Ôn tập môn Toán lớp 11 - Chuyên đề 1 phương trình lượng giác

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
1 
CHUYÊN ĐỀ 1 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ 
I. Một số công thức lượng giác cần nhớ 
1) 
2 2 2 2
2 2
1 1
sin x cos x 1;1 tan ;1 cot .
cos sin
x x
x x
      
2) 
sin cos 1
tanx ;cot x ; tan
cos sin cot
x x
x
x x x
   . 
3) Công thức cộng: 
sin( ) sin cos cos
cos( ) cos cos sin sin
a b a b asinb
a b a b a b
  
 
4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx 
cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x 
5) Công thức hạ bậc: 
2 21 cos2 1 cos 2cos ;sin
2 2
x x
x x
 
  
6) Công thức nhân ba: 
Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx. 
7) Công thức biểu diễn theo tanx: 
2
2 2 2
2tan 1 tan 2tan
sin 2 ;cos2 ; tan 2
1 tan 1 tan 1 tan
x x x
x x x
x x x

  
  
. 
8) Công thức biến đổi tích thành tổng: 
 
 
 
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
   
   
   
9) Công thức biến đổi tổng thành tích: 
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
 
 
 
 
 
 
 
  
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
2 
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1. Phương trình bậc hai. 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx – 3 = 0 
 3) 3cot2x + 3 = 0 4) 2 sin3x – 1 = 0 
 5) 2 cosx + sin2x = 0 
Bài 2. Giải các phươn trình sau: 
 1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0 
 3) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 
 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0 
 7) 2sin2x – cosx + 
7
2
 = 0 8) 2sin2x – 7sinx + 3 = 0 
 9) 2sin2x + 5cosx = 5. 
Bài 3. Giải các phương trình: 
1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0 
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 
5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – (3 + 2 ) = 0 
6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0 7) 
3
3cot 3
2sin
x
x
  
8) 
2 24sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
  
 
9) 
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin 2 1
x x x x x
x
  


. 
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - 3 cosx = 1 
3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2 
5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5 
Bài 2. Giải các phương trình: 
 1) 3cos3 sin3 2x x  2) 33sin3 3cos9 1 4sin 3x x x   
 3)cos7 cos5 3sin2 1 sin7 sin5x x x x x   4) cos7 3sin7 2x x   
 5) 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x   
Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin. 
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0. 
3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 
5
2
. 
4) 
52
3sin (3 ) 2sin( )cos( )
2 2
x x x
 
    
32
5sin ( ) 0
2
x

   . 
5) a) 
1
3sin cos
cos
x x
x
  ; b) 
1
4sin 6cos
cos
x x
x
  . 
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2. 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
3 
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0. 
10) 
2 2
sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5 . 
Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) (2 2) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1 
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 
5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 
Bài 2. Giải các phương trình: 
1) 2 (sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 
2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 
2
2
. 
3) 
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
    . 
4) sin3x + cos3x = 
2
2
. 
5) sinx – cosx + 7sin2x = 1. 
6) (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x     . 
7) sin 2 2 sin( ) 1
4
x x

   . 
8) sin cos 4sin2 1x x x   . 
9) 1 + tgx = 2 2 sinx. 
10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 
11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0. 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
4 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1) sin3x = 
1
2
 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 
 2) cos2x = - 
2
2
 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 
 3) tan(x + 60o) = - 3 13) sin3x = cos4x 
 4) cot 5
7
x
 
 
 
 = 
1
3
 14) tan3x.tanx = 1 
 5) sin2x = sin 3
4
x
 
 
 
 15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o) 
 6) tan 2
3
x
 
 
 
 = tan 3
6
x
 
 
 
 16) 3 - 2sin2x = 0 
 7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17) 2cos
3 4
x  
 
 
 - 3 = 0 
 8) tan
4
x
 
 
 
 = - cot 2
3
x
 
 
 
 18) 3tan
2
20
3
ox  
 
 + 3 = 0 
 9) sin(2x - 10o) = 
1
2
 với -120o < x < 90o 19) 2sinx - 2 sin2x = 0 
 10) cos(2x + 1) = 
2
2
 với -  < x <  20) 8cos3x - 1 = 0 
Bài 2. Giải các phương trình: 
 1) sin2x = 
1
2
 11) sin2x + sin22x = sin23x 
 2) cos23x = 1 12) sin  2cos 2
4
x x
 
