Ôn tập môn Toán lớp 11 - Các dạng toán về quan hệ vuông góc trong không gian

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
I. Lời nĩi đầu
Trong mơn tốn ở trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ một vai trị, vị trí hết sức quan trọng. Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, cĩ tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng ĩc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học mơn hình học khơng gian vì các em nghĩ rằng nĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà cĩ rất nhiều học sinh học yếu mơn học này, về phần giáo viên cũng gặp khơng ít khĩ khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học khơng gian.
Hình học khơng gian là một phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ giáo dục, nếu học sinh khơng nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng khi làm hai câu trong về hình học khơng gian trong đề thi đại học.
 Qua nhiều năm giảng dạy mơn học này tơi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đĩ mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nĩ, nên tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khĩ khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nĩi chung và mơn hình học khơng gian nĩi riêng.
Từ lý do trên tơi đã khai thác, hệ thống hĩa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian ” 
II. Cơ sở lý thuyết
2.1. Các định nghĩa
+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 900. 
+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuơng gĩc với mặt phẳng nếu nĩ vuơng gĩc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đĩ. 
+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 900. .
+) Định nghĩa 4: Gĩc giữa hai đường thẳng a và b là gĩc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
+) Định nghĩa 5:
 . Nếu đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng (α) thì ta nĩi rằng gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 900.
. Nếu đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mặt phẳng (α) thì gĩc giữa a và hình chiếu a’ của nĩ trên mặt phẳng (α) gọi là gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).
+) Định nghĩa 6: Gĩc giữa hai mặt phẳng là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai mặt phẳng đĩ.
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đĩ H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đĩ của a đến mặt phẳng (α).
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ.
2.2. Các định lý thường được sử dụng
Định lý 1: 
Định lý 2: 
Định lý 3: + 
 + 
 + 
Định lý 4: 
Định lý 5: 
Định lý 6: 
B. NỘI DUNG
I. Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng, đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng, mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng.
1.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng
1.1.1. Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh. Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt
1.1.2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giácvvuơng tại C, 
a) Chứng minh rằng: 
b) Gọi E là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SC. Chứng minh rằng: 
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuơng gĩc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: 
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: 
Giải: a) Ta cĩ: 
Mặt khác, vì 
Từ (1) và (2) suy ra: 
b) Ta cĩ: 
Theo a) 
Từ (3) và (4) suy ra: 
c) Ta thấy: 
Theo b) 
Trong mp(ADE) kẻ . Vì 
Từ (5) và (6) suy ra: hay 
d) Từ 
Theo c) . Từ (7) và (8) suy ra: 
Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng, tam giác SAB là tam giác đều, . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: 
Giải: Ta cĩ: 
Mặt khác, xét hai tam giác vuơng ADI và DFC cĩ: AI=DF, AD=DC. Do đĩ, từ đĩ ta cĩ: 
Hay 
Từ (1) và (2) suy ra: 
1.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc
1.2.1. Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuơng gĩc cĩ trong hình học phẳng
1.2.2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuơng
Giải: Ta cĩ: 
+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuơng. Do đĩ, (*). Mặt khác, là tam giác vuơng cân tại I nên: (*).
Từ (*) và (**) suy ra: hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra: hay ∆SCD vuơng tại C
Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chĩp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: 
Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.
Ta cĩ: 
Mặt khác, 
Mà (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)
Từ (*) và (**) ta cĩ: 
Từ (1) và (2) ta cĩ: 
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: 
+ Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì nên chọn mp chứa MN và vuơng gĩc với BD là mp(IMN))
+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song.
+ Sử dụng định lý: 
Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, tam giác SAD đều, . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: 
Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là trung điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH. 
 Xét hai tam giác vuơng ABN và BCP cĩ: AB=BC, BN=CP. Suy ra, mà hay (1)
Vì ∆SAD đều nên: . 
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay 
Từ (*) và (**) suy ra: 
Từ (1), (2) suy ra: 
1.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc
1.3.1. Phương pháp: Sử dụng định lý 3
1.3.2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng: 
Giải:+ Ta cĩ: (1) (giả thiết)
+ Mặt khác, (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác)
+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên 
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, , . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: 
Giải:
 + Ta cĩ: . 
+ Xét tam giác vuơng ABM cĩ: . Xét tam giác vuơng ACD cĩ: . Ta cĩ: 
Hay . 
+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên 
1.4. Bài tập:
Bài tập 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, . Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC ^ (SAB), CD ^ (SAD), BD ^ (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK ^ (SAC). Từ đó suy ra HK ^ AI.
Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA ^ (ABC).
a) Chứng minh: BC ^ (SAB).	
b) Gọi AH là đường cao của DSAB. Chứng minh: AH ^ SC.
Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO ^ (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ ^ (SBD).
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ^ (AID).
b) Vẽ đường cao AH của DAID. Chứng minh: AH ^ (BCD).
Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ^ (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
c) .
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của DSIJ và chứng minh rằng SI ^ (SCD), SJ ^ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH ^ AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM ^ SA. Tính AM theo a.
Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) CMR: SH ^ (ABCD).
b) Chứng minh: AC ^ SK và CK ^ SD.
Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a.
a) Chứng minh: SA ^ (ABCD) và tính SA.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK ^ (SBC), AL ^ (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài tập 10: Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông tại S.
b) SD ^ CE.
c) Tam giác SCD vuông.
Bài tập 11: Cho DMAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C¢ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC¢.
a) Chứng minh: CC¢ ^ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của DBCD.
Bài tập 12: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với đáy (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của DBCD, đường cao DK của DACD.
	a) Chứng minh: AB ^ (BCD).
	b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
	c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ^ (ADC).
Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD).
	b) Gọi BE, DF là hai đường cao của DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC).
Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB¢ và CC¢ cùng vuông góc với mp(ABC).
	a) Chứng minh (ABB¢) ^ (ACC¢).
	b) Gọi AH, AK là các đường cao của DABC và DAB¢C¢. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCC¢B¢) và (AB¢C¢) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là a và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC..
	a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ.
	b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của a.
Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để:
	a) Mặt phẳng (ABC) ^ (BCD).
	b) Mặt phẳng (ABC) ^ (ACD).
Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y.
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là MN ^ (SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo bằng 300 là a(x + y) + xy = a2.	
Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 600, cạnh SC = và SC ^ (ABCD).
a) Chứng minh (SBD) ^ (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK ^ SA tại K. Tính độ dài IK.
c) Chứng minh và từ đó suy ra (SAB) ^ (SAD).
II. Các dạng tốn về gĩc
2.1. Dạng 1: Gĩc giữa hai đường thẳng
2.1.1. Phương pháp xác định gĩc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đĩ a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b. Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b
Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đĩ b’ là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song với b. Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ đĩ chọn một đường thẳng qua A và song song với b (hoặc a)
*) Chú ý: Các định lý hay sử dụng
2.1.2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a, . Tính gĩc giữa hai đường thẳng SD và BC?
Giải: Ta cĩ: BC//AD và . Do đĩ, .
Xét tam giác vSAD vuơng tại A ta cĩ: 
Vậy gĩc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cĩ AB=CD=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, . Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD?
Giải: Gọi I là trung điểm của BD. Ta cĩ: .
Xét tam giác IMN cĩ: . Do đĩ, 
Vậy: 
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: 
+ Việc tìm gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD thơng qua gĩc giữa hai đường thẳng IM và IN nhờ vào giả thiết 
+ Một số em đồng nhất là chưa chính xác mà . Đến đây ta cĩ thể giải quết theo hai hướng:
- Chứng minh gĩc 
- Tính ra cụ thể gĩc rồi sau đĩ dựa vào giá trị của gĩc để kết luận về giá trị của gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD
Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, . Hình chiếu vuơng gĩc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC. Tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?
Giải: Gọi H là trung điểm của BC
Ta cĩ: 
Hay, 
Xét tam giác A’B’H cĩ , , .
Do đĩ, 
 Vậy 
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 3:
+ Áp dụng cách 1 để giải bài tốn này
+ Điểm mấu chốt của bài tốn này là tìm ra được độ dài của HB’ thơng qua nhận xét A’H vuơng gĩc với mp(A’B’C’)
2.2. Dạng 2: Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.2.1.Phương pháp xác định gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
+ Tìm 
+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuơng gĩc với (P)
+ 
2.2.2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, , H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
Giải: + Ta cĩ: , . 
Vì nên tam giác SAH vuơng tại A hay mà . Do đĩ, và AC là hình chiếu vuơng gĩc của SC lên mp(ABCD). 
+ Ta cĩ: , . Vậy gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là gĩc cĩ tang bằng .
Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, . Tính sin của gĩc giữa:
SC và (SAB)
AC và (SBC)
Giải: 
Ta cĩ: và (vì ) do đĩ: SB là hình chiếu vuơng gĩc của SC trên mp(SAB) . Ta cĩ: .
+ Trong mp(SAB) kẻ . Theo a) nên hay CH là hình chiếu vuơng gĩc của AC trên mp(SBC) . 
+ Xét tam giác vuơng SAB cĩ: 
+ Vậy 
2.3. Dạng 3: Gĩc giữa hai mặt phẳng
2.3.1.Phương pháp xác định gĩc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
+ Tìm giao tuyến 
+ Trong (P) tìm a vuơng gĩc với ∆, trong (Q) tìm b vuơng gĩc với ∆ và a,b cắt nhau tại I
+ ((P),(Q))=(a,b)
Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính gĩc giữa hai mặt phẳng thì chúng ta cĩ thể áp dụng cơng thức hình chiếu để tính.
Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) cĩ diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của (H) trên mặt phẳng (α) cĩ diện tích S’; φ là gĩc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α). Lúc đĩ, ta cĩ cơng thức sau: 
2.3.2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bằng a.
Tính số đo của gĩc giữa (BA’C) và (DA’C)
Giải: + Kẻ (1)
+ Mặt khác, ta cĩ: , (2)
Từ (1) và (2) suy ra: . Do đĩ, .
+ Xét tam giác vuơng BCA’ cĩ: 
+ Ta cĩ: . Vậy 
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, , BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của gĩc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Giải: + Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuơng gĩc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC). Gọi φ là gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Theo cơng thức hình chiếu ta cĩ: .
+ Ta cĩ: .
 Suy ra: Tam giác AB’I vuơng tại A nên .
Vậy 
2.4. Bài tập
Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng 2a, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM và DN?
Bài tập 2: Cho hình chĩp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Tính gĩc giữa SA và mp(ABC)
Bài tập 3: Cho hình chĩp S.ABC, 
a) Xác định gĩc giữa (ABC) và (SBC)
b) Giả sử tam giác ABC vuơng tại B xác định gĩc giữa hai mp (ABC) và (SBC)
Bài tập 4: Cho hình chĩp tứ giác đều S. ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA=SB=SC=SD=a. Tính cosin của gĩc giữa (SAB) và (SAD).
Bài tập 5: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết .
	a) Tính MN và SO.
	b) Tính góc giữa MN và (SBD).
Bài tập 6: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa:
	a) SC và (ABCD)	b) SC và (SAB) c) SB và (SAC)	d) AC và (SBC)
Bài tập 7: Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ ^ (ABC). Đường chéo BC¢ của mặt bên BCC¢B¢ hợp với (ABB¢A¢) góc 300.
	a) Tính AA¢.
	b) Gọi N là trung điểm của cạnh BB¢. Tính góc giữa MN và (BA¢C¢).
Bài tập 8: Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA¢ ^ (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B¢C¢ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc a và mặt bên BCC¢B¢ góc b.
	a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và a.
	b) Chứng minh rằng: cosa = sinb.
Bài tập 9: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ^ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
	a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
	b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Bài tập 10: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ^ (ABCD) và SA = a.
	a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
	b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài tập 11: Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
	a) (SBC) và (ABC)	b) (SBD) và (ABD)	c) (SAB) và (SCD)
Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = ; SA ^ (ABCD) và SO = .
	a) Chứng minh vuông.
	b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
	c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
III. Các dạng tốn về khoảng cách
3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
3.1.1. Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P)
Cách 1: 
+ Tìm mp(Q) chứa M và vuơng gĩc với mp(P) theo giao tuyến ∆
+ Từ M hạ MH vuơng gĩc với ∆ ()
+ MH = d(M,(P))
Cách 2: 
+ Kẻ ∆//(P). Ta cĩ: d(M,(P))= d(∆,(P))
	+ Chọn . Lúc đĩ, 
Cách 3: 
+ Nếu . Ta cĩ: 
+ Tính và 
+ 
Chú ý: Điểm N ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ hơn tìm khoảng cách từ M đến mp(P).
3.1.2. Các ví dụ mẫu
*) Ví dụ cho cách 1:
Ví dụ 1: Cho hình chĩp đều S.ABC, đáy ABC cĩ cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một gĩc α. Tính theo a và α.
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.
+ Ta cĩ: và 
+ Kẻ mà nên . Do đĩ, 
+ Mặt khác, xét tam giác vuơng AHI cĩ: 
Vậy, 
Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, , SA=2a,
a) Tính 
b) Tính 
Giải: a) Kẻ 
Ta cĩ: và . Từ (*) và (**) suy ra: .
Từ (1) và (2) ta cĩ: hay 
+ Mặt khác, xét tam giác vuơng SAB cĩ: .
Vậy, 
b) Gọi 
 Kẻ 
Ta cĩ: và . Từ (*) và (**) suy ra: .
Từ (1) và (2) ta cĩ: hay 
+ Mặt khác, xét tam giác vuơng SAO cĩ: .
Vậy, .
Ví dụ 3: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB đều, . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính 
Giải: Gọi 
+ Kẻ 
+ Ta cĩ: 
+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuơng AID và DFC cĩ: AI=DF, AD=DC. Suy ra, mà hay (**)
+ Từ (*) và (**) ta cĩ: (2). Từ (1) và (2) suy ra: hay 
+ Ta cĩ: 
Do đĩ, . Vậy, 
*) Ví dụ cho cách 2:
Ví dụ 1: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuơng gĩc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính 
Giải: + Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD). Do đĩ, + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ . Mặt khác, 
Từ (1) và (2) suy ra: 
+ Xét tam giác vuơng BCD cĩ: .
Vậy: 
Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, , là tam giác đều cạnh a, . Tính 
Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC. Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD và AB. Lúc đĩ, CD//(SAB) hay + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ 
Mặt khác, ta cĩ: 
Từ (1) và (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác SIJ cĩ: . Với: , , . 
Do đĩ: . Vậy 
*) Ví dụ cho cách 3:
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, , SD=a.
a) Tính 
b) Tính 
Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ . 
 + Vì Tam giác BCD vuơng tại B hay . Mặt khác, vì . Từ (*) và (**) ta cĩ: . Từ (1) và (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác vuơng SBD cĩ: . 
Vậy, 
b) Ta cĩ: .
Vậy, 
Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, BA=3a, BC=4a, . Tính 
Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ ; trong mặt phẳng (SMN) kẻ . Suy ra, 
+ Ta cĩ: , , . Xét tam giác vuơng SMN cĩ: 
+ Mặt khác, ta cĩ: 
Vậy .
3.2.Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3.2.1. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’
Cách 1: 	
+ Xác định đường thẳng vuơng gĩc chung của d và d’
+ Tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung.
Cách 2: 	
+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d
+ Khi đĩ với A là một điểm bất kỳ thuộc d
Chú ý: mp(P) cĩ thể cĩ sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đĩ mp(P)≡(d’,∆)).
3.2.2. Các ví dụ mẫu
*) Ví dụ cho cách 1
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cĩ AB=a, tất cả các cạnh cịn lại bằng 3a. Tính 
Giải: 
+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.
+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên: Mặt khác, nên tam giác AIB cân tại I. Do đĩ, 
+ Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuơng gĩc chung của AB và CD.
+ Ta cĩ: .
Vậy 
Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, . Tính 
Giải: + Trong mp(SCH) kẻ .
+ Mặt khác, 
Xét hai tam giác vuơng AMD và DNC cĩ AM=DN, AD=DC. Từ đĩ ta cĩ: hay .
Từ (*), (**) suy ra: .
Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuơng gĩc chung của DM và SC.
+ Ta cĩ: .
Xét tam giác vuơng SHC ta cĩ: 
Vậy 
*) Ví dụ cho cách 2
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, . Tính 
Giải: + Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
+ Ta cĩ: + Trong mp(CIJ) kẻ 
Ta cĩ: (vì ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và (vì ∆ABC là tam giác đều) nên .
Từ (1), (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác vuơng CIJ cĩ: 
Vậy 
Ví dụ 2: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên bằng . Tính 
Giải: + Vì + Gọi O là giao điểm của AC và BD. I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
+ Trong mp(SIJ) kẻ .
Theo giả thiết ta cĩ: Từ (1), (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác SIJ cĩ: . Với: IJ=a, . Suy ra: 
Vậy 
Ví dụ 3: Cho hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính 
Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I, M lần lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm của d và IM.
+ Ta cĩ: 
+ Trong mp(SMN) kẻ 
Theo giả thiết: Mặt khác ta cĩ: . Từ (*), (**) suy ra: . Từ (1), (2) suy ra: .
+ Xét tam giác SMN cĩ: với . Do đĩ, . Vậy 
Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính 
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.
Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đĩ, IN//AB hay .
+ Trong mp(ABC) kẻ 
Trong mp(SAJ) kẻ 
+ Theo giải thiết ta cĩ: 
Từ (*), (**) ta cĩ: . Từ (1), (2) ta cĩ: .
+ Ta cĩ: ; .
+ Xét tam giác vuơng SAJ cĩ: .
Vậy 
3.3. Bài tập
Bài tập 1: Cho hình chĩp S.ABCD, SA=a, các cạnh cịn lại bằng . Chứng minh: . Tính 
Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB=a, AA’=2a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính 
Bài tập 3: Cho hình chĩp SABC, . Tính 
Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang , , BA=BC=a, AD=2a, , . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuơng và tính 
Bài tập 5: Cho hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, đường cao SO=a. Tính 
Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, BA=BC=a, . Gọi M là trung điểm của BC. Tính 
Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: . Tính 
Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
	a) OA và BC.	b) AI và OC.
Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
	a) SC và BD.	b) AC và SD.
Bài tập 10: Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
	a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.
	b) Chứng minh SC ^ (BHK), HK ^ (SBC).
	c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài tập 11: a) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì dường vuông góc chung của AB và CD là đường nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD .
b) Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD, AD = BC.
Bài tập 12: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ^ (ABCD) và IS = . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) NP và AC	b) MN và AP.
Bài tập 13: Cho hình chóp SABCD, có SA ^ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a.
	a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
	b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
	c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng .
Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có AA¢ ^ (ABC) và AA¢ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a.
	a) Tính khoảng cách từ AA¢ đến mặt phẳng (BCC¢B¢).
	b) Tính khoảng cách từ A đến (A¢BC).
	c) Chứng minh rằng AB ^ (ACC¢A¢) và tính khoảng cách từ A¢ đến mặt phẳng (ABC¢).
Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a.
	a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD).
	b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD).
	c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. Cho biết AD cách (P) một khoảng là , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE.
Bài tập 16: Cho hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 600, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy điểm C với BC = a. Gọi D là hình chiếu của C trên Ax.
a) Tính AD và khoảng cách từ C đến mp(ABD).
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD.
Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO ^ (ABCD) và SO = . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
a) Chứng minh (SOF) ^ (SBC).
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).
C. KẾT LUẬN
Qua đề tài này, một lần nữa chúng ta cĩ thể khẳng định về tầm quan trọng của hình học khơng gian đối với Tốn học nĩi chung và Tốn học phổ thơng nĩi riêng. Việc tiếp thu tốt phần này địi hỏi người học cĩ tính tưởng tượng phong phú, ngồi ra giáo viên cần trang bị cho các em một lớp các dạng tốn và cách giải tương ứng.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được đúc kết trong quá trình giảng dạy, sẽ cĩ nhiều thiếu sĩt mong quý thầy cơ đĩng gĩp ý kiến để cho đề tài được hồn thiện và đi vào áp dụng. 
Xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Anh Trường (2013), Tài liệu tổng ơn tập hình học khơng gian. Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội.
2. Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001), Phân loại và phương pháp giải tốn hình học khơng gian. Nhà xuất bản đại học quốc gian Thành phố Hồ Chí Minh.
3. diendantoanhoc.net
Đồng hới, ngày 09 tháng 05 năm 2014
Người viết sáng kiến kinh nghiệm:
Lê Duy Hiền
Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ TỐN:
Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG: