Ôn tập môn Toán lớp 10 - Giới hạn dãy số và giới hạn hàm số

 GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 4. Cho dãy số (un) với 
a) Chứng minh rằng với mọi n.
b) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n.
c) Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn 0.
Bài 6. Tìm lim un với
Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi:
 với mọi n ³ 1.
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi là một cấp số nhân.
b) Tìm lim un
Bài 8. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1, tam giác An+1 Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, Gọi p1, p2,pn, và S1, S2,, Sn, theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác A1B1C1, A2B2C2, AnBnCn,
a) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
b) Tìm các tổng
p1 + p2 + + pn +  và S1 + S2 +  Sn +
Bài 12. Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
Bài 13. Tìm các giới hạn sau:
Bài 16. Tìm các giới hạn sau:
Bài 17. Tìm các giới hạn sau:
Bài 18. Tìm các giới hạn sau:
Hướng dẫn: Nhân và chia biểu thức đã cho với 
b) 
Hướng dẫn: Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với .
Bài 23. Tìm các giới hạn sau:
Bài 25. Tìm các giới hạn sau:
Bài 28. Tìm các giới hạn sau:
Bài 29. Cho hàm số.
Tìm (nếu có).
Bài 31. Tìm các giới hạn sau:
Bài 32. Tìm các giới hạn sau:
Bài 33. Cho hàm số
Tìm (nếu có).
Bài 34. Tìm các giới hạn sau:
Bài 35. Tìm các giới hạn sau:
Bài 37. Tìm các giới hạn sau:
Bài 38. Tìm các giới hạn sau:
Bài 39. Tìm các giới hạn sau:
Bài 40. Tìm các giới hạn sau:
Bài 41. Tìm các giới hạn sau:
4.2. Chứng minh rằng hai dãy số (un), (vn) với:
Có giới hạn 0.
4.3. Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:
4.4. Cho dãy số (un) xác định bởi:
với mọi n.
Chứng minh rằng:
a) với mọi n;	b) với mọi n.
Từ đó suy ra lim un = 0.
4.5. Cho dãy số (un) xác định bởi: 
a) Chứng minh rằng un > 0 và
 với mọi n.
b) Từ đó suy ra lim un = 0
4.6. Chứng minh rằng
4.10. Tìm giới hạn của dãy số (un) với
4.11. Cho dãy số (un) xác định bởi:
Chứng minh rằng:
a) un > 1 với mọi n.
b) với mọi n.
c) Tìm lim un.
4.32. Tìm các giới hạn sau:
4.34. Tìm các giới hạn sau:
4.35. Tìm các giới hạn sau:
4.44. Tìm các giới hạn sau:
4.45. Tìm các giới hạn sau:
4.50. Tìm các giới hạn sau:
4.51. Tìm các giới hạn sau:
4.57. Tìm các giới hạn sau (nếu có):
4.58. Tìm các giới hạn sau:
4.59. Tìm các giới hạn sau:
I. Giới hạn dãy số
Bài 37. Tìm các giới hạn: 
Bài 38. Tính các giới hạn sau:
II. Giới hạn hàm số
Dạng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.
23. Tìm các giới hạn sau:
30. Tìm các giới hạn sau:
31. Tìm các giới hạn sau:
38. 
42. 
43.
4.44 . Tìm các giới hạn sau:
4.50. Tìm các giới hạn sau:
4.57. Tìm các giới hạn sau (nếu có):
4.59. Tìm các giới hạn sau: 
Bài 39. Tính các giới hạn sau:
Bài 40. Tìm các giới hạn sau:
Bài 41. Tìm các giới hạn sau:
Bài 42.Tìm các giới hạn sau: 
Bài 43. Tính các giới hạn
Bài 44. Cho hàm số f(x) = . Tìm a để tồn tại 
Dạng 2. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm.
37. Tìm các giới hạn sau:
4.56. Tìm các giới hạn sau:
Giới hạn một phía
26. Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số; tìm các giới hạn sau:
27. Tìm các giới hạn sau (nếu có):
28. Tìm các giới hạn sau:
33. Cho hàm số
 nếu có
35. Tìm các giới hạn sau:
38. Tìm các giới hạn sau:
45. Tìm các giới hạn sau:
4.46. Tìm các giới hạn sau:
4.47. Tìm các giới hạn sau:
4.48. Cho hàm số
Tìm (nếu có).
4.52. Tìm các giới hạn sau:
4.59. Tìm các giới hạn sau:
Bài 45. Tìm các giới hạn sau.
Bài 46. Tìm các giới hạn sau:
Bài 47. Tính các giới hạn sau:
Dạng 3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
24. Tìm các giới hạn sau:
25. Tìm các giới hạn sau:
32. Tìm các giới hạn sau:
39. Tìm các giới hạn sau:
44. Tìm các giới hạn sau:
4.45. Tìm các giới hạn sau:
4.59. Tìm các giới hạn sau:
Bài 48. Tìm các giới hạn sau:
Bài 49. Tìm các giới hạn sau:
Dạng 4. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực.
34. Tìm các giới hạn sau:
36. Tìm các giới hạn sau:
42. Tìm các giới hạn sau:
44. Tìm các giới hạn sau:
4.55. Tìm các giới hạn sau:
Bài 50. Tìm các giới hạn sau:
Bài 51. Tìm các giới hạn sau:
Dạng 5. Giới hạn vô định dạng lượng giác.
Bài 52. Tìm các giới hạn sau:
Bài 53. Tìm các giới hạn sau:
Bài 54. Tìm các giới hạn sau:
Dạng 6. Giới hạn hàm số sử dụng định ký kẹp.
Bài 55. Tìm các giới hạn sau:
Bài 56. Tìm các giới hạn sau:
PHẦN BA: HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số.
46. Chứng minh rằng:
a) Các hàm số f(x) = x3 – x + 3 và g(x) liên tục tại mọi điểm x Î.
b) Hàm số 
liên tục tại điểm x = 2.
c) Hàm số f(x) = 
gián đoạn tại điểm x = 1.
47. Chứng minh rằng:
a) Hàm số f(x) = x4 – x2 + 2 liên tục trên ;
b) Hàm số f(x) = liên tục trên khoảng (-1; 1);
c) Hàm số f(x) = liên tục trên đoạn [-2; 2];
d) Hàm số f(x) = liên tục trên nửa khoảng 
48. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
4.60. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước:
 tại điểm x = 2; 
 tại điểm x = -2;
 tại điểm x = 0.
d) tại điểm x = -2
4.61. Tìm các khoảng và nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
4.62. Tìm số thực a sao cho hàm số
liên tục trên .
4.63. Cho hàm số f: [0; 1] -> [0; 1] liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c Î [0; 1] sao cho f(c) = c.
4.64. Tìm các giới hạn sau:
4.65. Tìm các giới hạn sau:
4.66. Tìm số thực a sao cho hàm số.
liên tục trên .
Bài 57. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã cho:
Bài 58. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ: 
Bài 59. Chứng minh rằng hàm số f(x) = liên tục trên .
Bài 60. Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số liên tục trên .
Bài 61. Tìm a, b để hàm số liên tục trên : f(x) = 
Bài 62. Cho hàm số f(x) = Tìm giá trị của a để hàm số:
a) Liên tục trên (-¥; 1]	b) Liên tục trên .
Bài 63. Tìm a để hàm số sau liên tục trên (-¥; +¥):
Dạng 2. Xét sự có nghiệm của phương trình.
49. Chứng minh rằng phương trình:
	x2cosx + xsinx + 1 = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; p).
4.67. Chứng minh rằng phương trình: x3 + 1000x2 + 0,1 = 0
có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 64. Chứng minh rằng phương trình sinx – x + 1 = 0 luôn có nghiệm.
Bài 65. Chứng minh rằng phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.
Bài 66. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt.
Bài 67. Chứng minh phương trình x3 + mx2 – 1 = 0 luôn có một nghiệm dương
Bài 68. 
a) Chứng minh rằng phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ¹ 0) luôn có ít nhất một nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 với a.e < 0 luôn có ít nhất hai nghiệm.
Bài 69. 
a) Chứng minh rằng phương trình 2x3 – 3x2 – 1 = 0 có nghiệm x Î 
b) Chứng minh rằng phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm x Î 
Bài 70. 
a) Cho 3a + 4b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x Î(0;1).
b) Cho 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn có ít nhất một nghiệm x Î (0; 1).
c) Cho . Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x Î (0; 1).
Bài 71. Chứng minh rằng "m thì các phương trình sau luôn có nghiệm:
Bài 72. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thoả mãn a £ f (x) £b " x Î[a; b]. Chứng minh rằng phương trình f(x) = x luôn có nghiệm x Î[a;b ].
Bài 73. Chứng minh rằng "a, b, c, d Î tuỳ ý, các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) a(x - b) (x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x-a) (x - b) = 0.
b) (x - a)(x- b)(x - c)+ (x -a)(x - b) (x - d) + (x - a)(x - c) (x -d)+ (x -b) (x -c)(x - d) = 0.
Bài 74. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phương trình: 
x3 + x= + 2x – 2m + 7 = 0.
Bài 75. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau luôn có ba nghiệm phân biệt:
Bài 76. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 77. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phương trình sau luôn có nghiệm:
Bài 78. Cho phương trình m(x2 - 4) (x - 1) = x2 – x – 1. Chứng minh rằng với mọi m khác 0, phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân 
biệt.