Ôn tập môn Toán lớp 11 - Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian

CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUƠNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
I. Hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
 C1 : Dùng các quan hệ vuơng gĩc đã biết trong mặt phẳng.
 C2 : gĩc.
P
 C3: Dùng hệ quả:
 C4: Dùng hệ quả:
// , 
 C5 : Dùng hệ quả:
 C6 : Sử dụng định lí ba đường vuơng gĩc.
 C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với hai cạnh của một tam giác thì vuơng gĩc với cạnh cịn lại của tam giác
C8:ab khi 2 vtcp của 2 đt đĩ vuơng gĩc.
Chú ý:Đlí hàm số cosin ;
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD đều. CM: AB vuơng gĩc với CD
Hướng dẫn tĩm tắt: dùng tích vơ hướng 
 C2:Gọi M là tđ của AB ,CM cho AB (MCD)
Bài 2 : Cho hình chop S.ABC cĩ AB = AC, gĩc SAC = gĩc SAB. M là trung điểm BC. C/M 
AM vuơng gĩc với BC và SM vuơng gĩc với BC
SA vuơng gĩc với BC
Hướng dẫn tĩm tắt: a,ABC cân AM BC.
 b, SAB=SAC(cgc) SB=SCSMBC
Bài 3 :Cho tứ diện ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD
CM: AOCD
Tính gĩc giữa 2 đt AB và CD
Hướng dẫn tĩm tắt: a,
 b.Gọi M là trđ CD AM CD ,lại cĩ AOCDCD(AMB) CDAB
Bài 4 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuơng cân và AB= AC = . 
 a..Tính gĩc giữa 2 đt SA và BC
b.Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và SC
Hướng dẫn tĩm tắt:
Gọi M là trđ BC và cĩ AMBCBC(SAM) gĩc giữa SA và BC là 
Bài 5 :Cho tứ diện ABCD trong đĩ ABAC, ABBD. Gọi P và Q lần lựơt là trung điểm của AB 
 và CD. Chứng minh AB PQ
Hướng dẫn tĩm tắt:
Bài 6 : Cho tứ diện ABCD cĩ AB = AC = AD và BAC = BAD = 600. Chứng minh
a.AB CD
b.Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MNAB, MNCD
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.Từ g thiết ABC , ABD là đều.Gọi M là tr đ AB CMAB;DMABABCD
 b.Theo a *cĩ ABMN
 *Xét MCD cĩ MC=MDMCD cân tai M,N là tr đ CDMNCD.
Bài 7 : Cho tứ diện ABCD cĩ đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, AB= AC= AD = 
a.CMR AD vuơng gĩc BC
b,Gọi I là trung điểm CD. Tính gĩc giữa AB và CD
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.Gọi E là tr đ CBAEBC. DBC đềuDEBCBC(AED) BCAD
 cách 2: BCAD
 b. I là trung điểm CDBICD;AICDCDAB
Bài 8 :Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính gĩc giữa AB và CD
Bài 9 : Cho tứ diện ABCD cĩ AB= AC =AD= a, BC= BD= a, CD= 2a
a.Tính gĩc giữa 2 đt AB và CD
b.Tính gĩc giữa 2 đt AD và BC
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.(AB,CD)= 
 b.
Bài 10 :Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, tâm O, các gĩc SAB, SAC, SAD đều vuơng, SA=. Tính gĩc giữa SC và AD
Hướng dẫn tĩm tắt:
II. Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
 C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng khi nĩ vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
, cắt nhau , , 
 C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuơng gĩc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuơng gĩc với mặt phẳng
// , 
 C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuơng gĩc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuơng gĩc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuơng gĩc với mặt phẳng kia
 C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba đĩ
Lưu ý các kiến thức thường gặp:
Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
Hình thoi, hình vuơng cĩ 2 đường chéo vuơng gĩc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài 11 : Cho tứ diện ABCD cĩ 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là trung điểm BC.
chứng minh BC vuơng gĩc AD
kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuơng gĩc với mp(BCD)
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.BCDI và BCAI nên BCAD
 b.AHDI và AHBC nên AH(BCD)
Bài 12 : Cho hình chop SABC. SA vuơng gĩc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuơng tại B.
