Ôn tập môn Toán lớp 10 - Phần 1: Thể tích khối đa diện

Phần 1: Thể tích khối đa diện
A/ Lý thuyết
1.Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (SGK Hình học 12 trang 23)
2.Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thước của khối lượng chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V= Sđáy . h , h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= Sđáy . h , h: Chiều cao của khối lăng trụ
B/ Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính thể tích của khối đa diện
*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính được
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để được 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính được thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức:
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60o 
AB = a, SA = l
SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α
giải:
a) Gọi O là tâm ∆ABC đều 
⇒ SO ⊥(ABC) 
SABC =a=
∆ABC có SA = SB; ABC = 60o 
⇒ SA = AB = SB = a
SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (a)2 = 
⇒ SO = a
Vậy VSABC = S∆ABC . SO = .. a. 
b) Tương tự câu a đáp số: 
 VSABC = . .
c) 
Gọi O là tâm ∆ABC
Gọi A’ là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = α
Tam giác vuông SOA có: 
 SO2 = l2 - OA2 = l2 - AA’2
Tam giác vuông SOA’ có: 
(2)
Từ (1) (2) ta có: 
↔ AA’2(sin2 α + 4) =9l2
↔ 
S∆ABC = 
⇒VSABC = S∆ABC . SO =
Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. tính VA’ABC theo a?
Giải.
-Gọi H là trung điểm BC 
⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)
-Ta có S∆ABC = 
-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH
Tam giác vuông A’HA có:
A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - .(a2 + 3a2)
hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a
⇒VA’ABC = S∆ABC .A’H =
Bài 3. Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a. ∆ABC vuông cân có AB = BC =a. B’ là trung điểm SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh rằng AB ⊥ (AB’C’). Tính VSAB’C’
Giải
a)
S∆ABC = ; SA =a
⇒ VSABC = S∆ABC .SA = a3
b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân tại A ⇒ AB’ ⊥ SB
B’S = B’B
BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ 
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ 	AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)
	AC’ ⊥ SC 
Cách 1 
Vì AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = 
B’C’2 = SB’2 - SC’2 = 
⇒S∆AB’C’ = 
⇒V∆AB’C’ = 
Cách 2
Bài 4 Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. Tính VSABC.
Giải
Dễ thấy 	
(SB, (ABC)) = α = SBA
(SB, (SAD)) = β = BSD
∆ABC cân ⇒ AD ⊥ BC
DB = DC
∆SAB có cos α = (1)
BC ⊥ AD 
BC ⊥ SA (vì SA⊥ (ABC)
⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD
Tam giác vuông SB có sinβ = (2)
Từ (1) (2) 	⇒ 
⇒ 
⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α
⇒ AB = 
S∆SAB =BD.AD = 
SA = AB. tan α =
⇒ VSABC = SA.S∆ABC == 
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC.
Giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có BD ⊥ AC 
(vì ABCD là hình vuông)
(Ax, Cy) ⊥ (ABCD)
⇒ BD ⊥ (AMNC) 
⇒ BI ⊥ (AMNC)
BI = 
Diện tích hình thang AMNC là S =
VAMNC = 
*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. 
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên dáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy 
-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ song song với đường thẳng đó.
-Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = α, các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc α. Tính VSABC 
Giải
-Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
-Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
-Ta có: ∆ABC = 
mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = 
⇒ S∆ABC =
HA = R = 
Tan giác vuông có tan α =⇒ SH =
⇒VSABC = 
Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = và góc giữa 2 đường chéo = 60o. các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45o. Tính VSABCD 
Giải
-Hạ SO ⊥ (ABCD)
-Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. ⇒ O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và O = AC ∩ BD
-Đặt AC = BD =x.
Ta có ShcnABCD = AC.BD.sin60o =⇒ x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC vuông cân tại S ⇒ SO = ⇒ VSABCD = 
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o.
