Ôn tập môn Toán lớp 11 - Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

CHÖÔNG I: 
PHEÙP DÔØI HÌNH VAØ PHEÙP ÑOÀNG DAÏNG TRONG MAËT PHAÚNG
I. Pheùp tònh tieán
	· : M M¢ Û 
	· (M) = M¢, (N) = N¢ Þ 
	· : M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
II. Pheùp ñoái xöùng truïc
	· Ñd: M M¢ Û (M0 laø hình chieáu cuûa M treân d)
	· Ñd(M) = M¢ Û Ñd(M¢) = M 
	· Ñd(M) = M¢, Ñd(N) = N¢ Þ M¢N¢ = MN
	· ÑOx: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
	 ÑOy: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
III. Pheùp ñoái xöùng taâm
	· ÑI: M M¢ Û 
	· ÑI(M) = M¢ Û ÑI(M¢) = M
	· ÑI(M) = M¢, ÑI(N) = N¢ Þ 
	· Cho I(a; b). ÑI: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
	 Ñaëc bieät: ÑO: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
IV. Pheùp quay
	· Q(I,a): M M¢ Û 
	· Q(I,a)(M) = M¢, Q(I,a)(N) = N¢ Þ M¢N¢ = MN
	· Q(I,a)(d) = d¢. Khi ñoù: 
	· Q(O,900): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
Q(O,–900): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
V. Pheùp vò töï
	· V(I,k): M M¢ Û 	(k ¹ 0)
	· V(I,k)(M) = M¢, V(I,k)(N) = N¢ Þ 
	· Cho . V(I,k): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 
	Chuù yù: Neáu pheùp dôøi hình (pheùp ñoàng daïng) bieán DABC thaønh DA¢B¢C¢ thì noù cuõng bieán troïng taâm, tröïc taâm, taâm caùc ñöôøng troøn noäi tieáp, ngoaïi tieáp cuûa DABC töông öùng thaønh troïng taâm, tröïc taâm, taâm caùc ñöôøng troøn noäi tieáp, ngoaïi tieáp cuûa DA¢B¢C¢.
§2. PHEÙP TÒNH TIEÁN
Cho tam giaùc ABC caân taïi B, I laø trung ñieåm cuûa AC. Xaùc ñònh aûnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp tònh tieán theo vectô vaø theo vectô ?
Cho hình chöõ nhaät ABCD, coù AD = 2AB. Caùc ñieåm M, N, K, H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BC, AM, MD. Hoûi tam giaùc BNK laø aûnh cuûa tam giaùc naøo qua pheùp tònh tieán theo vectô ? Tìm pheùp tònh tieán bieán tam giaùc ABK thaønh tam giaùc MNH ?
Cho hai ñieåm coá ñònh B, C treân ñöôøng troøn (O) vaø moät ñieåm A thay ñoåi treân ñöôøng troøn ñoù. Tìm quó tích tröïc taâm H cuûa DABC.
	HD: Veõ ñöôøng kính BB¢. Xeùt pheùp tònh tieán theo . Quó tích ñieåm H laø ñöôøng troøn (O¢) aûnh cuûa (O) qua pheùp tònh tieán ñoù.
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua pheùp tònh tieán trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) = (1; 1)	b) = (2; 1)	c) = (–2;0)	d) = (3; –2)	
	e) = (0; 3)	f) = (–3; 2)	
Cho ñieåm A(1; 4). Tìm toaï ñoä ñieåm B sao cho trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) 	b) = (2; 1)	c) = (–2; -1)	d) = (0; –2)	
	e) = (1; 0)	f) = (–3; 2)
Tìm toaï ñoä vectô sao cho trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) M(-10; 1), M’(3; 8)	b) M(-5; 2), M¢(4; -3)	c) M(–1; 2), M¢(4; 5)
	d) M(0; 0), M¢(–3; 4)	c) M(5; –2), M¢(2; 6)	f) M(2; 3), M¢(4; –5)
Trong mpOxy, cho ñöôøng thaúng (d) : 2x - y + 5 = 0. Tìm phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (d’) laø aûnh cuûa (d) qua pheùp tònh tieán theo trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) 	b) = (2; 1)	c) = (–2; 1)	d) = (3; –2)
Trong mpOxy, cho ñöôøng thaúng (d) : 2x - y + 5 = 0. Tìm pheùp tònh tieán bieán (d) thaønh (d’) , vôùi (d’) coù phöông trình:
2x – y = 0	b) -2x + y – 3 = 0	c) 4x – 2y + 1= 0	d) – 6x + 3y + 2 = 0
Trong mpOxy, cho ñöôøng troøn (C): . Tìm phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C¢) laø aûnh cuûa (C) qua pheùp tònh tieán theo trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) 	b) = (2; 1)	c) = (–2; 1)	d) = (3; –2)
Trong mpOxy, cho ñöôøng troøn (C): . Tìm pheùp tònh tieán bieán (C) thaønh (C’), vôùi (C’) coù phöông trình :
	c) 
	d) 
§5. PHEÙP QUAY
 Cho hình vuoâng ABCD taâm O. Tìm aûnh cuûa ñieåm A qua pheùp quay taâm O goùc – 900 vaø goùc 1800 ? Tìm aûnh cuûa ñoaïn thaúng OC qua pheùp quay taâm B goùc 900 ?