 a .cm BC SB
 b.Từ A kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. Cm: AH (SBC), SC ( AHK) 
Hướng dẫn tĩm tắt:
BC AB và BCSA nên BCSB
AH SB và AH BC nên AH(SBC)
 AHSC và AKSC nên SC(AHK)
Bài 13 : Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh 
a.SO vuơng gĩc với (ABCD)
b.AC vuơng gĩc SD, BD SA
c.Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. cm IJ(SBD)
d.Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. cm: AD(SOH)
 Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.SOAC và SOBD nên SO(ABCD)
 b.ACBD và ACSO nên AC(SBD) suy ra ACSD
 c.IJ //AC mà AC(SBD) nên IJ//(SBD)
 d.ADSH và ADSO nên AD(SOH)
Bài 1 4 : Cho tứ diện ABCD cĩ AB CD, AC BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.
a.cm AH (BCD)
b.cm AD CD
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.CDAH và BDAH nên AH(BCD)
 b.BCAH và BCDH nên BCAD.
Bài 15 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA đáy. Đáy ABCD là hình thang vuơng tại A.
 AD = 2AB = 2BC
a.cm BC (SAB)
b.cm SC CD
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.BCSA và BCAB nên BC(SAB)
 b.MAC cân tại M nên gĩc MAC =.tương tự gĩc MCD=.do đĩ CDSA và CDAC 
 nên CDSC
Bài 16 : Hình chop S.ABC cĩ SA vuơng với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm BC. CM: 
a.BC (SAM) b.Vẽ AH SM tại H. cm AH SB
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.BC AM và BCSA nên BC(SAM)
 b.AHSM và AHBC nên AH(SBC)
Bài 17 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA = và các cạnh cịn lại đều bằng a. Gọi I là trung điểm BC. cm: 
a.BC SA
b.SI (ABC)
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.BC AI và BCSI nên BCSA
 b. nên SIAI tại I. SIBC và SIAI nên SI(ABC)
Bài 1 8 : Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. SA = a và SA (ABCD)
a.Gọi I là trung điểm SD. cm AI (SCD)
b.Gọi O là tâm hình vuơng ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình chiếu của O trên CM
Hướng dẫn tĩm tắt: a.AISD và AI CD nên AI(SCD)
Bài 19 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuơng cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD
Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuơng
cm SI(SCD); SJ(SAB)
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của S lên IJ cm SHAC
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a..tam giác SIJ vuơng tại S
 b.ISSJ và SICD nên SI(SCD)
 c.SHIJ và SHAB nên SH(ABCD) suy ra SHAC
Bài 20 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng tâm O, SA(ABCD). 
a.cm các mặt bên của h/c là các tam giác vuơng
b.cm (SAC) là mp trung trực của BD
Hướng dẫn tĩm tắt:
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuơng gĩc của đường thẳng và mặt phẳng
Các định lý
1.
2.
3. 
4. 
5. 
B. Bài tập ứng dụng
Bài 21 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O, SA vuơng gĩc (ABCD). Gọi là mặt phẳng qua A và vuơng gĩc với SC, cắt SC tại I.
Xác định giao điểm của SO và ()
Cm: BD vuơng gĩc SC. Xét vị trí tương đối của BD và ()
Xác định giao tuyến của (SBD) và ()
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và( )
b.BDAC và BDSA nên BD(SAC) suy ra BDSC
c.giao tuyến là đt qua J và song song với BD
Bài 22 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O, SA vuơng gĩc (BCD) và SA = AB. Gọi H và M 
 lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuơng gĩc với (AHD) 
Hướng dẫn tĩm tắt:
OM //SB mà SB (AHD) suy ra OM(AHD)
Bài 23 : Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN (ABC)
Hướng dẫn tĩm tắt:M là trọng tâm tam giác ABC nên AM=2MH,lại cĩ AN=2NS nên MN//SH mà SH(ABC) suy ra đpcm.
Bài 24 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, SA (ABC)
Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. cm BC (SAB) và AH (SBC)
Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. cm SC (AHK)
Kẻ đường cao BM trong tam giác SBC. cm BM //(AHK)
Hướng dẫn tĩm tắt:
a.AHSB và AH BC nên AH(SBC)
b.SCAK và SCAH nên SC(AHK)
c.BMSC mà (AHK) SC nên BM//(AHK)
IV. Mặt phẳng vuơng gĩc mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
 .