  
 
tan2x = 0 
 3) sin4x + cos4x = 
1
2
 13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - 
3
2
) = 
0 
 4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0 
 5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 
 6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + 
cos2x 
 7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx 
 8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x 
 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 
 10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = 
1
2
 Bài 3. Giải các phương trình: 
 1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
5 
 3) tan 2
6
x
 
 
 
 + 2cot 2
6
x
 
 
 
 - 3 = 0 4) 
2
2
 + (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0 
sin 2x
 5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0 
 7) sin22x - 2cos2x + 
3
4
 = 0 8) 4cos2x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0 
 9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0 
 11) 
2
1
cos x
 + 3cot2x = 5 
Bài 5. Giải các phương trình sau: 
 1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2 
 3) 2sin
4
x
 
 
 
 + sin
4
x
 
 
 
 = 
3 2
2
 4) 
2
3cos + 4sinx + = 3
3cos + 4sinx - 6
x
x
 5) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0 
 6) cos7x - sin5x = 3 (cos5x - sin7x) 
 7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx 
Bài 6. Giải các phương trình: 
 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 
 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1 
 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0 
 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2 sin(x - 45o) = 1 
 9) 2sin2x + 3 sinx + cosx + 8 = 0 
 10) (sinx - cosx)2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = 0 
Bài 7. Giải các phương trình 
 1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 
 3) cos2x - sin2x - 3 sin2x = 1 
 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0 
 5) 4sin2x + 3 3 sin2x - 2cos2x = 4 
 6) 2sin2x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos2x = 1 
 7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3
Bài 8. Giải các phương trình 
 1) 4cos2x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan2x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
6 
 3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin22x - 2cos2x + 
3
4
 = 0 
 5) 2cos6x + tan3x = 1 6) 
2
1
cos x
 + 3cot2x = 5 
Bài 9. Giải các phương trình 
1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1 
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1 
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 
6) sin(4x + 
π
4
)sin6x = sin(10x + 
π
4
) 
7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1 
8) tan(
2π
3
 - x) + tan(
π
3
 - x) + tan2x = 0 
Bài 10. Giải các phương trình 
1) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin2x 
2) sin4x - cos4x = cosx 
3) 
1 1 π 1 - cotx
 + cos(x - ) = 
1 + cosx 4 2(1 + cotx)2
4) 1 - (2 + 2 )sinx = 
2
2 2
1 + cot x

5) tan2x = 
1 - cosx
1 - sinx
6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 2 
7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x 
Bài 10. Giải các phương trình 
1) sinx + cosx - 
sin2x
3
 - 1 = 0 
2) (1 + 2 )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2 ) = 0 
3) tanx + tan2x = tan3x 
4) 
1 cosx sinx
 = 
x 1 - cosx
cos
2

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
7 
D. MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Giải các phương trình 
1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x 
2) tan2x - tanxtan3x = 2 
3) 25 - 3sin x - 4cosx = 1 - 2cosx 
4) cos3xtan5x = sin7x 
5) tanx + cotx = 4 
6) 
sin 2
1 + sinx
x
 + 2cosx = 0 
7) 2tanx + cotx = 
2
3 + 
sin2x
8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 
9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1 
10) 
2 2cot x - tan x
 = 16(1 + cos4x)
cos2x
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 
1
16
12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 
13) sin2xcosx = 
1
4
 + cos3xsinx 
14) sin6x + cos6x = cos4x 
15) sin4x + cos4x = 
7
8
cot(x + 
π
3
)cot(
π
6
 - x) 
16) 
sinxcot5x
 = 1
cos9x
17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x 
18) 2sin3x - 
1
sinx
 = 2cos3x + 
1
cosx
19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 
2
4
20) 
4 4sin + cos x 1
 = 
sin 2 2
x
x
(tanx + cotx) 
21) 1 + tanx = 2 2 sinx 
22) cosx - sinx = 2 cos3x 
23) 23sin2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 
24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x 
25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1 
26) 2sin(3x + 
4

) = 21 + 8sin2xcos 2x 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
8 
Bài 2. Giải các phương trình 
1) sin4
x
3
 
 
 
 + cos4
x
3
 
 
 