Chứng minh rằng ∆ABC vuông
Tính VSABC
Giải
a)
 	 ⇒ AB = a
-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2
-∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(-) =3a2
-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại B
b) Hạ SH ⊥ (ABC)
Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ H là trung điểm AC
∆ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = 
BH = 
(Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đều ⇒ SH = )
⇒VSABC = 
Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = . Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD = 
Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
-Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)
-Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H là tâm đường tròn nội tiếp đáy
-Gọi K là hình chiếu của H lên AD
-Ta có HK = 
-Tam giác vuông SHK 	có HK = a
SK = (vì ∆SAD đều)
⇒SH = 
Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
⇒SABCD = 
⇒VSABCD = 
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a, (SAB) b (ABCD). M, N - Trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải
∆SAB hạ SH b AB
(SAB) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)
S∆CDN = S∆MDA = S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = S⋄ABCD = 2a.2a = 2a2
∆SAB có AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông tại S 
⇒ ⇒ SH = 
⇒VSBMDN = S⋄BMDN.SH = 
Bài 12: SABCD có ⋄ABCD là hình thang với AB = BC = CD = AD. ∆SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a. Tính VSABCD
Giải
-Trong 	∆SBD kẻ SH b BD
	Vì (SBD) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD)
-Tam giác vuông SBD có 
	hay 
	hay 
-Vì hình thang có AB = BC = CD =AD ⇒ = 60o, B = C = 120o
-∆SBD có BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a
∆CBD có BD2 =2BC2(1+) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 
S∆BCD = 
S⋄ABCD = 3S∆BCD = 
⇒VSABCD =S⋄ABCD.SH = = 170a3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng b (ABCD). ∆SAB có SA = a, ASB = 2 α và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc α. Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải
Trong ∆SCD hạ SH b CD
Vì ∆SCD cân tại S
⇒ H là trung điểm CD.
SH b CD
(SCD) b (ABCD
⇒ SH b (ABCD)
Gọi K là trung điểm AB 
Ta có HK b AB
AB b SH (vì SH b (ABD))
⇒AB b (SKH) ⇒ AB b SK ⇒ ∆SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB có SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α
∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosα = acos2 α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα = 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = α
Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60o, BC = a, SA = a, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
Giải
Cách 1. 
SA b (ABC)
Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒ MH b (ABC)
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
S∆ABC = 
VMABC = 
Cách 2. 
 VMABC = 
mà VSABC = SA.S∆ABC = 
⇒Vmabc = 
Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA b (ABCD), AB = a, SA = a. H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng SC b (AHK) và Tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
Ah b SB (gt) (1)
BC b AB (vì ABCD là hình vuông)
BC b SA (vì SA b (ABCD))
⇒BC b (SAB) BC b AH (2)
Từ (1) (2) ⇒AH b (SBC)
⇒AH b SC (3)
Chứng minh tương tự ta có SC b AK (4)
Từ (3) (4) ⇒ SC b (AKH)
Gọi F = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE b (AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE = CN
Tam giác vuông SAD có ⇒ AK = 
Dễ thấy AH =
∆AKH cân tại A
Dễ thấy ∆SBD có mà SK = 
SD = a
⇒
HK = BD = 
OF=SO ⇒
∆SAC có : OA=OC
⇒ ⇒OE=SN=a
 	S∆AHK=KH.=
 	 ⇒ V=
Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau:
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a) , O(a/2,a/2,0)
∆SKA ∆ SAD ⇒ ⇒ SK=
⇒K(0,2a/3,a/3)
∆ABS có ⇒ SH=
⇒H(2a/3,0,a/3)
Ta có 
 [] =()
 ⇒ VOAHK=|[].|=
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a, SA = a, SA b (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. I = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.
Giải
SA b (ABCD)
gọi O = AC ∩ BD
Trong ∆SAC có ON // SA 
⇒ON b (ABCD) ⇒ NO b (AIB)
Ta có NO = 
Tính S∆AIB = ?