 C1 : Chứng minh gĩc giữa chúng là một vuơng.
O
, , 
Khi đĩ:
 gĩc gĩc 
 C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau nếu cĩ một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuơng gĩc với mặt phẳng kia.
B. Bài tập ứng dụng:
Bài 25 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi
a.cm SO (ABCD) b. cm (SAC) (SBD) 
Hướng dẫn tĩm tắt:
Bài 26 : Hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng cân tại B. SA đáy
a. cm: (SAB) (SBC) b.Gọi M là trung điểm AC. cm (SAC) (SBM)
Hướng dẫn tĩm tắt:
a.Trong (SBC) cĩ BC(SAB) nên(SBC) (SAB)
b.Trong (SBM)cĩ BM(SAC) nên (SBM) (SAC)
Bài 27 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA (ABC). Tam giác ABC vuơng tại B
a. cm: (SAC) (ABC)
b.Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. cm (AHK)(SBC)
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.Trong (SAC) cĩ SA(ABC) suy ra đpcm
 b.Trong (AHK) cĩ AK(SBC) suy ra đpcm
Bài 28 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. dựng đoạn SD = vuơng gĩc với (ABC). cm 
a.(SBC)(SAD) b.(SAB) (SAC) 
Hướng dẫn tĩm tắt:
a.Trong tam giác (SBC) cĩ BC(SAD) suy ra đpcm
b.SAB=SAC.Trong SAC kẻ đg cao CKSA,Trong tam giác SAB kẻ đg cao BKSA.2 tam giác vuơng SDA và IKA đồng dạngsuy ra tam giác BKC vuơng tại K.
Bài 29 : Cho hình chop S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại C, mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABC).
cm: (SBC)(SAC) b.Gọi I là trung điểm của SC. CMR (ABI)(SBC)
Hướng dẫn tĩm tắt:
a.H là tr điểmAC.SHAC nên SH(ABC).BCCA và BCSH nên BC(SAC)suy ra đpcm.
b.SC là giao tuyến của (SAC) và (SBC).tam giác SAC đều nên AISC suy ra AI(SBC).
Bài 30 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC
cm SI(ABCD)
cm SAD, SBC là tam giác vuơng
cm (SAD) (SAB) và (SBC) (SAB)
cm (SDK) (SIC)
Hướng dẫn tĩm tắt:
 c.Trong (SAC)cĩ DA(SAB) nên (SAD) (SAB)
 d.cm DKIC ta cĩ DKIC và DKSI nên DK(SIC)
Bài 31 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD
cm (SAB) (SBC); (SAD) (SCD) b. cm (AEF) (SBC); (AEF) ((SCD)
Hướng dẫn tĩm tắt:
Bài 32 : Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O và SOmp(ABCD). SO = a/2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
cm: (SBD)(SAC) b. cm (SIJ) (SBC)
Hướng dẫn tĩm tắt:
Bài 33 : Cho tứ diện ABCD cĩ SA(ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC. cm
AH, SK, BC đồng quy b.SC(BHK); (SAC) (BHK)
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.AHBC=M .SM BC do đĩ SM là đg cao của tam giác SBC 
vậy SK,BC,AH đồng quy tại M
 b.SCBK và SCBH nên SC(BHK) từ đĩ suy ra (SAC) (BHK)
V.CÁCH XÁC ĐINH GĨC
A. Lý thuyết1. Gĩc của hai đường thẳng
Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
Gĩc (a,b) = gĩc (a’,b’) =
Thường chọn điểm O a hoặc O b
2. Gĩc của hai mặt phẳng
giao tuyến của và .
Dựng: và 
Gĩc = Gĩc = 
Chú ý: * 
 * Nếu thi chọn gĩc 
3. Gĩc của đường thẳng và mặt phẳng 
Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gĩc giữa đường thẳng đĩ và hình chiếu của nĩ trên mặt phẳng
.
Gọi a’ là hình chiếu của a trên (
Khi đĩ: Gĩc = Gĩc(a,a’) = .