 = 
5
8
2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 
4) 
2 2
2 2(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx - tan xsinx = + tan x
4(1 - sinx) 2
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 
6) cos6x + sin6x = 
7
16
Bài 3. Giải các phương trình 
1) 
cos2 + 3cot2x + sin4x
 = 2
cot 2 - cos2x
x
x
 2) 
2 24sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x
 = 0
cosx
3) 
2cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1
 = 1
1 + sin2x
 4) sin4x = tanx 
5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 
3
2
 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx 
Bài 4. Giải phương trình lượng giác 
1) cosx + 3 sinx = 3 - 
3
cosx + 3sinx + 1
 2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 
4sin33x 
3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 
5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2 6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x 
7) 3 sin2x + cos2x = 2 8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + 
cos2x 
9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x 
Bài 5. Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích) 
1) sin3x - 
2
3
sin2x = 2sinxcos2x 
2) sin22x + cos28x = 
1
2
cos10x 
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x 
4) cosxcos
x
2
cos
3x
2
 - sinxsin
x
2
sin
3x
2
 = 
1
2
5) tanx + tan2x - tan3x = 0 
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x 
9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
9 
10) sin3x - sinx = sin2x 
11) 
cos
1 sin
1 sin
x
x
x
 

12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0 
13) cos4
x
2
 - sin4
x
2
 = sin2x 
14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 
15) 2sin3x + cos2x = sinx 
16) sin2x + sin22x + sin23x = 
3
2
17) cos3x + sin3x = sinx - cosx 
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 
19) sin2x = cos22x + cos23x 
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0 
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0 
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 
25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx) 
26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx 
27) sin3x + sin2x = 5sinx 
Bài 6. Giải các phương trình 
1) 
sin3x - sinx
1 - cos2x
 = cos2x + sin2x với 0 < x < 2 
2) sin(2x + 
5π
2
) - 3cos(x - 
7π
2
) = 1 + 2sinx với 
π
2
 < x < 3 
3) cos7x - 3 sin7x = - 2 với 
2π 6π
 < x < 
5 7
Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: 
1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x 
2) y = 
cosx + 2sinx + 3
2cosx - sinx + 4
 trong khoảng ( - ; ) 
3) y = 4sin2x + 
π
2sin(2x + )
4
4) y = sinx - cos2x + 
1
2
Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới). 
1) A_02. Giải phương trình: 5
cos3x + sin3x
sin + 
1 2sin2x
x
 
 
 
 = cos2x + 3 
2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình: 
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 
3) A_03. Giải phương trình: cotx - 1 = 
cos2x
1 + tanx
 + sin2x - 
1
2
sin2x 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
10 
4) D_03. Giải phương trình: sin2(
x
2
 - 
π
4
)tan2x - cos2
x
2
 = 0 
5) D_04. Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 
6) A_05. Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0 
7) D_05. Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - 
π
4
)sin(3x - 
π
4
) - 
3
2
 = 0 
8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) của phương trình: 
4sin2
x
2
 - 3 cos2x = 1 + 2cos2(x - 
3π
4
) 
9) A_05_dự bị 2. Giải pt: 2 2 cos3( x - 
π
4
) - 3cosx - sinx = 0 
10) D_05_dự bị 1. Giải pt: tan(
3π
2
 - x) + 
sin
1 cos
x
x
 = 2 
11) D_05_dự bị 2. Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 
12) A_06_dự bị 1. Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 
2 + 3 2
8
13) A_06_dự bị 2. Giải pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 
14) B_06_dự bị 1. Giải pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0 
15) B_06_dự bị 2. Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 
16) D_06_dự bị 1. Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 
17) D_06. Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 
18) A_07. Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 
19) B_07. Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx 
21) D_07. Giải phương trình: (sin2 
x
2
 + cos2
x
2
)2 + 3 cosx = 2 
22) CĐ_07. Giải phương trình: 2sin2(
π
4
 - 2x) + 3 cos4x = 4cos2x - 1 
23) A_08. Giải phương trình: 
1 1 7π
 + = 4sin - x
3πsinx 4
sin x - 
2
 
 
   
 
 
24) B_08. Giải phương trình: sin3x - 3 cos3x = sinxcos2x - 3 sin2xcosx 
25) D_08. Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 
26) CĐ_08. Giải pt: sin3x - 3 cos3x = 2sin2x 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
11 
CHUYÊN ĐỀ 2 
ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
I) QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN: 
Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu: 
 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 
 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? 
Bài 2: Có 4 con đường nối liền điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và 
điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường về 
trên cả hai chặng AB và BC? 
Bài 3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 
miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. 
Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số 
chẵn? 
Bài 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu 
số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. 
Bài 5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó 
có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao 
nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu: 
 1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được. 
 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo 
trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. 
II) HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP: 
Bài 1: Có n người bạn ngồi quanh một bàn tròn (n > 3). Hỏi có bao nhiêu cách sắp 
xếp sao cho: 
 1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau. 
 2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định 
Bài 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần 
chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi 
có bao nhiêu cách lập tổ công tác. 
Bài 3: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, 
mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: 
 a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 
 b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn 
Bài 4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. 
Bài 5: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 
3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2. 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
12 
Bài 6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 
Bài 7: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ 
ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 
 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 
 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. 
Bài 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 
3 và gồm 5 chữ số khác nhau 
Bài 9: Từ các chữ cái của câu: "TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI" có 
bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong 
từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau và trong từ đó 
không có chữ "Ê" 
Bài 10: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. 
 a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? 
 b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? 
Bài 11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 
1, 2, 3, 4, 5, 6? 
 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 
3, 4, 5, 6 nà các số đó nhỏ hơn số 345? 
Bài 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi 
trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh 
nhau? 
Bài 13: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong 
đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên 
đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi 
nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
Bài 14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ 
số khác nhau và không lớn hơn 789? 
Bài 15: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bãy 
chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số 
khác có mặt đúng một lần. 
 2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu 
cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh 
giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. 
Bài 16: Số nguyên dương n được viết dưới dạng: n = 

7532 ... 
 Trong đó , , ,  là các số tự nhiên 
 1) Hỏi số các ước số của n là bao nhiêu? 
 2) Áp dụng: Tính số các ước số của 35280. 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
13 
III) TOÁN VỀ CÁC SỐ nP , 
k
nA , 
k
nC : 
Bài 1: Giải bất phương trình: 
3
4
1
3
1
14
1
PA
C
n
n
n 


 
Bài 2: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, , xn,  với: xn = 
nn
n
PP
A
4
143
2
4
4 

 
Bài 3: Cho k, n là các số nguyên và 4  k  n; Chứng minh: 
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n CCCCCC 4
4321
464 

 
Bài 4: Cho n  2 là số nguyên. Chứng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 +  + (n - 1)Pn - 
1 
Bài 5: Cho k và n là các số nguyên dương sao cho k < n. Chứng minh rằng: 
1
1
11
2
1
1





 
k
k
k
k
k
n
k
n
k
n CC...CCC 
VI) NHỊ THỨC NEWTON: 
Bài 1: Chứng minh rằng: 
1332211
433323


nn
n
n
n
n
n
n
n .nC.n...C.C.C 
Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: 
      14109 111 x...xx  ta sẽ được đa thức: 
P(x) = A0 + A1x + A2x
2 +  + A14x14 
 Hãy xác định hệ số A9 
Bài 3: 1) Tính   
1
0
1 dxx n (n  N) 
 2) Từ kết quả đó chứng minh rằng: 
1
12
1
1
3
1
2
1
1
1
21






n
C
n
...CC
n
n
nnn 
Bài 4: Chứng minh rằng:     242 2112312  nnnnn .nnCnn...C..C.. 
Bài 5: Tính tổng S =   nn
n
nnnn nC...C.C.C.C
14321
1432
 (n  2) 
Bài 6: Chứng minh rằng: 
1616
16
2
16
141
16
150
16
16
2333  C...CCC 
Bài 7: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức: 
 f(x) =        7654 12121212  xxxx 
Bài 8: Trong khai triển của 
10
3
2
3
1





  x thành đa thức: 
 P(x) = 
10
10
9
910 xaxa...xaa  Hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0  k  10) 
Bài 9: Tìm số nguyên dương n sao cho: 243242
210

n
n
n
nnn C...CCC . 
Bài 10: CMR:  122333 2001200020002001200042001422001202001  C...CCC 
Bài 11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
14 
 1)   nn
n
nnn C
n
...CCC
1
1
1
3
1
2
1 210

 
 2) 
nn
nnnnn C
n
...C.C.CC 2
1
1
2
4
1
2
3
1
2
2
1 332210

 
Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10 
 1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x) 
 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) 
Bài 13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:  nx 12  bằng 1024 hãy tìm 
hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó. 
Bài 14: Trong khai triển nhị thức: 
n
xxx










15
28
3 hãy tìm số hạng không phụ thuộc 
vào x biết rằng: 79
21

 n
n
n
n
n
n CCC 
Bài15: Chứng minh: 
144332111
3242322


nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
.nnC...C.C.CC 
Bài 16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: 
17
4 3
2
1








 x
x
 x 
 0 
Bài 17: Khai triển nhị thức: 
nx
n
n
nxx
n
n
xnx
n
nx
n
nxx
CC...CC

















































3
1
32
1
13
1
2
1
12
1
022
1
22222222
 Biết rằng trong khai triển đó 
13
5 nn CC  và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x 
Bài 18: Trong khai triển: 
21
3
3 






a
b
b
a
 Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng 
nhau. 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
15 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bào nhiêu số có 5 chữ số khác 
nhau? 
Bài 2. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi: 
a. Bắt dầu bởi chữ số 2. 
b. Bắt đầu bởi chữ số 36 
c. Bắt đầu bởi chữ số 482 
Bài 3. Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. 
Hỏi: 
a. Có bao nhiêu số như vậy 
b. Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1 
Bài 4. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số 
khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. 
Bài 5. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác 
nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. 
Bài 6. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau. 
Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa. 
Bài 7. Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số 
khác nhau. 
Bài 8. 
a. Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt. 
b. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi 
một khác nhau? 
Bài 9. Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5? 
Bài 10. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công 
tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ? 
Bài 11. Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao 
nhiêu cách xếp 10 hoc sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng 
liền nhau? 
Bài 12. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chon ngẫu 
nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó. 
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu? 
Bài 13. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 
người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ 
lớp? 
Bài 14. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: 
1. Có đúng 2 người nam trong 5 người đó 
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó 
Bài 15. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một 
đoàn công tác cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao 
nhiêu cách? 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
16 
Bài 16. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọ 
ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau. 
 1. Nếu phải có ít nhất 2 nữ. 
 2. Nếu phải chọn tuỳ ý. 
Bài 17. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vào 
bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
Bài 18. Chứng minh rằng: 
. 
Bài 19. Chứng minh rằng: 
Bài 20. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: 
Bài 21. Chứng minh rằng: 
Bài 22. Tính tổng: 
Bài 23. Tính tổng: 
Bài 24. Chứng minh rằng: 
Bài 25. Cho n là một số nguyên dương: 
a. Tính : I =  
1
0
)1( dxx n 
b. Tính tổng: 
Bài 26. Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Bài 27. Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Bài 28. Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau: 
Bài 29. Tính tổng: 
, 
biết rằng, với n là số nguyên dương: 
Bài 30. Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
17 
Bài 31. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của: 
Bài 32. Gọi a3n - 3 là hệ số của x3n - 3 trong khai triển thanh đa thức của:(x2 + 1)n(x + 2)n. 
Tìm n để a3n - 3 = 26n 
Bài 33. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 
n
x
x






 7
4
1
Biết rằng: 12... 20
12
2
12
1
12


n
nnn
CCC 
Bài 34. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: 
 với x > 0 
Bài 35. Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức: 
 ; 
Bài 36. Cho : 
Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng? 
Bài 37. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của 
, biết rằng: 
Bài 38. khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta được đa thức có dạng: 
. 
Tỡm hệ số của , biết ao+a1+a2 = 71 
Bài 39. Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức: 
Bài 40. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 
n
x
x 






