : 5 0x y    . Viết phương trình đường thẳng AB . 
Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh  1;4A  và các đỉnh ,B C 
thuộc đường thẳng : 4 0x y    . Xác định tọa độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác 
ABC bằng 18. 
Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh  6;6A , đường thẳng đi qua 
trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình 4 0x y   . Tìm tọa độ các đỉnh B và C , 
biết điểm  1; 3E  nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;02I     , phương trình đường thẳng : 2 2 0AB x y   và 2AB AD . Tìm tọa độ các đỉnh , , ,A B C D biết A có hoành độ 
âm. 
Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng : 4 0x y    và : 2 2 0d x y   . 
Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  tại điểm 
M thỏa mãn . 8OM ON  . 
Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm  3; 2H  , trung điểm của 
AB là 1 ;02M     và phương trình : 3 2 0BC x y   . Tìm tọa độ , ,A B C . 
Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm  1;0H , tâm đường tròn 
ngoại tiếp 3 3;2 2I     và chân đường cao kẻ từ đỉnh A là  0;2K . Tìm tọa độ , ,A B C . 
Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là 
17 1;5 5H     , chân đường phân giác trong của góc A là  5;3D và trung điểm của cạnh AB là  0;1M . Tìm tọa độ đỉnh C . 
Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có điểm 9 3;2 2M     là trung điểm của 
cạnh AB , điểm  2;4H  và điểm  1;1I  lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh B và tâm đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C . 
Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn      2 2: 1 1 4C x y    và đường thẳng 
: 3 0y   . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của  C , các đỉnh N và P thuộc  , đỉnh 
M và trung điểm của cạnh MN thuộc  C . Tìm tọa độ điểm P . 
Bài 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD lần 
lượt có phương trình là 3 0x y  và 4 0x y   ; đường thẳng BD đi qua điểm 1 ;13M     . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD . 
Bài 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh 1 ;12B     . Đường tròn nội tiếp 
tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh , ,BC CA AB tương ứng tại các điểm , ,D E F . Cho  3;1D và 
đường thẳng EF có phương trình 3 0y   . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương. 
2. Phương trình đường tròn 
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm  2;0A và  6;4B . Viết phương trình đường 
tròn  C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C đến điểm B bằng 5. 
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có    0;2 , 2; 2A B   và  4; 2C  . Gọi H 
là chân đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm , ,H M N . 
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn      2 2: 1 2 9C x y    và đường thẳng 
: 3 4 0d x y m   . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp 
tuyến ,PA PB tới  C ( ,A B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. 
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2: 2 6 6 0C x y x y     và điểm  3;1M  . Gọi 1T và 2T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến  C . Viết phương trình 
đường thẳng 1 2TT . 
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2: 2 2 1 0C x y x y     và đường thẳng 
: 3 0d x y   . Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán 
kính đường tròn  C , tiếp xúc ngoài với đường tròn  C . 
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các đường thẳng : 3 0d x y   , : 2 0x y    và điểm  1;3M  . Viết phương trình đường tròn đi qua M , có tâm thuộc d và cắt  tại hai điểm ,A B 
sao cho 3 2AB  . 
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2: 2 4 1 0C x y x y     và đường thẳng 
: 4 3 0d x y m   . Tìm m để d cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho  0120AIB  , với I 
là tâm của  C . 
Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 2 3 0d x y   . Viết phương trình đường 
tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox tại A và B , cắt trục Oy tại C và D sao cho 2AB CD  . 
Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 2 0x y    và đường tròn   2 2: 4 2 0C x y x y    . Gọi I là tâm của  C , M là điểm thuộc  . Qua M kẻ các tiếp tuyến 
MA và MB đến  C ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện 
tích bằng 10. 
Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 4 0d x y   và các đường tròn   2 21 : 4C x y  ,   2 22 : 12 18 0C x y x    . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  2C , tiếp 
xúc với d và cắt  1C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d . 
Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  1;0A và đường tròn   2 2: 2 4 5 0C x y x y    
. Viết phương trình đường thẳng  cắt  C tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông 
cân tại A . 
Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn    2 2 4: 2 5C x y   và hai đường thẳng 
1 : 0x y   , 2 : 7 0x y   . Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính của đường tròn  1C ; biết 
đường tròn  1C tiếp xúc với các đường thẳng 1 2,  và tâm K thuộc đường tròn  C . 
Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn    2 2: 1 1C x y   . Gọi I là tâm của  C . 
Xác định tọa độ điểm M thuộc  C sao cho  030IMO  . 
Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2: 4 4 6 0C x y x y     và đường thẳng 
: 2 3 0x my m     , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn  C . Tìm m để  cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 
Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 0x y   . Đường tròn  C có bán kính 
10R  cắt  tại hai điểm A và B sao cho 4 2AB  . Tiếp tuyến của  C tại A và B cắt nhau 
tại một điểm thuộc tia Oy . Viết phương trình đường tròn  C . 
3. Phương trình elip 
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  2;0C và elip   2 2: 14 1x yE   . Tìm tọa độ các 
điểm ,A B thuộc  E , biết rằng hai điểm ,A B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác 
ABC đều. 
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  2; 3A và elip   2 2: 13 2x yE   . Gọi 1F và 2F là 
các tiêu điểm của  E ( 1F có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng 
1AF với  E ; N là điểm đối xứng của 2F qua M . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam 
giác 2ANF . 
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2: 8C x y  . Viết phương trình chính tắc 
của elip  E , biết rằng  E có độ dài trục lớn bẳng 8 và  E cắt  C tại 4 điểm tạo thành 4 đỉnh 
của một hình vuông. 
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có 2AC BD và đường tròn tiếp xúc 
với các cạnh của hình thoi có phương trình 2 2 4x y  . Viết phương trình chính tắc của elip  E 
đi qua các đỉnh , , ,A B C D của hình thoi. Biết A thuộc Ox . 
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip   2 2: 14 1x yE   . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc  E , có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. 
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN OXY 
1. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác (Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc) 
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn 
AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho 3AN NC . Viết phương trình đường thẳng CD , biết 
rằng  1;2M và  2; 1N  . 
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , 
N là điểm trên cạnh CD sao cho 2CN ND . Giả sử 11 1;2 2M     và đường thẳng AN có phương trình 2 3 0x y   . Tìm tọa độ điểm A . 
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y  và 2 : 3 0d x y  . Gọi  T là đường tròn tiếp xúc với 1d tại A , cắt 2d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC 
vuông tại B . Viết phương trình của  T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 32 và điểm A có hoành độ dương. 
Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD có 2AB AD , tâm  1; 2I  . Gọi M là trung điểm của cạnh CD
,  2; 1H  là giao điểm của hai đường thẳng AC và BM . Tìm tọa độ các điểm ,A B . 
Bài 5 Cho hình vuông ABCD có phương trình cạnh AD là 3 4 7 0x y   . Gọi E là điểm nằm 
trong hình vuông sao cho tam giác EBC cân và góc  0150BEC  . Viết phương trình cạnh AB , 
biết  2; 4E  . 
Bài 6 Cho hình thoi ABCD có đỉnh  1;0A , đường chéo BD có phương trình 1 0x y   . Tìm 
tọa độ các đỉnh , , ,A B C D của hình thoi biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng BC bằng 
8
5 . 
Bài 7 Cho đường tròn   2 2: 8 6 21 0C x y x y     và đường thẳng : 1 0d x y   . Xác định tọa 
độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn  C biết đỉnh A thuộc d . 
Bài 8 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48, đỉnh  D 3;2 . Đường phân giác của góc 
BAD có phương trình 7 0x y   . Tìm tọa độ đỉnh B , biết đỉnh A có hoành độ dương. 
Bài 9 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D , 2CD AB , đỉnh  8;4B . Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của D lên AC , điểm 82 6;13 13M     là trung điểm của CH , phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là 2 0x y   . Tìm tọa độ , ,A C D . 
Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có AB , AD tiếp xúc với đường tròn      2 2: 2 3 4C x y    , 
đường chéo AC cắt đường tròn  C tại các điểm 16 23;5 5M     và N thuộc trục Oy . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết A có hoành độ âm, D có hoành độ dương và diện tích tam giác AND bằng 10. 
Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD có 4 2AB  , điểm A có hoành độ âm. Đường thẳng AB có phương trình 2 0x y   , đường chéo BD có phương trình 3 0x y  . Viết phương trình các 
cạnh , ,BC CD DA . 
Bài 12 Cho hình chữ nhật ABCD có 2AB AD nội tiếp đường tròn  C , tâm  2; 2I  . Lập 
phương trình đường tròn  C và tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết rằng cạnh 
AD nằm trên đường thẳng 3 2 0x y   và A có hoành độ âm. 
Bài 13 Cho hình vuông ABCD có  1;1A , 4AB  . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , điểm 
9 3;5 5K     là hình chiếu vuông góc của D trên AM . Tìm tọa độ các đỉnh , ,B C D , biết đỉnh B có hoành độ bé hơn 2. 
Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có 2BD AC , phương trình đường 
thẳng : 0BD x y  . Gọi M là trung điểm của CD , hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường 
thẳng BM là điểm  2; 1H  . Viết phương trình đường thẳng AH . 
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh  3; 2A  , đường thẳng BC có phương trình 
2 1 0x y   . Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A , biết 3 2AD  và D có hoành 
độ lớn hơn 1 . Tìm tọa độ các đỉnh ,B C . 
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông tại B , 2AB BC . Gọi D là trung điểm của AB và E là điểm 
thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn 3AC EC . Tìm tọa độ các đỉnh , ,A B C biết 16 ;13E     và đường thẳng CD có phương trình 3 1 0x y   . 
Bài 17 Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là điểm thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn 
3AB AM . Đường tròn tâm  1; 1I  đường kính