Bài tập
Bài 34 : Cho tứ diện đều ABCD. Tính các gĩc sau:
Gĩc giữa AB và (BCD)
 Hướng dẫn tĩm tắt:
G là trọng tâm BCD.BG=.Gĩc giữa AB và (BCD)=gĩc giữa AB và BG.; 
Bài 35 : Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a; SA (ABCD) và SA = . Tính các gĩc giữa:
SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC)
(SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD)
Hướng dẫn tĩm tắt: a.
.Gĩc của SC và (ABCD)=gĩc giữa SC &AC=gĩc SCA;gĩc SCA=
Gĩc (SC;(SAD))=gĩc (SC:SD)=gĩc CSD=69017’
Gĩc SB&(SAC)=gĩc (SB;SH)=gĩc HSB=15030’(kẻ BHAC thì BH(SAC) )
gĩcAC&(SBC)=gĩc (AC;CK)=40053’ vĩi K là hc của A lên SB
gĩc giữa (SBC)&(ABCD) là gĩc SBA=67047’
gĩc giữa (SBD)&(ABCD)là gĩc SOA=73053’
gĩc giữa (SAB)&(SCD)=gĩc DSA=22012’
Bài 36 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a. Tính các gĩc giữa SB, (ABC) và gĩc giữa SC, (SAB)
Hướng dẫn tĩm tắt:
Gĩc giữa SB&(ABC)=(SB;AB)=gĩc SBA=63026’
Gĩc giữa SC&(SAB)=(SC;AC)=gĩc SCA=63026’
Bài 37 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a, SA (ABCD)
CMR: BC(SAB)
Biết gĩc tạo bởi SC và (ABCD) là . Tính SA
Hướng dẫn tĩm tắt:
 b.SA=AC=
Bài 38 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a, SA= SB= SC =SD = a
CMR (SAC) (SBD)
Tính gĩc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.Trong (SAC) cĩ ACSO và ACBD nên AC(SBD) suy ra đpcm
 b.Gọi M là tr điểm AB.Gĩc giữa (SAB)&(ABCD)=gĩc(MO;SM)=
gĩc SMO. vuơng tại M;gĩc SMO=20042’
Bài 39 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang vuơng ABCD vuơng tại A và D, cĩ AB = 2a, AD=DC=a, SAmp(ABCD) và SA = a
CMR BC(SAC)
Xác định gĩc giữa SB và (ABCD); SB và (SAC)
CMR mp(SAD)mp(SDC), mp(SAC)mp(SCB)
Tính tan của gĩc giữa 2 mp(SBC) và (ABCD)
 Goi là mp chứa SD và vuơng gĩc với mp(SAC). Xác định thiết diện của hình chĩp S.ABCD với 
 Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.Gọi M là tr điểm của AB.tính được gĩc BCA=900 nên BCAC và BCSA do đĩ BC(SAC)
 b. (SB;(ABCD))=(SB;AB)=gĩc SBA=26033’
 Gĩc giữa SB&(SAC)= (SB;SC)=BSC;tam giác SBC vuơng tại C nên gĩc BSC=32018’
 c.Trong (SDC) cĩ DC DA và DCSA nên DC(SAC) hay (SCD) (SAC)
 d.Trong (SBC)cĩ SCBC và (SAC) cĩ ACBC nên gĩc của 2 mp này =gĩc (SC;AC)=35015’
 e.Gọi M là tđiểm AB cĩ DM(SAC) nên thiết diện là tam giác SMD
Bài 40 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a gĩc BAD = 600 và SA = SB = SD = 
CMR: (SAC)(ABCD)
 CMR SBBC
 Tính gĩc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)
 Hướng dẫn tĩm tắt:
 c.Trong (SBD) cĩ SOBD;trong (ABCD) cĩ ACBD nên gĩc của (SBD)&(ABCD)=(SO;AC)=SOA. Tính được SO=;AC=;SC=;
Bài 41 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuơng gĩc, ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
Chứng minh DC(SMN)
Tính gĩc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
Tính gĩc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)
 Hướng dẫn tĩm tắt:SMAB và (SAB) (ABCD) nên SM(ABCD)
 a.DCSM và DCMN nên DC(SMN)
 b.gĩc (SN;(ABCD))=(SN;MN)=gĩc SNM=40053’.
 C,SM(ABCD) nên (SMC) (ABCD)
Bài 42 : Cho hình chĩp S.ABC đáy là tam giác ABC vuơng cân tại A, AB= AC= a, SA(ABC),
 SA = a
Tính gĩc giữa 2 mp (SBC) và (ABC)
Tính gĩc giữa 2 mp (SAC) và (SBC)
 Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.Gọi H là t điểm BC .Gĩc (SBC)&(ABC)=(SH;AH)=gĩc SHA=54044’
 b.Cĩ BA(SAC).(1)
 Trong (SAH) kẻ ANSH thì AN(SBC) .(2) Từ (1) &(2) cĩ gĩc (SAC)&(SBC)
 =gĩc (BA;AN)=gĩc BAN=54044’
Bài 43 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a, SA(ABCD), SA = a. 
 Tính gĩc giữa 2mp
(SBC) và (ABCD)
(SBC) và (SCD)
 Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.gĩc (SBC)&(ABCD)=gĩc SBA=450
 b.Trong tam giác SDC kẻ DKSC; trong tam giác SBC kẻ BKSC. Gĩc (SBC)& (SDC)
 = (DK;BK)=gĩc BKD.cĩ DK=BK.;BD=;SC(BDK) nên SCKO do đĩ tam giác CKO vuơng tại K. KO= và gĩc DKO =600suy ra gĩc DKB=1200.Vậy gĩc (SBC)&(SDC)=600.
VI.KHOẢNG CÁCH
A. Lý thuyết
Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng // song song
Khoảng cách giữa hai 
mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai 
Đường thẳng chéo nhau
 Cách1
Cách 2 nếu a b
- d ựng ho ặc tìm mp() ch ứa b v à vu ơng g ĩc v ới a t ại A.
- trong , dựng đoạn AB b tại B
 - đoạn AB là đoạn vuơng gĩc chung của a và b
B. Bài tập
Bài 44 : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuơng cân tại B và AC = 2a, cạnh SA (ABC) 
 và SA = a
CM: (SAB)(SBC)
Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)
Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
Gọi D , E là trung điểm của BC và SC tính khoảng cách từ A đến SD, k/c từ E đến AB
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.BC(SAB) nên (SBC) (SAB)
 b.*Trong tam giác SAB kẻ AHSB ,AH(SBC)
 *d(C;(SAB))=CB=a ;d(B;(SAC))=BO=a với O là t điểm AC.
 c.Gọi I là tđ AB
 d.tam giác SDA vuơng tại A,kẻ AKSD thì AK=d(A;SD)= 
Bài 45 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là tam giác đều cạnh a; SA = SB = SD = . Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH.
Tính khoảng cách từ S đến (ABC)
Tính khoảng cách từ S đến BC
Tính khoảng cách từ I đến BC
Hướng dẫn tĩm tắt:
Bài 46 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA (ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ:
A đến (SBD) b.A đến (SBC) c.O đến (SBC)
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a. Kẻ AIBD BDSI,trong (SAI) kẻAHSIAH(SBD).;AH.SI=AB.AI
 AI=12/5;SI=;AH=
 b.d(A;(SBC))=
 c.M là t đ của ABOM//(SBC) nê n d(O;(SBC))=d(M;(SBC))=1/2d(A;(SBC))=
Bài 47 : Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy SA (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B. AB = BC = = a, SA = a
CM các mặt bên của hình chĩp là những tam giác vuơng
Tính k/c từ A đến mp(SBC)
Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Hướng dẫn tĩm tắt:
 b.d(A;(SBC))=
 c.tam giác SBD cân tại D;I là tđ SB; DI=;=
Bài 48 : Cho tứ diện ABCD cĩ 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuơng gĩc với nhau. Tam giác ABC vuơng tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuơng tại D và DC = a.
CMR các tam giác BAD và BDC đều vuơng
Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: ỊJ là đương vuơng gĩc chung của AD và BC
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.tam giác BAD vuơng tại A.;tam giác BCD vuơng tai D
 b.BC=;DJ=1/2BC;AJ=1/2BC suy ra tam giác AJD cân tại J (1)
IC=;JC=;IJ=.tam giác IJC vuơng tại J(2)
Từ (1) & (2) IJ là đường vuơng gĩc chung của AD&BC
Bài 49 : Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc (ABC) và SA = h. Gọi I là trung điểm SC.
Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)
Tính k/c từ I đến AB
CMR (SBC) (SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)
Tính k/c giữa các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD
Dựng và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC & AB
Hướng dẫn tĩm tắt:
a.Gọi H là tđ AC ;IH=d(I;(ABCD))=h/2
b.Gọi K là tđ AB ;thì AB KH nên AB(KHI) d(I;AB)=KI=
c.)d(A;(SBC))=;kẻ AESH thì AE(SBD)
d.)d(AD;SC)=d(AD;(SBC))=d(A;(SBC)). d(SA;CD)=AD=a
e. * đoạn vuơng gĩc chung của SB&CD là CB=a
 *. đoạn vuơng gĩc chung của SC& BD là HM với HM SC 
 * đoạn vuơng gĩc chung củaSC&AB là AF với AFSC
Bài 50 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là h/vuơng tâm O, cạnh a. SA= SB =SC =SD = . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
Tính k/c từ S đến (ABCD)
CM (SIJ) (SBC)
Tính k/c từ O đến (SBC)
Tính k/c giữa 2 đt AD và SB
Tính k/c từ S đến CI
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a,d(S;(ABCD))=SO=
 b.d(O;(SBC))=OH= ,vớiOHSJ
 c.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=d(I;(SBC))IK=2OH ,với IKSJ
 e.d(S;CI)=SE =;tam giác SCI 
Bài 51 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA(ABCD) và SA = a.
a.CMR (SAE) (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD
b.Tính k/c từ A đến (SBD)
c.Tính k/c giữa các đt AD và SB; AB và SC
Hướng dẫn tĩm tắt:
 b.trong tam giác SAE kẻ AHSE .d(A;(SBD))=AH=2a/3
 c.trong tam giác SAB kẻ AK SB thì AK=d(SB;AD)=
Bài 52 : Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình thang vuơng tại A và B với AB= BC= a; AD= 2a, SA(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa a. SB và CD; b.SD và AC
Hướng dẫn tĩm tắt:
a.
b.Từ A kẻ AE//=CD,suy ra ACDE là hcn.Từ A hạ AHSE thì AHDE do đĩ AH(SED).
D(AC;SD)=d(AC;(SED))=d(A;(SED))=AH=
Bài 53 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi tâmO, cạnh a, gĩc BAD = . SO(ABCD),
 SO = a . a.Tính k/c từ O đến (SBC)
b.Tính k/c giữa 2 đt chéo nhau AD và SB
Hướng dẫn tĩm tắt:
a,d(O;(SBC))=OH=.với OHSC
b.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=2.OH
Bài 54 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. tam giác SAD đều và nằm trong mp (ABCD). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a.CMR (SIJ) (SBC)
b.Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB; SA và BD
Hướng dẫn tĩm tắt:
 a.BCIJ và BCSI nên BC(SIJ) ,do đĩ (SIJ) (SBC)
 b.d(S;(ABCD))=SI=
 c. d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=IH =,với IHSJ
 d(SA;DB)=
Bài 55 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cacsc cạnh bằng a.
a.CM (BĐ’B’) (ACD’)
b.Tính khoảng cách giữa 2 mp (ACD’) và (BA’C’)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’
Hướng dẫn tĩm tắt:
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶT BIỆT
67/ Hình chóp tam giác đều
	 Hình chĩp tam giác đều:
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác cân
 Đặc biệt: Hình tứ diện đều cĩ:
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác đều
 Cách vẽ: 
 Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI
 Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC)
 Ta cĩ: 
 SH là chiều cao của hình chĩp
 Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy là: .
 Gĩc mặt bên và mặt đáy là: 
68/ Hình chĩp tứ giác đều
	 Hình chĩp tứ giác đều:
 Đáy là hình vuơng
 Các mặt bên là những tam giác cân
 Cách vẽ: 
 Vẽ đáy ABCD 
 Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD 
 Vẽ SH (ABCD)
 Ta cĩ: 
 SH là chiều cao của hình chĩp
 Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy là: .
 Gĩc mặt bên và mặt đáy là: 
69/ Hình chĩp cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy
 SA (ABC) 
 Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: 
 Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: 
.
 SA (ABCD) 
 Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: 
 Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: 
 Gĩc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: 
* Chú ý:
 a/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a, 
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a, 
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d = ,
 b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 
 c/ Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng 
nhau ( hoặc cĩ đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
 d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều.