Ôn tập môn Toán 12 - Một số dạng toán về liên quan gía trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất trong không gian oxyz

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LIÊN QUAN GTLN- GTNN 
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Dạng 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm A1; A2; A3;; An.Xét ve tơ:
 và mp(P): ax + by + cz = d = 0
Trong đó . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho nhỏ nhất.
PP: 
+Gọi G là điểm thỏa mãn: . Xác định điểm G
+Ta có: với i =1, 2, 3,,n 
+ 
+Vì là hằng số khác không nên có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, mà 
 Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1); B(2; -2; 1); C(0; -1; 0) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: 
Dạng 2: Trong không gian Oxyz cho các điểm A1; A2; A3;; An. Xét biểu thức:
 Trong đó . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
T có giá trị nhỏ nhất biết: > 0
T có giá trị lớn nhất biết: < 0
PP:
+Gọi G là điểm thỏa mãn: . Xác định điểm G
+Ta có: với i =1, 2, 3,,n 
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 4; 5); B(0; 3; 1); C(2; -1; 0) và mặt phẳng (P): 3x - 3y -2z - 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
 a) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất 
 b) MA2 + 2MB2 – 4 MC2 có giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: 
Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: 
Dạng 3: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) và mp 
(P):ax + by + cz + d =0. Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho:
	a)MA + MB nhỏ nhất
	b) lớn nhất với 
PP:
- Xét vị trí các điểm A,B so với mp(P).
	+ Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) > 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mp(P).
	+ Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) < 0 thì hai điểm A, B khác
 phía với mp(P).
a)MA + MB nhỏ nhất 
	Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA + MB dấu đẳng thức xãy ra 
 A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đoạn AB.
 Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía với mp(P).
	Vì A, B khác phía với mp(P) nên min(MA+MB) = AB 
Trường hợp 2: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).
	Khi đó MA + MB vẫn đúng nhưng không có dấu đẳng thức.
Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B khác phía với mp(P) và MA’ = MA
 nên MA + MB = MA’ + MB ; min(MA + MB) = A’B 
b) lớn nhất
	Dựa vào bất đẳng thức tam giác AB dấu đẳng thức xãy ra
 A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đường thẳng AB.
Trường hợp 1: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).	
Vì A, B cùng phía với mp(P) nên max = AB 
Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía với mp(P).
	Khi đó AB vẫn đúng nhưng không có dấu đẳng thức.
Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B cùng phía với mp(P) và MA’ = MA
 nên= A’B max= A’B 
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; -1; 2); B(-2; 1; 0); C(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y -z +3 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
MA + MB có giá trị nhỏ nhất
 có giá trị lớn nhất
MA + MC có giá trị nhỏ nhất
 có giá trị lớn nhất.
Giải:
	Đặt f(x;y;x) = 2x - y -z +3; 
	f(xA;yA;xA) = 4 > 0 ; f(xB;yB;xB) = -2 0 
	Các điểm A, C nằm cùng phía với mm (P); A, B nằm khác phía với mp (P)
a) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
	Ta có MA + MB AB và A, B nằm khác phía với mp (P) 
	nên min(MA + MA) = AB 
b) có giá trị lớn nhất
	Ta có AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)
	nên max() = AC 
MA + MC có giá trị nhỏ nhất
Ta có MA + MC AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)
Gọi H(x;y;z) = hc(P)A ; (d) là đường thẳng đi qua A vả vuông góc với mp(P)
Ta có: MA + MC = MA’ + MC A’C vì A, C nằm cùng phía với mp (P) nên A’, C khác phía với mp(P). nên min(MA + MC) = A’C.
	d) có giá trị lớn nhất
, vì A,B ở khác phía với mp(P) nên A’, B ở cùng
phía
Dạng 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm: A, B, A1, A2, A3,, An.và đường thẳng 
1)Xét Trong đó . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho nhỏ nhất.
2)Xét biểu thức: . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) để 
 a)T có giá trị nhỏ nhất biết: > 0
b)T có giá trị lớn nhất biết: < 0
3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d)để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất(AB, (d) chéo nhau)
PP:
Vì điểm . Tính , T, diện tích tam giác MAB ta được một biểu thức theo t, bài toán đưa về tình GTNN, GTLN của một biểu thức theo t.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho các điểm: A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng 
. Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho
a) nhỏ nhất 
b) T = MA2 + MB2 nhỏ nhất 
c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.
 Giải:
Dạng 5: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) và đường thẳng . Tìm điểm M trên (d) sao cho 
MA + MB nhỏ nhất.
lớn nhất 
PP:
VD1: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) và đường thẳng Tìm điểm M trên (d) Sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Giải:
VD2: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(-1; -1; 0); B(5; 2; -3) và đường thẳng Tìm điểm M trên (d) Sao cho lớn nhất.
Giải:
Dạng 6: Trong không gian với hệ Oxyz Cho hai điểm phân biệt A và B. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.
PP:
Gọi H là hình chiếu của A lên (P), 
khi đó tam giác ABH vuông tại H
 = AB 
Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B(1; 2; -1) và cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên mp(P) cần tìm, khi đó 
 = OB
Vậy mp(P) đi qua B(1; 2; -1) và nhận làm véc tơ pháp tuyến.
 mp(P) : 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = 0 
Dạng7: Trong không gian với hệ Oxyz cho điểm A(xA;yA;zA) và đường thẳng 
. 
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) lớn nhất.
b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất 
PP:
+ Gọi H là hình chiếu của A trên (d), 
	+ mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu của H lên (P))
	+ Ta có : HI AH = const HI lớn nhất khi A I. Khi đó (P) đi qua A và nhận làm véc tơ pháp tuyến 
 b) + Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P) 
	 	+ Ta có: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó d(A,(P)) max AK = AH KH
	 + Viết PT mp (P) đi qua H và nhận làm VTPT
VD: Trong không gian Oxyz cho A(10; 2; -1) và đường thẳng (d) có phương trình : 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) 
 lớn nhất
 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất 
Giải:
	a) + Gọi (Q) là mp đi qua A và vuông góc (d) 
 (Q): 2x + y + 3z - 19 = 0; H = hc(d)A 
	+ Mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu của H lên (P))
+ Ta có : HI AH = const d (d,(P)) lớn nhất HI lớn nhất A I. Khi đó (P) đi qua A và nhận làm véc tơ pháp tuyến. Ta có = (-7 ; -1 ; 5)
 (P) : -7( x -10) - ( y - 2) + 5( z + 1) = 0 
 7x + y - 5z – 77 = 0 
	b)Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P).
Ta có: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên).
Do đó max d(A,(P))= AH KH; mp (P) đi qua H và nhận = (-7 ; -1 ; 5)
 làm VTPT (P): 7x + y - 5z - 2 = 0
Dạng 8: Trong không gian với hệ Oxyz cho mp (Q); 2 đường thẳng (d) và (d’). Lập phương trình mp(P) chứa (d) sao cho
Góc giữa mp(P) và mp(Q) nhỏ nhất ((d) không vuông góc với mp(Q)).
Góc giữa mp(P) và (d’) lớn nhất ( (d) và (d’) chéo nhau)
PP:
a) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 ( ) chứa (d)
Lấy M M ta có một phương trình (1)
Vec tơ pháp tuyến của (P) : và véc tơ chỉ phương VTCP vuông góc với nhau ta có phương trình (2)
VTPT: H = cos ) = (3)
 H phương trình 2 ẩn
 Góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi H max .
b) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 () chứa (d)
Lấy M M ta có một phương trình (1)
Vec tơ pháp tuyến của (P) : và véc tơ chỉ phương VTCP vuông góc với nhau ta có phương trình (2)
VTCP (d’): K = sin ) = (3)
 H phương trình 2 ẩn
 Góc giữa (P) và (d’) lớn nhất nhất khi Kmax
VD: Trong không gian với hệ Oxyz cho 2 đường thẳng (d) ; 
(d’) và mp(Q): 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (d)
Tạo với mp(Q) một góc nhỏ nhất
Tạo với (d’) một góc lớn nhất
Giải: 
Gọi (P): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 0) chứa (d).
BBT
 x - 2 + 
f’(x) - 0 + 0 -
f(x) 
 0 
Dạng 9: Trong không gian với hệ Oxyz cho mp (P); điểm A (P), điểm B≠A, đường thẳng (d’) cắt (P). Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mp(P) và thỏa
(d) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
(d) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất ( (d’) không đi qua A)
(d) đi qua A và tạo với (d’) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
PP: 
 (d) nằm trong mp(P) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
b) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất
c) nằm trong mp(P) đi qua A và tạo với (d’) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
* Vì luôn tồn tại đường thẳng (d) đi qua A và tạo với đường thẳng (d’) một góc 900, nên 
VD: Trong không gian Oxyz cho (P): x + 2y – z – 1 = 0; điểm A(1; 0; 0)và 
B(0; 2; -3)
	a)Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm Avà d(B,(d)) lớn nhất, nhỏ nhất.
	b) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và cách (d’): một khoảng lớn nhất.
	c) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và tạo với đường thẳng 
	(d’): một góc lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
BBT t - -1 +
 f’(t) + 0 - 
 f(t) 14
 6 6
BBT t - +
 f’(t) + 0 -
 f(t) 
 0 0
BBT: t - +
 f’(t) - 0 +
 f(t) 
Dạng 10: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d1), (d2)và hai điểm A,B (A). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa
a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Khoảng cách giữa (d) và (d2) là lớn nhất 
(d) tạo với (d2) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
PP:
VD: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d1): , (d2): và hai điểm A0;-1;2), B(2;1;1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa
a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
b) Khoảng cách giữa (d) và (d2) là lớn nhất 
c)(d) tạo với (d2) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải:
BBT: t - +
 f’(t) + 0 -
 f(t) 
 + không tồn tại min f(t)
 +max f(t)=f()= VTCP=(0;;) (d):
BBT: t - +
 f’(t) + 0 - 0 + 
 f(t) 
max f(t)=f()==(-2;;) 
BBT: t +
 f’(t) + 0 - 0 +
 f(t) 
 + max f(t)=f()= 
 +min f(t)=f()=