ABD só I là trọng tâm 
⇒S∆ABI =S∆ABO = S⋄ABCD = a.a = 
⇒ SANIB =NO.S∆AIB = 
Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)b (ABCD). ∆SAD đều. M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
-Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE b AD
	(SAD) b (ABCD)
⇒SE b (ABCD)
-Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB
Ta có MF = SE = 
S∆CNP = 
VCMNP = S∆NCP.MF = 
Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB
Giải
Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên 
A’D.
Ta có BH b A’D
 BH b A’A
 	⇒ BH b (AOO’A’)
 	⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’
 	SAOO’ =, A’B=
∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a
∆O’BD đều ⇒ BH= ⇒VBAOO’ =SAOO’ =
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA b (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. Điểm M thuộc cạnh SA, AM = . (BCM) ∩ SD = N. Tính thể tích hình chóp SBCMN
Giải
Ta có SAB=600
∆SAB vuông tại A có AM= , AB=a ⇒ ABM=300
Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 300=a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ ⇒MN=
⇒SBCMN=
⇒VSBCMN= SBCMN = 
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp SBCNM
Giải
Ta có BC//AD ,BC= ,MN//AD , MN= ⇒BC = MN , BC// MN (1)
BC ⊥AB
BC ⊥SA
⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)
Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH ⊥BM thi SH⊥ (BCNM)
⇒Vsbcnm=SBCNM.SH=BC.NM.SH=
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a. M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1
Hướng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 
+Có thể dùng cả phương pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. 
a.Tính thể tích tứ diện theo x.	
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a. 
Cách 1:
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB 
S∆ABC = 
HC = R∆ABC = 
⇒Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 
⇒ HD = ⇒VABCD = 
Cách 2:
Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD b ABM
Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 
VABCD = 2VCBMA = 2.CM.S∆ABC = 
S∆ABM = MC’.AB = 
VABCD = 
b)
SACD= ⇒d(B,(ACD))==
c)
VABCD =
Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = và thể tích lớn nhất là 
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
GIảI
Ta có BM b SH (gt)
BM b SA (Vì SA b( ABCD)
⇒BM b AH
SABM=SABCD=a2
Mà SABM=AH.BM ⇒ AH=
∆SAH vuông ở A có SH=
∆BAH vuông ở H có BH=
SABH=AH.BH=
VSABH=
Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D. 
Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA=a.Điểm M thuộc cạnh AB.Đặt góc ACM bằng 
Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI.
Đáp số
a)Vmax= b)VSAKI=
Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành
các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm
Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC =c
Tính thể tích ABCD
Giải
+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR.
+S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB =S∆PQR
⇒ S∆BCD =S∆PQR
AD = BC = PR
D là trung điểm PR
⇒AR b AP
Tương tự AP b AQ, AQ b AR
VAPQR =S∆PQRAR
Bài 26: VABCD = AD.BC.MN.Sin α. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, α =(AD, BC)
Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tiết diện này ⇒
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng α. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC
Giải
-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C
-Gọi E là trung điểm AB 	⇒ 	AB b SE
AB b CE
⇒AB b (SCE)
⇒VSABC = VASEC + VBSEC = S∆SEC.(AE+BE) = S∆SEC.AB
Tính S∆SEC = ?
∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))
Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC
∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))
FS = FC
⇒FBC = 
Tam giác vuông EBC có CE = 
Tam giác vuông FBC có BC = 
Sin = ⇒ FC = BC sin = 
Tam giác vuông EFC có 
EF2 = EC2 - FC2 = 
S∆SEC = EF.SC = EF.FC = 
= 
VSABC = 
một số bài tập có thể giải bằng PP toạ độ vơi việc chọn hệ toạ độ dễ dàng
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC =4, BD = 2, A cắt BD tại O SO b (ABCD), SA = 2. Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp SABMN
Giải
Cách 1:
Ta có AB // CD (gt)
(ABM) (SCD) = MN
⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD
VSABCD = SABCD.SO = AC.BD.SO = 
 ⇒ VSABN = SSABD = = 2
 ⇒ VSBMN = SSBCD = = 
⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3
Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS
Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; )
Do (ABM) ∩ (SCD) = MN
AB // CD
⇒MN//CD
⇒N là trung điểm SD
⇒N(0; -; )
 = (2; 0; -2); = (-1; 0; -); = (0; 1; -2); = (0; -; -)
[, ] = (0; 4; 0)
VSABM = [, ].SB =
VSAMN = [, ].SN =
VSABMN = VSABM + VSAMN = 
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c
a)Tính thể tích A’C’BD
b)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD.
giải
a) Cách 1:
Thể tích của khối hộp ABCDA’B’C’D’ là V = abc
VC’CDB = V 
Tương tự ta có VAA’BD= VBA’B’ C’=VD’A’DC’ = V
⇒VA’C’DB = V -4. V = V= abc
Cách 2: dùng phương pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)
 = (a; -b; 0); = (a; 0; c); = (0; -b;c); 
[,] = (-bc; -ac; ab)
VA’C’DB = |[,].| = abc
b) Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c)
M là trung điểm CC’ nên M(a;b; )
 , , 
[]=
VBDA’M = |[,].| = abc
2) Về thể tích khối lăng tru
Ta thường áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính hoặc bổ sung thêm
Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
Giải
Gọi O là tâm ABC⇒ OA=OB=OC
A’A= A’B= A’C (gt)
⇒A’O⊥ (ABC)
(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600
A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC) 
Trong tam giác vuông A’OA có OA’=OA tan 600=a
Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = ⇒VABCA’B’C’=S∆ABC.A’O=
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o. (BC’,(AA’C’C)) = 30o. Tính thể tích của khối lăng trụ
Giải
Dễ thấy AB b (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300
∆ABC vuông tại A có =600, AC=b nên BC=2b và AB=b.
vì AB b (ACC’A’) nên AB b AC’
∆ABC’ vuông tại A có AC’=
∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2=AC’2-AC2= 9b2-b2=8b2
⇒CC’ = 2b =AA’. S∆ABC = CA.CBsin6oo = 
⇒VABCA’B’C’ =S∆ABC.AA’ =b3 
Bài 3
Dạng 2: tỉ số thể tích
A/. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng α chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1 và V2. Để tính k = ta có thể:
-Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức ⇒ k
-Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc V1) ⇒ k
Ta có các kết quả sau:
+Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng.
+Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy.
+
(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))
B/. Các bài tập
Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Giải
-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM
⇒ I ∈ (P)
 BD ⊂ (SBD)
 BD // (P) 
⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD
 (vì I là trọng tâm ∆SAC)
mà VSABD = VSCBD = VSABCD
Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA b (ABCD). (SC, (SAB)) = α. Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó
Giải
Kí hiệu K1 = VSMAQN
V2 = V - V1
Gọi O = AC ∩ BD
∆SAC kẻ AN b SC
E = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P)
vì (P) b SC
mà BD b SC
 BD b AC
 BD b SA
 BD b (SAC) 
BD ⊂ (SAC)
⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD
CB b AB (gt)
CB b SA (vì SA b (ABCD))
⇒CB b (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = α
V1 = 2VSANQ, V = 2VSACB
Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = 
Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ = 
BC b AB (gt)
BC b SA (vì SA b (ABCD))
⇒BC b SB
Tam giác vuông SBC: cos α = ⇒ SC = 
Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanα
Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB b (SDC) chia chóp làm hai phàn. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương.
Giải
Gợi ý:
Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có:
V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)
Để ý: ED’ = a, FC =, PD’ =, CQ = 
Tính được V1 = 
V2 = V- V1 = a3 - = 
Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho,. Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.
Giải
Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)
Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB
V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE
⇒
⇒VSABE =V ⇒ V1 = V + V + V = V 
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra.
Giải
Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI
Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta có
V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF
V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI
So sánh từng phần tương ứng ta có V1 = V2 = 1
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. O= AC BD, õ (ABCD). Lấy S ox, gọi bằng (mặt bên, mặt đáy). mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Dạng 3 Phương pháp thể tích : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thứC,khoảng cách từ 1 điểm tới một mặt phẳng
dựa vào thể tích.
Bài 1: SABC có SA = 3a, SA b (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o
Tính D(A,(SBC)).
Giải
S∆ABC = AB.BC.sin120o = = a3
SSABC = S∆ABC .SA= = a3
Kẻ 	SM b BC
BC b SA (vì SA b (ABC))
⇒BC b AM ⇒ AM = a
∆SAM vuông tại A có SM = 2a
S∆SBC = SM.BC = 2a2
d(A, (SBC)) =a
Bài 2: SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA b (ABC), SA =2a. Tính d(A, (SBC))
Giải
S∆ABC = = 
VSABC =SA.S∆ABC = 
Gọi M là trung điểm BC 
AM b BC
BC b SA
⇒BC b SM
AM = 
∆SAM vuông tại A có SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 + a2 = a2 ⇒ SM = a
S∆SBC = SM.BC = a2
d(A, (SBC)) =a
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = 5. Tính d(A, (BCD))
Giải
Dễ thấy ∆ABC vuông tại A 
S∆ABC = AB.AC = 6
VDABC = S∆ABC.DA = 8
∆DAC có DC = 4
∆DAB có DB = 5
∆DBC có BC = BD = 5 ⇒ ∆DBC cân tại B
gọi M là trung điểm DC ⇒ BM b DC
BM = 
S∆DBC = BM.DC = ..4 = 2
d(A, (DBC)) =a
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c. Tính d(A, (BCD))
Giải
∆ACD = ∆BCD
Gọi M là trung điểm CD 
⇒AM = BM, DC b (ABM)
Gọi N là trung điểm AB ⇒ MN b AB
MN2 = BM2 - BN2 = c2 + 
S∆AMN = 
VABCD = 2 VBCMA = 2.CM.S∆ABM = 
V∆BCD = BM.CD = .b = 
d(A, (BCD)) =
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.
	a)tính thể tích tứ diện ABCD theo x
b)Tính d(A, (BCD))
Tương tự bài 4 
Đáp số:	 VABCD = 
d(A, (BCD)) = x
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a và BAC = 120o. Gọi m là trung điểm của cạnh CC1. 
Chứng minh rằng MB MA1 và tinhd khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
Giải
Đưa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc như hình vẽ: gốc toạ độ A1. trục A1Z hướng theo 
Trục A1y hướng theo Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong MP (A1B1C1).
Toạ độ các điểm:
A1(0 ; 0; 0), B1(, C1(0; 2a; 0)
A(0 ; 0; 2a), B(, C(0; 2a; 2a)
M(0; 2a; a)
(-a)
(0; 2a; a), (0)
 = 0+5a2 - 5a2 = 0 BM b MA1
Thể tích khối chóp AA1BM bằng V = | []|
= 	5a/2 -a 	-a/2 -a -a/2 5a/2
	2a a ; 0 a ; 0 2a 
 =
⇒VAA1BM = 
S∆BMA1 = . = 3a2 ⇒ Khoảng cách từ A tới (BMA1) bằng 
h = 
Bài 7: Cho tứ diện OABC. Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua M // với OA, OB. OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A1, B1, C1.
Chứng minh rằng: 
Giải
Nối M với các đỉnh O,A,B,C. Khi đó
VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA
1= 
Xét 
Kẻ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK
∆OAH ∾ A1MK ⇒ 
Tương tự ta có 	
Vậy 
Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1.
Chứng minh rằng 
Giải
Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:
V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC
1= 
Xét 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒
Tương tự: 	; ; 
Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho ; ; 
Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng 
Giải
Ta có VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = 
 (1)
 (2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được
Tương tự: 	(4)
 	(5)
Cộng vế với vế (4) và (5) ta được
Từ (3) và (6) ta có ⇒
Phần 2: Thể tích khối cầu, khối trụ, khối nón
A/. Lý thuyết.
1/Định nghĩa:
-Thể tích khối cầu (SGK HH12 – Trang 44)
-Thể tích khối trụ (SGK HH12 – Trang 50)
-Thể tích khối nón (SGK HH12 – Trang 56)
2/Các công thức:
a)Thể tích khối cầu V = , R: bán kính mặt cầu
b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao
c)Thể tích khối nón V = Sđáy.h , h: chiều cao
B/.Bài tập
ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thức trên.
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ
Giải
-Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của các đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’
-Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
-Bán kính mặt cầu là R = IA
Tam giác vuông AOI có: AO = 
OI = 
⇒AI2=OA2+OI2=⇒ AI = 
V= 
AI2 = 
V=
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có SO b (ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o
Gọi M là trung điểm SA
Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = 
Với AO = , AS = , SO = SA sin30o = 
⇒SI = = a ⇒ VMcầu = 
Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp,
nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi
thêm thể tích mặt cầu
Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o. Tính thể tích khối trụ
Giải
 ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) và đáy 
Do đó: ADA’ = 60o
∆OAD vuông cân nên AD = OA = R
∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60o = R
V = R2h = R3
Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o. Tính thể tích khối trụ.
Giải
Gọi I, J là trung điểm của AB và CD
Ta có: OI AB;IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’ 
MIO = 45o là góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó:
O’I = ; R = 
h = 2OM =
Vậy V =R2h = 
Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S=6. Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất.
Giải
STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6
⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R2 = 3 
V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R
V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R = 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax ⇔R = 1 và h = 2
Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung α và (P) tạo với đáy một góc β. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón.
Giải
Gọi E là trung điểm AB ta có OES= β ; AOB= α
Vẽ OM (SAB) thì SOM= ta có:
SO= và OE=
Bán kính đáy R=OA=
Thể tích khối nón là:V=
Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C). 
1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).
2.Tìm x để thể tích này lớn nhát
Giải
Ta có 
Thể tích khối nón V=
V’=
V’ = 0 ⇔ x= h (loại)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x =
Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2.Với x nào thì hình trụ tồn tại?tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.
Giải
Ta có Stp=Sxq+2Sđ=
Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2)=2
⇔xy+x2=1 ⇔ y=.Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x2>0 ⇔0<x<1
Khi đó V=x2y=x(1-x2)= -x3+x
Khảo sát hàm số trên với x (0,1) ta được giá trị lớn nhất của V=
Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= α ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng β và khoảng cách tư O đến (SAM) bằng a.tính thể tích khối nón theo a, α, β.
Giải
Gọi I là trung điểm AM
∆SAM cân nên SI b AM
∆OAM cân nên OI b AM
(SOI) b AM nên SOI là góc phẳng nhị diện cạnh AM ⇒ SIO = β
Kẻ OH b (SAM)
(SOI) b (SAM)
⇒ H ∈ SI và OH=a
Ta có OI=
V=
Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
+Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). 
+Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Gọi EFlà 1 đường kính cua (C) ta có :
I	E2=IA.IB=h(2R-h) ⇒ R=IE=
Thể tích cần tính là:V= với 0<h<2R
V’= ,V’=0
Vmax hay AI=
 ABC
b∆α⊥⇒↔ β∩ ф≤≥Ψ≥≤→‏כU∞≡ΨΦ⋂⋃⋄⊂⊃∈∋∉∌⇔∾|][
b∆α⊥⇒↔ β∩ ф≤≥Ψ≥≤→‏כU∞≡ΨΦ⋂⋃⋄⊂⊃∈∋∉∌⇔∾|][
b∆α⊥⇒↔ β∩ ф≤≥Ψ≥≤→‏כU∞≡ΨΦ⋂⋃⋄⊂⊃∈∋∉∌⇔∾|][
b∆α⊥⇒↔ β∩ ф≤≥Ψ≥≤→‏כU∞≡ΨΦ⋂⋃⋄⊂⊃∈∋∉∌⇔∾
b∆α⊥⇒↔ β∩ ф≤≥Ψ≥≤→‏כU∞≡ΨΦ⋂⋃⋄⊂⊃∈∋∉∌⇔∾[]||