3
2 1 
 Biết rằng: 
Bài 41. Giải các phương trình: 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
18 
Bài 42. Giải các hệ phương trình: 
Bài 43. Giải các bất phương trình: 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
19 
CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
Bài 1. Chứng minh rằng 
a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n(3n - 1) = n2(n + 1) với n  N* 
b) 3 + 9 + 27 + ... + 3n = 
1
2
(3n + 1 - 3) với n  N* 
c) 12 + 32 + 52 + ... + (2n - 1)2 = 
2(4 1)
3
n n 
 với n  N* 
d) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
2 2( 1)
4
n n 
 với n  N* 
e) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 
( 1)(2 1)
6
n n n 
 với n  N* 
f) )1n(nn2642   với n  N* 
g) 
2
)1n3(n
)2n3(741

  với n  N* 
h) 2)1n(n)1n3(n7.24.1   với n  N* 
i) 
3
)2n)(1n(n
)1n(n4.33.22.1

  với n  2 
k) 
3
)1n2)(1n(n2
)n2(642 2222

  với n  N* 
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có: 
a) n3 + 2n chia hết cho 3 
b) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9 
c) n3 + 11n chia hết cho 6 
d) 2n3 - 3n2 + n chia hết cho 6 
e) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9 
f) 32n + 1 + 2n + 2 chia hết cho 7 
g) n7 - n chia hết cho 7 
h) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau 
a) 2n + 2 > 2n + 5 với n  N* 
b) 2n > 2n + 1 với n  N*, n  3 
c) 3n > n2 + 4n + 5 với n  N*, n  3 
d) 2n - 3 > 3n - 1 với n  8 
e) 3n - 1 > n(n + 2) với n  4 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
20 
CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ 
Dạng 1. Xác định một số số hạng của dãy số. Xác định số hạng tổng quát 
Bài 1. Viết 5 số hạng đầu của dãy số sau: 
a) un = 
2n - 1
n - 1
 b) un = 
 
n
4
- 1
n
b) 1 2
n n-1 n+1
u = u = 1
u = u + u



 (n > 2) c) un = 
3n - 1
2n + 3
d) 
1
 khi n = 2k
n
n - 1
 khi n = 2k+1
n





 (với k  1) e) u1 = 2; un + 1 = 
1
3
(un + 1) 
g) un = cos
nπ
2
 h) nsin
nπ
2
 + n2cos
nπ
2
Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số 
a) (un): 1; 2; 4; 8; 16;  
b) (un): 
1 1 1 1
; ; ;
2 3 4 5
  ;  
c) (un): 
1
n+1 n
u = 3
u = 2u



 (với n  1) 
d) (un): 
2 3 4
3 6 9 12
; ; ;
4 7 10 13
     
      
     
;  
Bài 3. Cho dãy số (un): u1 = 
1
3
, un+ 1 = 4un + 7 với n  1 
a) Tính u2, u3, u4, u5, u6 
b) Chứng minh rằng: un = 
2n+12 7
3

 với n  1 
Bài 4. Cho dãy số (un): u1 = 1; un + 1 = un + 7 với  1 
a) Tính u2, u3, u4, u5, u6 
b) Chứng minh rằng: un = 7n – 6 
Bài 5. Cho (un): u1 = 2; un + 1 = 3un + 2n – 1 
Chứng minh rằng: un = 3n - n 
Dạng 2. Xét tính đơn điệu của một dãy số 
Bài 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau 
a) un = 
n + 1
n
; b) un = 
2n + 1
n + 2
 c) un = 
n + 1
n - 2
d) un = 
2n
n + 1
 e) un = 
n
n + 1
3
2
 f) un = 
n
2
3
n
g) un = 
23n - 2n + 1
n + 1
 h) un = 
2
2
n + n + 1
2n + 1
Dạng 4. Xét tính bị chặn của dãy số 
Bài 7. Xét tính bị chặn của các dãy số 
a) un = 2n – 1 b) un = 
1
n(n + 1)
 c) un = 3.2
2n – 1 
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai 
21 
d) un = 
2
2
3n 2
n + 1

 e) un = 
n 7
2n + 3

 f) un = 
2
2
3n 3n + 8
n + n + 3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. tỡm cỏc giới hạn sau: 
1. 
2 1
lim
1
n
n


2. 
2
2
3 4 1
lim
2 3 7
n n
n n
  
 
3. 
3
3
4
lim
5 8
n
n n

 
4. 
  
 
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
 

5. 
2
1
lim
2
n
n


6. 
2
4
lim
3 2
n
n n

 
7. 
 
 
3
2 1
lim
6 1
n n
n


8. 
3 2
lim
1
n
n


9. 
  
 
2
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
 

Bài 2. tỡm cỏc giới hạn sau: 
1. 
2 1
lim
2 3
n
n


2. 
2 1
lim
2 2
n
n

 
3. 
1
lim
1
n