Ôn tập môn Toán 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian

Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 1 
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 
Bài 1. Cho vectơ (1;2;3), (2;2; 1), (4;0; 4)u v w     . Tìm tọa độ vectơ x , biết: 
a) x u v  
b) 2x u v w   
c) 2 3x u w  
d) 2 3 0u v w x   
Bài 2. Cho vectơ (3;2; 5)u   . Tìm trong các vectơ sau đây, vectơ nào cùng phương với u ? 
a) ( 6; 4;10)a    b) (1;4; 2)b  
Bài 3. Tìm góc giữa các vectơ trong các trường hợp sau: 
a) (1;1;1)u  và (2;1; 1)v   b) 3 4u i j  và 2 3v j k   
Bài 4. Tính tích hữu hướng ,u v   , biết: 
a) (0;1;2)u  và (3;0; 4)v   b) 4u i k  và 2v i j  
Bài 5. Tính , .u v w  
 biết: 
a) (0;1; 2)u   , ( 4;1; 3)v    , (1; 2;2)w  b) (4;1; 3)u   , (0;1;5)v  , (2; 3;1)w  
Bài 6. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ ; ;u v w trong mỗi trường hợp sau: 
a) (1; 1;1), (0;1;2), (4;2;3)u v w    b) (4;3;4), (2; 1;2), (1;2;1)u v w   
Bài 7. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm, biết: 
(1;2;3), (3;2;1), (2;5; 4), '( 2;1;0), '(4; 1;2), '(4;9; 2)A B C A B C    
Bài 8. 
a) Chứng minh 4 điểm (1; 1;1), (1;3;1), (4;3;1), (4; 1;1)A B C D  là các đỉnh của hình chữ nhật. Tính độ 
dài các đường chéo, xác định tâm của hình chữ nhật đó. 
b) Tính Côsin của góc giữa hai vectơ AC và BD . 
Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)A B C . 
a) Chứng minh A, B, C lập thành một tam giác. 
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. 
c) Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành. 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 2 
d) Tính độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC. 
e) Tính góc A của tam giác ABC. 
f) Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC. 
g) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm (1;1;0), (0;2;1), (1;0;2), (1;1;1)A B C D . 
a) Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD. 
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD. 
c) Tính diện tích tam giác BCD. 
d) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của khối tứ diện. 
e) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. 
Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm (5;3; 1), (2;3; 4), (1;2;0), (3;1; 2)A B C D   . 
a) Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng. 
b) Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau. 
c) Chứng minh hình chóp D.ABC là hình chóp đều. 
d) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của hình chóp D.ABC. 
Bài 12. Cho tứ diện ABCD có: (2;1; 3), (3;0;1), (2; 1;3)A B C  và D thuộc Oy. Tìm D trong các trường 
hợp sau: 
a) 5ABCDV  b) 2 5DA DB  c) 2 5 6 6DA DB DC  
Bài 13. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm (1;2; 1), (2; 1;3), ( 4;7;5)A B C   . 
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. 
b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác vẽ từ đỉnh B. 
Bài 14. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm (2; 1;6), ( 3; 1; 4), (5; 1;0), (1;2;1)A B C D     . 
a) Chứng minh tam ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. 
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. 
Bài 15. Cho 3 điểm ( 1;6;6), (3; 6;2), (1;3; 2)A B C   . 
a) Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA +MB ngắn nhất. 
b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) sao cho NA NC dài nhất. 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 3 
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: 
Bài 16. Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu hay không? 
a) 
2 2 2 2 6 8 1 0x y z x y z       
b) 
2 2 2 2 1 0x y z x y      
Bài 17. Cho phương trình 
2 2 2 24 4 2 4 0x y z mx y mz m m        . Tìm m để nó là phương trình mặt 
cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất. 
Bài 18. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: 
a) Tâm (1;0; 1)I  , đường kính bằng 8. 
b) Đường kính AB với A(-1;2;1), B(0;2;3). 
c) Tâm (3; 2;4)I  và đi qua A(7;2;1). 
d) Đi qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trên mp (Oyz). 
e) Tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc mp (Oxy). 
f) Tâm O tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3;-2;4) và bán kính 1. 
g) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. 
Bài 19. Viết phương trình mặt cầu: 
a) 1( )S ngoại tiếp tứ diện OABC, với (1;1;0),B(0;2;0),C(0;0;2),O(0;0;0)A . 
b) 2( )S có tâm I(-3;2;2) và tiếp xúc với mặt cầu 
2 2 2( ) : 2 4 8 5 0S x y z x y z       . 
 LUYỆN TẬP: 
Bài 20. Trong không gian Oxyz, cho điểm (0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)A B C    và mặt cầu (S) có phương trình: 
2 2 2 2 2 2 0x y z x z      . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn 
nhất. 
Bài 21. Cho bốn điểm (2;0;0), (2;4;0), (0;0;6), (2;4;6)A B C D . Tìm tập hợp những điểm M trong không gian 
sao cho: 4MA MB MC MD    . 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 4 
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: 
Bài 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   qua (1; 3; 2)M   và có VTPT lần lượt là: 
a) (1;3;5)n  b) (5; 3;0)n  
Bài 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   có VTPT ( 1;3; 4)n    và qua điểm M có tọa độ 
a) (1; 3; 2)M   b) (0;5; 4)M  c) ( 4; 3;6)M  
Bài 3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   có ( 4; 3;0)M   và vuông góc với BC với 
a) (0; 3; 2), (2;3;0)B C  b) ( 3;5; 2), (0; 3;0)B C  
Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng   qua M và nhận ;a b làm cặp VTCP trong các trường hợp sau: 
a) (0;1;3), (1;2;3), ( 1;0;3)M a b   b) ( 2;1;3), (0;2; 3), ( 1;0;6)M a b    
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C trong các trường hợp sau: 
a) (0;0;5), (0; 2;0), ( 3;0;0)A B C  
b) (0;0; 6), (0;4;0), ( 5;0;0)A B C  
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua: 
a) 0 (1;3; 2)M  và vuông góc với Ox b) 0 (1;3; 2)M  và vuông góc với Oy 
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết: 
a) (1;3; 2), (0; 1;3)A B  b) (1; 3;0), (0;6; 5)A B 
Bài 8. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng (P): 
a) Đi qua 3 điểm ( 1;2;3), (2; 4;3), (4;5;6)A B C  . 
b) Đi qua điểm ( 1;2;3)M  và vuông góc Oy. 
c) Đi qua (1;3; 2)M  và vuông góc với đường thẳng BC với B(0;2;-3), C(1;-4;1). 
d) Đi qua điểm (1;3; 2)M  và song song với mặt phẳng (P): 2 3 4 0x y z    . 
e) Đi qua điểm (3;1; 1), B(2; 1;4)A   và vuông góc với mp (P): 2 3 4 0x y z    . 
f) Đi qua điểm (2; 1;2)M  , song song với trục Oz vuông góc với mp (P): 2 3 4 0x y z    . 
g) Đi qua ( 2;3;1)M  và vuông góc với hai mp (P): 2 2 5 0x y z    và mp (Q): 3 2 3 0x x z    . 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 5 
Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm là hình chiếu của điểm M(-2;3;5) lên các trục tọa độ. 
Bài 10. Cho ( 1;2;3), (2; 4;3), (4;5;6), (3;2;1)A B C D  . 
a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc BC. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện. 
c) Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song với mặt phẳng (ABC). 
d) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song CD. 
e) Viết phương trình mặt phẳng BC và song song AD. 
f) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 3y 5z 1 0     . 
g) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp(Oxy). 
Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng qua (1;2;3)A và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P 
sao cho: 
a) Thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất. b) (OM + ON + OP) nhỏ nhất. 
 LUYỆN TẬP: 
Bài 12. Tìm a để bốn điểm (1;2;1), (2; ;0), (4; 2;5), (6;6;6)A B a C D thuộc cùng một mặt phẳng. 
Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy lập phương trình các mặt phẳng. 
a) Qua ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c . 
b) Qua (4;7;10)A và định trên ba trục tọa độ các đoạn bằng nhau. 
Bài 14. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: 
a) Đi qua điểm (1;2;3)G và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam 
giác ABC. 
b) Đi qua điểm (2;1;1)H và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam 
giác ABC. 
Bài 15. Cho hai điểm (0;0; 3), (2;0; 1)A B  và mp (P): 3 8 7 1 0x y z    . 
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng với mp(P). 
b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều. 
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG: 
Bài 16. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 
a) ( ) : 2 5 1 0x y z     và ( ) : 3 3 2 0x y z     
b) ( ) : 3 2 3 0x y z     và ( ) : 6 2 4 3 0x y z     
c) ( ) : 3 2 0x y z     và ( ) : 2 2 6 4 0x y z     
Bài 17. Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song mp(P) trong các trường hợp sau: 
a) (0;0;5), ( ) : 2 3 1 0A P x y z    b) ( 1;0; 3), ( ) : 2 1 0A P x y    
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 6 
Bài 18. Định m để ( ) : ( 1) 3 1 0x m y z      song song với ( ) : 2 3 5 0x y z     . 
Bài 19. Định m để ( ) : ( 2) 4 1 0x m y z      vuông góc với ( ) : 3 2 1 0x y z     . 
Bài 20. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z    và ( ) : 3 2 0Q x y z    . 
a) Chứng minh (P) và (Q) không song song. 
b) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời qua điểm (1;2;1)M . 
c) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời song song với Ox. 
d) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời song song với Oz. 
e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng 
( ) : 2 2 3 3 0x y z      . 
III. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: 
Bài 21. Tính góc giữa hai mặt phẳng trong các trường hợp sau: 
a) 1 0x y z    và 2 1 0x y z     b) 3 4 5 1 0x y z    và 0x  
Bài 22. 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mp(Q): 2 5 0x y z   một góc 060 . 
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (3;0;0), (0;0;1)A C và tạo với (Oxy) góc 060 . 
Bài 23. Cho (7;9;1), ( 2; 3;2), (1;5;5), ( 6;2;5)A B C D   . 
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
b) Tính cosin của góc hợp bởi mặt phẳng (BGI) và các mặt phẳng tọa độ cho biết G là trọng tâm của 
tứ diện ABCD và I là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ diện. 
IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG: 
Bài 24. Tìm khoảng cách từ điểm M đến mp (P) trong các trường hợp sau: 
a) (1;1;2), ( ) : 1 0M P x y z    
b) ( 1;10;2), ( ) : 1 0M P x y z     
c) (0;1; 12), ( ) : 2 1 0M P x y z     
d) (1;0; 10), ( ) : 2 1 0M P x y z     
Bài 25. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng trong các trường hợp sau: 
a) 1( ) : 2 4 5 0x y z     và 2( ) : 3 5 1 0x y z     . 
b) 1( ) : 2 2 1 0x y z     và 2( ) : 6 3 2 2 0x y z     
Bài 26. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) : 2 4 1 0P x y z    và (Q) : 4 2 8 5 0x y z    
Bài 27. Tìm điểm M trên Oz trong các trường hợp sau: 
a) M cách đều điểm (2;3;4)A và mặt phẳng ( ) : 2 3 17 0P x y z    . 
b) M cách đều hai mặt phẳng ( ) : x y z 1 0     và ( ) : x y z 5 0     . 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 7 
Bài 28. Cho 4 điểm (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), ( 2;1; 2)A B C D   . 
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 
b) Chứng minh ABCD là một tứ diện. 
c) Tính khoảng cách từ A đến (BCD) và thể tích của tứ diện ABCD. 
Bài 29. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 5 0x y z     và điểm M (1; 0; 5). Lập phương 
trình mặt phẳng (P) đối xứng với ( ) qua M. 
Bài 30. Cho (1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)A B C D  . Viết phương trình mặt ( ) qua A, B và khoảng cách 
từ C đến ( ) bằng khoảng cách từ D đến ( ) . 
 LUYỆN TẬP: 
Bài 31. Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(4;-1;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt 
tại A, B, C sao cho OA = 2OB = 3OC. 
Bài 32. Viết phương trình mặt phẳng song song với ( ) : 4 x 3y 12z 1 0     và tiếp xúc với mặt cầu có 
phương trình 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z       . 
Bài 33. 
a) Cho mặt cầu 2 2 2( ) : 6 2 4 5 0S x y z x y z       và điểm (4;3;0)M . Viết phương trình mặt phẳng 
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M. 
b) Viết phương trình mặt cầu tâm ( 2;1;1)I  và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 2 5 0x y z     . 
c) Cho 4 điểm (3; 2; 2), (3;2;0), (0;2;1), ( 1;1;2)A B C D   . Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc 
với mặt phẳng (BCD). 
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)A B C và có tâm nằm trên mặt phẳng 
( ) : x y z 3 0     . 
V. TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC: 
Bài 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (1;2;3)A và (3;4;1)B . Tìm tọa độ điểm M 
thuộc mặt phẳng ( ) : 1 0P x y z    để tam giác MAB là tam giác đều. 
Bài 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3;5;4)A và (3;1;4)B . Tìm tọa độ điểm C 
thuộc mặt phẳng ( ) : 1 0P x y z    sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 . 
Bài 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0; 2;1)A  và (2;0;3)B . Và mặt phẳng 
( ) : 2 4 0P x y z    . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB và mặt phẳng ( ) ( )ABM P . 
Bài 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( 1;0;1)A  , (1;2; 1)B  , ( 1;2;3)C  . Tìm tọa độ 
tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 8 
ÔN TẬP HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Bài 1. Cho ba điểm A; B; C biết (2; 1;3);B(4;0;1);C( 10;5;3)A   . 
a) Chứng minh ABC tạo thành tam giác. 
b) Hãy tìm độ dài đường phân giác trong; độ dài đường cao kẻ từ B. 
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
d) Tìm m và n để điểm (2 1;2; 2)M m n  thẳng hàng với A và C. 
e) Tìm độ dài đường phân giác ngoài của góc C của tam giác ABC. 
Bài 2. Cho (1; 1;1), (2; 3;2), (4; 2;2), (3;0;1)A B C D   . 
a) Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của nó. 
b) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm A; B. 
Bài 3. Cho (2;5;3), (3;7;4), ( ; ;6)A B C x y . 
a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng. 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với với mặt phẳng yOz. 
c) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho MA + MB nhỏ nhất. 
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 3 (đvtt), đáy ABC với (1;0;1),B(2;0;0),C(0;1;0)A 
a) Chứng minh tam giác ABC vuông. 
b) Tìm tọa độ A’. 
Bài 5. Cho (1; ;2), ( 1;2;1), (0;m 2;2)a m b m c     . Tìm m để ; ;a b c đồng phẳng. 
Bài 6. Cho (2;3;1), (5;7;0), (3; 2;4)a b c    
a) Chứng minh ; ;a b c không đồng phẳng. 
b) Phân tích vectơ (4;12; 3)d   theo ; ;a b c . 
Bài 7 . Cho (5;7; 2), (3;1; 1), (9;4; 4), (1;5;0)A B C D   . 
a) Chứng minh ABCD nằm trong một mặt phẳng. 
b) Tìm giao điểm I của AC và BD. 
Bài 8. Tìm x biết (4; 2; 3); (0;1;3); 26x a x b x       và hợp với Oy một góc tù. 
Bài 9. Trong không gian Oxyz cho (1;2;0), (5;3; 1),C(2;3; 4)A B   và (4;0; 3)D  . Tìm tọa độ điểm M nằm 
trên trục Ox, biết rằng 24MA MB MC MD    . 
Bài 10. Trong không gian Oxyz cho (1; 3; 1), ( 2;3; 4)A B    và ( 3;2;0)C  . Tìm tọa độ điểm M thuộc 
(Oxz) sao cho 2 3MA MB MC  ngắn nhất. 
Bài 11. Trong không gian Oxyz cho ( 2;3; 4), ( 1;6;0), (5; 3;1)A B C    và (4; 3;7)D  . 
a) Tìm tọa độ điểm N nằm trên (Oxz) sao cho .NA NB nhỏ nhất. 
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz sao cho 9MA MB MC MD    . 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 9 
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 
Định lý: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và nhận 1 2 3( ; ; )a a a a 
làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm ( ; ; )M x y z nằm trên  là có một số thực t sao cho: 
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
 

 
  
Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có vectơ chỉ 
phương 1 2 3( ; ; )a a a a là phương trình có dạng: 
0 1
0 2
0 3
, ( )
x x ta
y y ta t R
z z ta
 

  
  
. 
 Chú ý: Nếu 1 2 3; ;a a a đều khác 0 thì phương trình  có thể viết dưới dạng chính tắc: 
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
  
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm 0 (1; 3; 2)M   và có vectơ chỉ 
phương là (2; 3;0)a   . 
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua hai điểm A, B với (0; 2;2)A  , (3; 4;2)B 
. 
Ví dụ 3: Hãy tìm tọa độ một vectơ chỉ phương và các điểm M, N, P phân biệt nằm trên đường thẳng  
có phương trình tham số  : 
1 2
3 3 ( )
5 4
x t
y t t R
z t
  

  
  
. 
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU: 
Cho hai đường thẳng d: 
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
 

 
  
 và d’: 
0 1
0 2
0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x x t a
y y t a
z z t a
 

 
  
Đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương a , đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương 'a 
 d // d’ 
0 0 0
'
( ; ; ) '
a ka
M x y z d
 
 

 
0 0 0
'
'
( ; ; ) '
a ka
d d
M x y z d
 
  

Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 10 
 d cắt d’ 
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
  

   
   
 có đúng 1 nghiệm. 
 d chéo d’ 
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
  

   
   
 vô nghiệm. 
 d vuông góc d’ 'a a  
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau đây: 
a) 
1
: 2
3
x t
d y t
z t
 


  
 và 
2 2 '
' : 3 4 '
5 2 '
x t
d y t
z t
 

 
  
b) 
3
: 4
5 2
x t
d y t
z t
 

 
  
 và 
2 3 '
' : 5 3 '
3 6 '
x t
d y t
z t
 

 
  
c) 
1
: 2 3
3
x t
d y t
z t
 

 
  
 và 
2 2 '
' : 2 '
1 3 '
x t
d y t
z t
 

  
  
d) 
1 2
: 1 3
5
x t
d y t
z t
 

  
  
 và 
1 3 '
' : 2 2 '
1 2 '
x t
d y t
z t
 

  
   
Ví dụ 2: Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc: 
5
: 3 2
4
x t
d y t
z t
 

  
 
 và 
9 2 '
' : 13 3 '
1 '
x t
d y t
z t
 

 
  
 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
Cho đường thẳng d: 
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
 

 
  
 và mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D     
Xét: 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( ) 0A x ta B y ta C z ta D       (t là ẩn) (*) 
 d cắt ( )  (*) có nghiệm duy nhất. 
 d // ( )  (*) vô nghiệm. 
 d ( )  (*) có vô số nghiệm. 
Ví dụ 3: Tìm số điểm chung của mp ( ) : 3 0x y z     với đường thẳng d trong các đường thẳng sau: 
a) 
2
: 3
1
x t
d y t
z
 

 
 
 b) 
1 2
: 1
1
x t
d y t
z t
 

 
  
 c) 
1 5
: 1 4
1 3
x t
d y t
z t
 

 
  
 Đặc biệt: ( )d  khi và chỉ khi vectơ chỉ phương du của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp 
tuyến ( )n  của mp ( ) . 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 11 
Ví dụ 4: Chứng minh đường thẳng d: 2 2
3 3
x t
y t
z t


 
  
 vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 4 6 9 0x y z     . 
BÀI TẬP: 
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng 
a) Đi qua điểm (1;2; 3), ( 1;3;5)M a   là VTCP. 
b) Đi qua hai điểm A, B cho trước, với (2;3; 1), (1;2;4)A B . 
c) Đi qua A(3;2;-4) và song song với trục Ox 
d) Đi qua (2; 5;3)A  và song song  qua (5;3;2), (2;1; 2)M N  . 
e) Đi qua A(2;-5;3) và song song 
2 3
: 3 4
5 2
x t
y t
z t
 

  
  
f) Đi qua A(4;-2;2) và song song 
2 5 2
:
4 2 3
x y z  
   . 
Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho 
trước: 
a) ( 2;4;3), ( ) : 2 3 6 19 0A P x y z     
b) (1; 1;0)A  , (P): các mặt phẳng tọa độ. 
c) (3;2;1)A , ( ) : 2 5 4 0P x y   . 
Bài 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: 
a) 
( ) : 6 2 2 3 0
( ) :3 5 2 1 0
P x y z
Q x y z
   

   
 b) 
( ) : 2 3 3 4 0
( ) : 2 3 0
P x y z
Q x y z
   

   
Bài 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng 
1 2,d d cho trước: 
a) 1 2
1 2 1
(1;0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
    
 
    
     
b) 1 2
1 1 3
(2; 1;1), : 2 , : 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
    
 
       
    
c) 1 2
1 1
(1; 2;3), : 2 2 , : 2
3 3 3
x t x
A d y t d y t
z t z t
   
 
       
     
Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng  cho 
trước: (1;2; 2), : 1
2
x t
A y t
z t


   
 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 12 
Bài 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng 1 2,d d cho trước:
1 2
1 2 1
(1;0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
    
 
    
     
Bài 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng 
1 2,d d cho trước: 2
1
2( ) : 2 0
, : 4 21
:
11 1 4
x tP y z
d y tx y z
d
z
  
 
  
     
Bài 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng  và cắt cà hai đường 
thẳng 1 2,d d cho trước: 
 1
2
1 1
:
2 1 2
1 1
:
1 2 1
2 1 3
:
3 2 1
x y z
x x z
d
x y z
d
 
   

 
 

  
 

Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 
1 2,d d cho trước: 1 2
3 2 2 3
: 1 4 , : 4
2 4 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
    
 
    
      
Bài 10: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng 1d và 
cắt 2d cho trước: 1 2
1
1 2
(0;1;1), : , :
3 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
 
  
  
  
Bài 11. Cho bốn điểm (1;2; 1), (3;4; 1), (1;4;1),C(3;2;1)S A B  . 
a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp. 
b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. 
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC. 
Bài 12. Cho điểm A(1;2;3), B(-2;1;0), mặt phẳng (P): 2 3 4 0x y z    , ( ) : 2 10 0Q x y z    , đường 
thẳng (d): 
1 1
2 1 1
x y z 
  
a) Tìm tọa độ điểm M trên (P) sao cho MA + MB bé nhất. 
b) Tìm tọa độ điểm N trên (Q) sao cho NA + NB bé nhất. 
c) Tìm tọa độ điểm K trên (d) sao cho KA + KB bé nhất. 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 13 
 Một số bài toán cơ bản khác: 
Bài toán 1: Hình chiếu của điểm M trên mp ( ) : 
  Bước 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và vuông góc mp ( ) . 
  Bước 2: Xác định giao điểm M’ của  với mp ( ) . M’ là hình chiếu cần tìm. 
Ví dụ: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; -2) trên mp ( ) có phương trình: 
2 2 11 0x y z    . 
Bài toán 2: Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tâm I bán kính R: 
  Bước 1: Tìm hình chiếu của I trên mp (P). 
  Bước 2: Tính IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). 
  Bước 3: Giao tuyến cần tìm là đường tròn (C) tâm H và bán kính 2 2r R OH  . 
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2( 3) ( 2) ( 1) 100x y z      và mặt phẳng ( ) có phương 
trình: 2 2 9 0x y z    . Chứng minh: mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác 
định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C). 
Bài toán 3: Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp ( ) : 
  Bước 1: Tìm hình chiếu I của điểm M trên mp ( ) . 
  Bước 2: Tìm điểm M’ sao cho I là trung điểm M và M’. M’ là điểm đối xứng cần tìm. 
Ví dụ: Cho điểm M(2; -1; 0) và mặt phẳng ( ) : 3 2 2 0x y z    . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M 
qua mp ( ) . 
Bài toán 4: Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng  : 
  Bước 1: Viết phương trình mp ( ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  . 
  Bước 2: Xác định giao điểm I của ( ) và  (I là hình chiếu của M trên  ). 
  Bước 3: Tìm điểm M’ sao cho I là trung điểm M và M’. Đó là điểm đối xứng cần tìm. 
Ví dụ: Cho điểm A(1; 2; -5) và đường thẳng  : 
2 2
1
2
x t
y t
z t
 

  
 
. 
a) Tìm hình chiếu của A trên  . 
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua  . 
c) Tính khoảng cách từ A đến  
Bài toán 5: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và ' : 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 14 
  Bước 1: Viết phương trình mp ( ) chứa ' và song song với đường thẳng  . 
  Bước 2: Tìm điểm A trên  . 
  Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến ( ) . 
Ví dụ: Cho hai đường thẳng  : 
1 2
1 2 3
x y z 
 

 và ' : 
'
3 2 '
1
x t
y t
z


 
 
. Tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng  và ' . 
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d qua A và có vectơ chỉ phương 
1 2 3( ; ; )a a a a và d’ qua B và có vectơ chỉ phương 1 2 3(b ;b ;b )b  : 
 ; '
, .
,
d d
a b AB
d
a b
 
 

 
 
Giải lại ví dụ vừa rồi với công thức khoảng cách nêu trên. 
Bài toán 6: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: 
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường 
thẳng đến mặt phẳng. 
Ví dụ: cho mp (Q): 3 2 5 0x y z    và đường thẳng 
3 1 2
:
2 1 4
x y z  
   . 
a) Hãy chứng tỏ  và mp (Q). 
b) Tính khoảng cách giữa  và mp (Q). 
Bài toán 7: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến 
mặt phẳng kia. 
Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: ( ) : 2 2 11 0x y z     và ( ) : 2 2 2 0x y z     
Bài toán 8: Phương trình đường cao tam giác trong không gian: 
Đường cao AH của ABC đi qua A vuông góc với giá của hai vectơ ,n AB AC    và CB . 
Ví dụ: Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC biết (1;0;6), (0;2; 1),C(1;4;0)A B  . 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 15 
BÀI 4: ÔN TẬP CHƯƠNG III 
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-2; 1; 2), B(0; 4; 1), C(5; 1; -5), D(-2; 8; -5) và đường thẳng 
5 11 9
:
3 5 4
x y z
d
  
 

. 
a) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. 
b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
d) Tìm tọa độ các điểm M, N của đường thẳng d với mặt cầu (S). 
e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N. Tìm góc tạo bởi 2 mặt phẳng đó. 
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xét hai điểm M trên AD’ và N trên DB sao cho 
AM = DN = k ( 0 2k a  ). Gọi P là trung điểm của B’C’. 
a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AP và BC’. 
b) Tính thể tích khối tứ diện APBC’. 
c) Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A’D’BC) khi k thay đổi. 
d) Tìm k để đoạn MN ngắn nhất. 
e) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng 
thời MN song song A’C. 
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm (4; 1;2), (1;2;2), (1; 1;5)A B C  . 
a) Chứng minh ABC là tam giác đều. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt 
phẳng tọa độ. 
c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
d) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ diện ABCD là tứ diện đều. 
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1; -3; -1), B(-2; 1; 3). 
a) Chứng tỏ A, B cách đều trục Oz. 
b) Tìm C trên trục Oz để tam giác ABC vuông tại C. 
c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp (Oyz). 
d) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp (Oyz). 
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
a) Chứng minh rằng đường chéo A’C vuông góc với mặt phẳng (BDC’). 
b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mặt phẳng (BDC’) là trọng tâm của tam giác 
BDC’. 
c) Chứng minh rằng mp(AB’D’) song song với mp(C’BD). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
đó. 
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và C’D. 
Hình Học 12 Chương 3. Tọa Độ Trong Không Gian 
Gv: Lê Thái Dương Trang 16 
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu (S): 2 2 2 10 2 26 170 0x y z x y z       và 
song song với hai đường thẳng 
5 2
: 1 3
13 2
x t
d y t
z t
  

 
   
 và 
7 3 '
' : 1 2 '
8
x t
d y t
z
  

  
 
. 
Bài 7: Cho hai đường thẳng : 4
3
x t
d y t
z t


  
  
 và 
1 2 '
' : 3 '
4 5 '
x t
d y t
z t
 

  
  
. Viết phương trình đường thẳng  vuông 
góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và cắt cả hai đường thẳng d, d’.