Cho hình thoi ABCD taâm O, coù AC = BD. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AO vaø M laø ñieåm ñoái xöùng cuûa O qua D. Tìm pheùp quay bieán tam giaùc OMI thaønh tam giaùc OAB ? Tam giaùc OAB laø aûnh cuûa tam giaùc naøo qua pheùp quay taâm O goùc 1800 ?
Cho DABC. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc BAE vaø CAF vuoâng caân taïi A. Goïi I, M, J theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa EB, BC, CF. Chöùng minh DIMJ vuoâng caân.
	HD: Xeùt pheùp quay Q(A,900).
Cho DABC. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc hình vuoâng ABEF vaø ACIK. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh raèng AM vuoâng goùc vôi FK vaø AM = FK.
	HD: Goïi D = Ñ(A)(B). Xeùt pheùp quay Q(A,900).
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua pheùp quay taâm O goùc a vôùi:
	a) a = 900	b) a = –900	c) a = 1800
Cho ñieåm A(3;-2). Tìm toïa ñoä ñieåm B sao cho A laø aûnh cuûa B qua pheùp quay taâm O goùc:
	a) a = 900	b) a = –900	c) a = 1800
Cho ñieåm A(1;4). Tìm toïa ñoä ñieåm B sao cho A laø aûnh cuûa B qua pheùp quay taâm O goùc:
	a) a = 900	b) a = –900	c) a = 1800
Cho ñieåm A(-1;3). Tìm goùc quay α sao cho qua pheùp quay taâm O goùc α ñieåm A bieán thaønhä ñieåm B , vôùi:
	a) B(3;1)	b) B(-1;-3)	c) B(-3;-1)
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp quay taâm O goùc 900:
	a) 2x – y = 0	b) x + y + 2 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) y = 2	e) x = –1
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp quay taâm O goùc - 900:
	a) x + y = 0	b) x + 2y - 4 = 0	c) 2x - 3y + 6 = 0	d) y = -1	e) x = 3
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp quay taâm O goùc 900:
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4
	c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0	d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp quay taâm O goùc - 900:
	a) x2 + (y +2)2 = 5	b) (x-2)2 + (y – 2)2 = 1
	c) x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0	d) x2 + y2 - 6x – 16 = 0
§6. PHEÙP DÔØI HÌNH VAØ HAI HÌNH BAÈNG NHAU
Trong maët phaúng Oxy cho caùc ñieåm A(0;-2), B(2;-3), C(5;-1). Chöùng minh raèng caùc ñieåm M(2;0), N(3;2), K(1;5) laàn löôït laø aûnh cuûa caùc ñieåm A, B, C qua pheùp quay taâm O goùc 900 .
Cho A(-3;0), B(-1;1), C(-2;3). Tìm aûnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp ñoái xöùng taâm O vaø pheùp quay taâm O goùc - 900. 
Cho A(-3;0), B(-1;1), C(-2;3). Tìm aûnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp ñoái xöùng truïc Oy vaø pheùp tònh tieán theo vectô . 
Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm O. Caùc ñieåm M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD, BC, AD. Tìm pheùp dôøi hình bieán tam giaùc OQA thaønh tam giaùc QON ? Chöùng minh hai hình thang ONCB vaø QAMN baèng nhau. 
§7. PHEÙP VÒ TÖÏ
Cho tam giaùc ABC vôùi troïng taâm G. Xaùc ñònh aûnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp vò töï taâm G tæ soá -.
Cho DABC vôùi troïng taâm G, tröïc taâm H vaø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp O. Chöùng minh ba ñieåm G, H, O thaúng haøng vaø .
	HD: Xeùt pheùp vò töï V(G,–2)(O) = H.
Tam giaùc ABC coù hai ñænh B, C coá ñònh, coøn ñænh A chaïy treân moät ñöôøng troøn (O). Tìm quó tích troïng taâm G cuûa DABC.
	HD: Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Xeùt pheùp vò töï (A) = G. 
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0) qua pheùp vò töï taâm O tæ soá k = –2.
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), qua pheùp vò töï taâm I(2; 3), tæ soá k = .
Pheùp vò töï taâm O tæ soá bieán A thaønh B. Tìm toïa ñoä A, bieát:
a/ B(2;1)	b/ B(-1;0)	c/ B(-1;-3)	d/ B(0;4)
Tìm pheùp vò töï taâm O tæ soá k, bieát raèng pheùp vò töï naøy bieán:
a/ A(-1;-2) thaønh A’(2;4) 	b/ B(-3;3) thaønh B’(1;-1)	c/ C(1;1) thaønh C’(4;4)
Pheùp vi töï taâm I tæ soá bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toaï ñoä cuûa ñieåm I trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) M(4; 6) vaø M’(–3; 5). 	b) M(2; 3) vaø M¢(6; 1)	c) M(–1; 4) vaø M¢(–3; –6)
Pheùp vò töï taâm I tæ soá k bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm k trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1).	b) I(1; 2), M(0; 4) vaø M¢(2; 0)	
	c) I(2; –1), M(–1; 2), M¢(–2; 3)
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp vò töï taâm O(0; 0) tæ soá k = 2:
	a) x + 2y – 1 = 0	b) x – 2y + 3 = 0	c) y – 3 = 0	d) x + 4 = 0
Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d: x – 2y + 1 = 0 qua pheùp vò töï taâm I(2; 1) tæ soá k trong caùc tröôøng hôïp sau: 
	a) k = 1	b) k = 2	c) k = – 1	d) k = – 2	e) k = 	f) k = 
Trong maët phaúng Oxy, cho hai ñöôøng thaúng D1: x – 2y + 1 = 0 vaø D2: x – 2y + 4 = 0 vaø ñieåm I(2; 1). Tìm tæ soá k ñeå pheùp vò töï V(I,k) bieán D1 thaønh D2.
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp vò töï taâm O(0; 0) tæ soá k = -2:
	a) 	b) 	c) x2 + y2 = 4	
Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C): (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 qua pheùp vò töï taâm I(2; 1) tæ soá k trong caùc tröôøng hôïp sau: 
	a) k = 1	b) k = 2	c) k = – 1	d) k = – 2	e) k = 	f) k = 
Xeùt pheùp vò töï taâm I(1; 0) tæ soá k = 3 bieán ñöôøng troøn (C) thaønh (C¢). Tìm phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) neáu bieát phöông trình ñöôøng troøn (C¢) laø:
	a) 	b) 	c) 
§8. PHEÙP ÑOÀNG DAÏNG
Cho tam giaùc ABC coù I laø trung ñieåm cuûa BC. Xaùc ñònh aûnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèøng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm C tæ soá vaø pheùp ñoái xöùng taâm I.
Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm O. Caùc ñieåm M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BC, AM, AO. Chöùng minh hai hình thang OMPQ vaø ABNO ñoàng daïng vôùi nhau.
Cho ñöôøng troøn taâm I(3;0) baùn kính 6. Vieát phöông trình ñöôøng troøn laø aûnh cuûa ñöôøng troøn treân qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O goùc 900 vaø pheùp vò töï taâm O tæ soá - .
Cho ñöôøng troøn taâm I(2;2) baùn kính 1. Vieát phöông trình ñöôøng troøn laø aûnh cuûa ñöôøng troøn treân qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O goùc - 450 vaø pheùp vò töï taâm O tæ soá .
Cho ñöôøng troøn taâm I(3;0) baùn kính 6. Vieát phöông trình ñöôøng troøn laø aûnh cuûa ñöôøng troøn treân qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O goùc 900 vaø pheùp vò töï taâm O tæ soá - .
	OÂN TAÄP CHÖÔNG I
Cho luïc giaùc ñeàu ABCDEF taâm O. Tìm aûnh cuûa tam giaùc OBC qua :
a/ Pheùp tònh tieán theo vectô .	b/ Pheùp quay taâm C goùc 600.
c/ Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O goùc – 1200 vaø pheùp vò töï taâm O tì soá .
Cho hình bình haønh ABCD coù CD coá ñònh, ñöôøng cheùo AC = a khoâng ñoåi. Chöùng minh raèng khi A di ñoäng thì ñieåm B di ñoäng treân moät ñöôøng troøn xaùc ñònh.
Cho 2 ñieåm A, B coá ñònh thuoäc ñöôøng troøn (C) cho tröôùc. M laø moät ñieåm di ñoäng treân (C) nhöng khoâng truøng vôùi A vaø B. Döïng hình bình haønh AMBN. Chöùng minh raèng taäp hôïp caùc ñieåm N laø moät ñöôøng troøn.
Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Moät ñieåm C chaïy treân nöûa ñöôøng troøn ñoù. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ABC hình vuoâng CBEF. Chöùng minh ñieåm E chaïy treân moät nöûa ñöôøng troøn coá ñònh.
Cho hình vuoâng ABCD coù taâm I. Treân tia BC laáy ñieåm E sao cho BE = AI.
	a) Xaùc ñònh moät pheùp dôøi hình bieán A thaønh B, I thaønh E.
	b) Döïng aûnh cuûa hình vuoâng ABCD qua pheùp dôøi hình aáy.
Cho = (–2; 1), caùc ñöôøng thaúng d: 2x – 3y + 3 = 0, d1: 2x – 3y – 5 = 0.
	a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d¢ = (d).
	b) Tìm toaï ñoä vectô sao cho d1 = (d).
Cho ñöôøng troøn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C¢) = (C) vôùi = (–2; 5).
Cho M(2; –1), ñöôøng thaúng d: 3x + 2y – 6 = 0 vaø ñöôøng troøn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0.
	a) Tìm aûnh cuûa M, d, (C) qua pheùp vò töï taâm O tæ soá 2â.
	b) Tìm aûnh cuûa d vaø (C) qua pheùp quay taâm O goùc – 900 .
Cho = (3; 1) vaø ñöôøng thaúng d: y = 2x. Tìm aûnh cuûa d qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O goùc 900 vaø pheùp tònh tieán theo vectô .
Cho ñöôøng thaúng d: y = . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d¢ laø aûnh cuûa d qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k = vaø pheùp quay taâm O goùc 450.
Cho ñöôøng troøn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C¢) laø aûnh cuûa (C) qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k = – 2 vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc Oy.
Xeùt pheùp bieán hình F bieán moãi ñieåm M(x; y) thaønh ñieåm M¢(–2x + 3; 2y – 1). Chöùng minh F laø moät pheùp ñoàng daïng.
CHÖÔNG II: 
ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
QUAN HEÄ SONG SONG
I. ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
1. Xaùc ñònh moät maët phaúng 
	· Ba ñieåm khoâng thaúng haøng thuoäc maët phaúng. (mp(ABC), (ABC))
	· Moät ñieåm vaø moät ñöôøng thaúng khoâng ñi qua ñieåm ñoù thuoäc maët phaúng. (mp(A,d))
	· Hai ñöôøng thaúng caét nhau thuoäc maët phaúng. (mp(a, b))
2. Moät soá qui taéc veõ hình bieåu dieãn cuûa hình khoâng gian
	· Hình bieåu dieãn cuûa ñöôøng thaúng laø ñöôøng thaúng, cuûa ñoaïn thaúng laø ñoaïn thaúng.
	· Hình bieåu dieãn cuûa hai ñöôøng thaúng song song laø hai ñöôøng thaúng song song, cuûa hai ñöôøng thaúng caét nhau laø hai ñöôøng thaúng caét nhau.
	· Hình bieåu dieãn phaûi giöõ nguyeân quan heä thuoäc giöõa ñieåm vaø ñöôøng thaúng.
	· Ñöôøng nhìn thaáy veõ neùt lieàn, ñöôøng bò che khuaát veõ neùt ñöùt.
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 
	Muoán tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng ta coù theå tìm hai ñieåm chung phaân bieät cuûa hai maët phaúng. Khi ñoù giao tuyeán laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm chung ñoù.
Cho hình choùp S.ABCD. Ñaùy ABCD coù AB caét CD taïi E, AC caét BD taïi F.
	a) Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (SAB) vaø (SCD), (SAC) vaø (SBD).
	b) Tìm giao tuyeán cuûa (SEF) vôùi caùc maët phaúng (SAD), (SBC).
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh taâm O. M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CD, SO. Tìm giao tuyeán cuûa mp(MNP) vôùi caùc maët phaúng (SAB), (SAD), (SBC) vaø (SCD).
Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC. K laø moät ñieåm treân caïnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyeán cuûa mp(IJK) vôùi (ACD) vaø (ABD).
Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC.
	a) Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng (IBC) vaø (JAD).
	b) M laø moät ñieåm treân caïnh AB, N laø moät ñieåm treân caïnh AC. Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng (IBC) vaø (DMN).
Cho töù dieän (ABCD). M laø moät ñieåm beân trong DABD, N laø moät ñieåm beân trong DACD. Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (AMN) vaø (BCD), (DMN) vaø (ABC).
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 
	Muoán tìm giao ñieåm cuûa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng ta coù theå tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng ñoù vôùi moät ñöôøng thaúng naèm trong maët phaúng ñaõ cho.
Cho töù dieän ABCD. Treân AC vaø AD laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho MN khoâng song song voùi CD. Goïi O laø moät ñieåm beân trong DBCD.
	a) Tìm giao tuyeán cuûa (OMN) vaø (BCD).
	b) Tìm giao ñieåm cuûa BC vaø BD vôùi maët phaúng (OMN).
Cho hình choùp S.ABCD. M laø moät ñieåm treân caïnh SC.
	a) Tìm giao ñieåm cuûa AM vaø (SBD).
	b) Goïi N laø moät ñieåm treân caïnh BC. Tìm giao ñieåm cuûa SD vaø (AMN).
Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC. K laø moät ñieåm treân caïnh BD vaø khoâng truøng vôùi trung ñieåm cuûa BD. Tìm giao ñieåm cuûa CD vaø AD vôùi maët phaúng (MNK).
Cho töù dieän ABCD. M, N laø hai ñieåm laàn löôït treân AC vaø AD. O laø moät ñieåm beân trong DBCD. Tìm giao ñieåm cuûa: 
	a) MN vaø (ABO).	b) AO vaø (BMN).
	HD:	a) Tìm giao tuyeán cuûa (ABO) vaø (ACD).
	b) Tìm giao tuyeán cuûa (BMN) vaø (ABO).
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang, caïnh ñaùy lôùn AB. Goïi I, J, K laø ba ñieåm laàn löôït treân SA, AB, BC.
	a) Tìm giao ñieåm cuûa IK vôùi (SBD).
	b) Tìm caùc giao ñieåm cuûa maët phaúng (IJK) vôùi SD vaø SC.
	HD:	a) Tìm giao tuyeán cuûa (SBD) vôùi (IJK).
Tìm giao tuyeán cuûa (IJK) vôùi (SBD vaø (SCD).
VAÁN ÑEÀ 3: Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng, ba ñöôøng thaúng ñoàng qui 
	· Muoán chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng ta coù theå chöùng minh chuùng cuøng thuoäc hai maët phaúng phaân bieät.
	· Muoán chöùng minh ba ñöôøng thaúng ñoàng qui ta coù theå chöùng minh giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng naøy laø ñieåm chung cuûa hai maët phaúng maø giao tuyeán laø ñöôøng thaúng thöù ba.
Cho hình choùp S.ABCD. Goïi I, J laø hai ñieåm coá ñònh treân SA vaø SC vôùi SI > IA vaø SJ < JC. Moät maët phaúng (P) quay quanh IJ caét SB taïi M, SD taïi N.
	a) CMR: IJ, MN vaø SO ñoàng qui (O =ACÇBD). Suy ra caùch döïng ñieåm N khi bieát M.
	b) AD caét BC taïi E, IN caét MJ taïi F. CMR: S, E, F thaúng haøng.
	c) IN caét AD taïi P, MJ caét BC taïi Q. CMR PQ luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh khi (P) di ñoäng.
Cho maët phaúng (P) vaø ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng ôû ngoaøi (P). Giaû söû caùc ñöôøng thaúng BC, CA, AB laàn löôït caét (P) taïi D, E, F. Chöùng minh D, E, F thaúng haøng.
Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F, G laàn löôït laø ba ñieåm treân ba caïnh AB, AC, BD sao cho EF caét BC taïi I, EG caét AD taïi H. Chöùng minh CD, IG, HF ñoàng qui.
Cho hai ñieåm coá ñònh A, B ôû ngoaøi maët phaúng (P) sao cho AB khoâng song song vôùi (P). M laø moät ñieåm di ñoäng trong khoâng gian sao cho MA, MB caét (P) taïi A¢, B¢. Chöùng minh A¢B¢ luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 
Cho töù dieän SABC. Qua C döïng maët phaúng (P) caét AB, SB taïi B1, B¢. Qua B döïng maët phaúng (Q) caét AC, SC taïi C1, C¢. BB¢, CC¢ caét nhau taïi O¢; BB1, CC1 caét nhau taïi O1. Giaû söû O¢O1 keùo daøi caét SA taïi I.
	a) Chöùng minh: AO1, SO¢, BC ñoàng qui.
	b) Chöùng minh: I, B1, B¢ vaø I, C1, C¢ thaúng haøng.
VAÁN ÑEÀ 4: Xaùc ñònh thieát dieän cuûa moät hình choùp vôùi moät maët phaúng 
Muoán xaùc ñònh thieát dieän cuûa moät hình choùp vôùi maët phaúng (P) ta coù theå laøm nhö sau:
	· Töø ñieåm chung coù saün, xaùc ñònh giao tuyeán ñaàu tieân cuûa (P) vôùi moät maët cuûa hình choùp (coù theå laø maët phaúng trung gian).
	· Cho giao tuyeán naøy caét caùc caïnh cuûa maët ñoù cuûa hình choùp, ta seõ ñöôïc caùc ñieåm chung môùi cuûa (P) vôùi caùc maët khaùc. Töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc caùc giao tuyeán môùi vôùi caùc maët naøy.
	· Tieáp tuïc nhö treân cho tôùi khi caùc giao tuyeán kheùp kín ta ñöôïc thieát dieän.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, I laø ba ñieåm treân AD, CD, SO. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNI).
Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh baèng a. Keùo daøi BC moät ñoaïn CE=a. Keùo daøi BD moät ñoaïn DF=a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB.
	a) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (MEF).
	b) Tính dieän tích cuûa thieát dieän.	HD:	b) 
Cho hình choùp S.ABC. M laø moät ñieåm treân caïnh SC, N vaø P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNP).
	HD: Thieát dieän laø 1 nguõ giaùc.
Cho hình choùp S.ABCD. Trong DSBC, laáy moät ñieåm M. Trong DSCD, laáy moät ñieåm N.
	a) Tìm giao ñieåm cuûa MN vaø (SAC).
	b) Tìm giao ñieåm cuûa SC vôùi (AMN).
	c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (AMN).
	HD:	a) Tìm (SMN)Ç(SAC)	b) Thieát dieän laø töù giaùc.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SB, SD vaø OC.
	a) Tìm giao tuyeán cuûa (MNP) vôùi (SAC), vaø giao ñieåm cuûa (MNP) vôùi SA.
	b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (MNP) vaø tính tæ soá maø (MNP) chia caùc caïnh 	SA, BC, CD.
	HD:	b) Thieát dieän laø nguõ giaùc. Caùc tæ soá laø: 1/3; 1; 1.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SB, G laø troïng taâm DSAD.
	a) Tìm giao ñieåm I cuûa GM vôùi (ABCD). Chöùng minh (CGM) chöùa CD.
	b) Chöùng minh (CGM) ñi qua trung ñieåm cuûa SA. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi 	(CGM).
	c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (AGM).
	HD:	b) Thieát dieän laø töù giaùc	c) Tìm (AGM)Ç(SAC). Thieát dieän laø töù giaùc.
Cho hình choùp S.ABCD, M laø moät ñieåm treân caïnh BC, N laø moät ñieåm treân caïnh SD.
	a) Tìm giao ñieåm I cuûa BN vaø (SAC) vaø giao ñieåm J cuûa MN vaø (SAC).
	b) DM caét AC taïi K. Chöùng minh S, K, J thaúng haøng.
	c) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (BCN).
	HD:	a) Goïi O=ACÇBD thì I=SOÇBN, J=AIÇMN
	b) J laø ñieåm chung cuûa (SAC) vaø (SDM)
	c) Noái CI caét SA taïi P. Thieát dieän laø töù giaùc BCNP.
II. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG
1. Ñònh nghóa
2. Tính chaát
	· Neáu ba maët phaúng phaân bieät caét nhau töøng ñoâi moät theo ba giao tuyeán phaân bieät thì ba giao tuyeán aáy hoaëc ñoàng qui hoaëc ñoâi moät song song.
	· Neáu hai maët phaúng caét nhau laàn löôït ñi qua hai ñöôøng thaúng song song thì giao tuyeán cuûa chuùng song song vôùi hai ñöôøng thaúng ñoù hoaëc truøng vôùi moät trong hai ñöôøng thaúng ñoù.
	· Hai ñöôøng thaúng phaân bieät cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba thì song song vôùi nhau.
VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh hai ñöôøng thaúng song song
Phöông phaùp: Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau:
	1. Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù ñoàng phaúng, roài aùp duïng phöông phaùp chöùng minh song song trong hình hoïc phaúng (nhö tính chaát ñöôøng trung bình, ñònh lí Taleùt ñaûo, )
	2. Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba.
	3. AÙp duïng ñònh lí veà giao tuyeán song song.
Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC, ABD. Chöùng minh IJ//CD.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA vaø SB.
	a) Chöùng minh: MN // CD.
	b) Tìm giao ñieåm P cuûa SC vôùi (AND). Keùo daøi AN vaø DP caét nhau taïi I. Chöùng minh SI // AB // CD. Töù giaùc SABI laø hình gì?
Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N, P, Q, R, S laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD, BC, AD, AC, BD.
	a) Chöùng minh MNPQ laø hình bình haønh.
	b) Töø ñoù suy ra ba ñoaïn MN, PQ, RS caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M, N, P, Q laø caùc ñieåm laàn löôït naèm treân BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.
	a) Chöùng minh: PQ // SA.
	b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa MN vaø PQ. Chöùng minh: SK // AD // BC.
	c) Qua Q döïng caùc ñöôøng thaúng Qx // SC vaø Qy // SB. Tìm giao ñieåm cuûa Qx vôùi (SAB) 	vaø cuûa Qy vôùi (SCD).
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 
Phöông phaùp: 
	· Tìm moät ñieåm chung cuûa hai maët phaúng. 
	· AÙp duïng ñònh lí veà giao tuyeán ñeå tìm phöông cuûa giao tuyeán.
	Giao tuyeán seõ laø ñöôøng thaúng qua ñieåm chung vaø song song vôùi ñöôøng thaúng aáy.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BC vaø G laø troïng taâm cuûa DSAB.
	a) Tìm giao tuyeán cuûa (SAB) vaø (IJG).
	b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (IJG). Thieát dieän laø hình gì? Tìm ñieàu kieän ñoái vôùi AB vaø CD ñeå thieát dieän laø hình bình haønh.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc SAB, SAD. M laø trung ñieåm cuûa CD. Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (IJM).
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi caùc ñaùy AD = a, BC = b. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc SAD, SBC.
	a) Tìm ñoaïn giao tuyeán cuûa (ADJ) vôùi maët (SBC) vaø ñoaïn giao tuyeán cuûa (BCI) vôùi maët (SAD).
	b) Tìm ñoä daøi ñoaïn giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (ADJ) vaø (BCI) giôùi haïn bôûi hai maët phaúng (SAB) vaø (SCD).
	HD:	b) (a+b).
Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh a. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC, BC. Goïi K laø moät ñieåm treân caïnh BD vôùi KB = 2KD. Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (IJK). Chöùng minh thieát dieän laø hình thang caân.
 Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, taâm O. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu. Ngoaøi ra = 900. Goïi Dx laø ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi SC.
	a) Tìm giao ñieåm I cuûa Dx vôùi mp(SAB). Chöùng minh: AI // SB.
	b) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi mp(AIC). Tính dieän tích thieát dieän.
	HD:	b) Tam giaùc AMC vôùi M laø trung ñieåm cuûa SD. Dieän tích 
III. ÑÖÔØNG THAÚNG vaø MAËT PHAÚNG SONG SONG
1. Ñònh nghóa
	d // (P) Û d Ç (P) = Æ
2. Tính chaát
	· Neáu ñöôøng thaúng d khoâng naèm treân maët phaúng (P) vaø d song song vôùi ñöôøng thaúng d¢ naèm trong (P) thì d song song vôùi (P).
	· Neáu ñöôøng thaúng d song song vôùi maët phaúng (P) thì moïi maët phaúng (Q) chöùa d maø caét (P) thì caét theo giao tuyeán song song vôùi d.
	· Neáu hai maët phaúng caét nhau cuøng song song vôùi moät ñöôøng thaúng thì giao tuyeán cuûa chuùng cuõng song song vôùi ñöôøng thaúng ñoù.
	· Neáu hai ñöôøng thaúng a vaø b cheùo nhau thì coù duy nhaát moät maët phaúng chöùa a vaø song song vôùi b.
VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng song song vôùi maët phaúng 
Phöông phaùp: Ta chöùng minh d khoâng naèm trong (P) vaø song song vôùi moät ñöôøng thaúng d¢ naøo ñoù naèm trong (P).
Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng.
	a) Goïi O, O¢ laàn löôït laø taâm cuûa ABCD vaø ABEF. Chöùng minh OO¢ song song vôùi caùc maët phaúng (ADF) vaø (BCE).
	b) M, N laø 2 ñieåm laàn löôït treân hai caïnh AE, BD sao cho AM = AE, BN = BD. Chöùng minh MN // (CDFE).
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD.
	a) Chöùng minh MN song song vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SAD).
	b) Goïi P laø trung ñieåm cuûa SA. Chöùng minh SB, SC ñeàu song song vôùi (MNP).
	c) Goïi G1, G2 laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc ABC, SBC. Chöùng minh G1G2 // (SBC).
Cho töù dieän ABCD. G laø troïng taâm cuûa DABD. M laø 1 ñieåm treân caïnh BC sao cho MB = 2MC. Chöùng minh MG // (ACD).
	HD: Chöùng minh MG song song vôùi giao tuyeán cuûa (BMG) vaø (ACD).
Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD vaø G laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MN.
a) Tìm giao ñieåm A¢ cuûa ñöôøng thaúng AG vôùi mp(BCD).
b) Qua M keû ñöôøng thaúng Mx song song vôùi AA¢ vaø Mx caét (BCD) taïi M¢. Chöùng minh B, M¢, A¢ thaúng haøng vaø BM¢ = M¢A¢ = A¢N.
c) Chöùng minh GA = 3GA¢.	
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 
Phöông phaùp: Tìm phöông cuûa giao tuyeán. Töø ñoù xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp taïo bôûi maët phaúng song song vôùi moät hoaëc hai ñöôøng thaúng cho tröôùc.
Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm treân AB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø song song vôùi SA.
	a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi (SAB) vaø (SAC).
	b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P).
	c) Tìm ñieàu kieän cuûa MN ñeå thieát dieän laø hình thang.
	HD:	c) MN // BC
Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm baát kì treân SB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø song song vôùi SC.
	a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SCD), (SAC).
	b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P).
Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, AD, SA.
a/ Chöùng minh SC, SC song song vôùi mp(MNP)
b/ Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi mp(R) qua O vaø song song vôùi CD, SA.
Cho töù dieän ABCD coù AB = a, CD = b. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Maët phaúng (P) ñi qua moät ñieåm M treân ñoaïn IJ vaø song song vôùi AB vaø CD.
	a) Tìm giao tuyeán cuûa (P) vôùi (ICD).
	b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän ABCD vôùi (P).
IV. HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG
1. Ñònh nghóa
	(P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Æ
2. Tính chaát
	· Neáu maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau vaø cuøng song song vôùi maët phaúng (Q) thì (P) song song vôùi (Q).
	· Neáu ñöôøng thaúng d song song vôùi mp(P) thì coù duy nhaát moät mp(Q) chöùa d vaø song song vôùi (P).
	· Hai maët phaúng phaân bieät cuøng song song vôùi maët phaúng thöù ba thì song song vôùi nhau.
	· Cho moät ñieåm A Ï (P). khi ñoù moïi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø song song vôùi (P) ñeàu naèm trong moät mp(Q) ñi qua A vaø song song vôùi (P).
	· Neáu moät maët phaúng caét moät trong hai maët phaúng song song thì cuõng caét maët phaúng kia vaø caùc giao tuyeán cuûa chuùng song song vôùi nhau.
	· Hai maët phaúng song song chaén treân hai caùt tuyeán song song nhöõng ñoaïn thaúng baèng nhau.
	· Ñònh lí Thales: Ba maët phaúng ñoâi moät song song chaén treân hai caùt tuyeán baát kì nhöõng ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä.
	· Ñònh lí Thales ñaûo: Giaû söû treân hai ñöôøng thaúng d vaø d¢ laàn löôït laáy caùc ñieåm A, B, C vaø A¢, B¢, C¢ sao cho:
	Khi ñoù, ba ñöôøng thaúng AA¢, BB¢, CC¢ laàn löôït naèm treân ba maët phaúng song song, töùc laø chuùng cuøng song vôùi moät maët phaúng.
VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh hai maët phaúng song song 
Phöông phaùp: Chöùng minh maët phaúng naøy chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau laàn löôït song song vôùi hai ñöôøng thaúng trong maët phaúng kia.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA, SD.
	a) Chöùng minh (OMN) // (SBC).
	b) Goïi P, Q laø trung ñieåm cuûa AB, ON. Chöùng minh PQ // (SBC).
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA vaø CD.
	a) CMR: (OMN) // (SBC).
	b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa SD, J laø moät ñieåm treân (ABCD) vaø caùch ñeàu AB, CD. Chöùng minh IJ song song (SAB).
	c) Giaû söû hai tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE, AF laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa caùc tam giaùc ACD vaø SAB. Chöùng minh EF // (SAD).
	HD:	c) Chuù yù:	
Cho hai hình vuoâng ABCD vaø ABEF ôû trong hai maët phaúng khaùc nhau. Treân caùc ñöôøng cheùo AC vaø BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho: AM = BN. Caùc ñöôøng thaúng song song vôùi AB veõ töø M, N laàn löôït caét AD, AF taïi M¢, N¢.
	a) Chöùng minh: (CBE) // (ADF).
	b) Chöùng minh: (DEF) // (MNN¢M¢).
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 
Phöông phaùp:
	· Tìm phöông cuûa giao tuyeán baèng caùch söû duïng ñònh lí: Neáu 2 maët phaúng song song bò caét bôûi 1 maët phaúng thöù ba thì 2 giao tuyeán song song.
	· Söû duïng ñònh lí treân ñeå xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp bò caét bôûi 1 maët phaúng song song vôùi 1 maët phaúng cho tröôùc.
Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Tam giaùc SBD ñeàu. Moät maët phaúng (P) song song vôùi mp(SBD) vaø ñi qua ñieåm I treân ñoaïn AC. Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P).
	HD:	 Xeùt 2 tröôøng hôïp: I Î OA, I Î OC . Thieát dieän laø tam giaùc ñeàu.
Cho hai maët phaúng song song (P) vaø