Ôn tập môn Hình học lớp 10 - Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
1 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
MỤC LỤC 
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 2 
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 
4. Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................... 2 
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 2 
6. Dự kiến đóng góp của đề tài ......................................................................... 3 
CHƢƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................ 4 
1. Phƣơng trình đƣờng thẳng............................................................................. 4 
2. Khoảng cách và góc ...................................................................................... 5 
3. Các dạng bài tập ............................................................................................ 7 
CHƢƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN .............................................. 13 
1. Điểm và đƣờng thẳng .............................................................................. 13 
2. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tam giác .......................................... 19 
3. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tứ giác ............................................. 37 
CHƢƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC 
NHAU ................................................................................................................. 54 
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 64 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 64 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
2 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
MỞ ĐẦU 
 1. Lý do chọn đề tài 
 Đƣờng thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toán 
THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG. 
 Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài 
“phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng”. 
 Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng 
ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập. 
2. Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm đƣợc các dạng toán này, 
tránh những sai lầm dễ mắc phải. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 
Đƣa ra đƣợc những dạng bài tập về đƣờng thẳng trong mặt phẳng. 
4. Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu 
 Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG. 
 Đối tƣợng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG. 
 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 
- Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT trong nhiều năm và 
kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mới CT - SGK vừa qua. 
- Phƣơng pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài. 
- Phƣơng pháp thử nghiệm. 
- Phƣơng pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng. 
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận. 
- Phƣơng pháp khảo sát, thống kê. 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
3 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
6. Dự kiến đóng góp của đề tài 
 Trình bày một cách hệ thống các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng trong 
mặt phẳng. 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
4 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
CHƢƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Phƣơng trình đƣờng thẳng 
1.1. Phƣơng trình tổng quát của một đƣờng thẳng 
 Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng có dạng 0ax by c 
2 2 0 a b với   ;n a b là véc tơ pháp tuyến. 
 Nhận xét: Nếu  n là một véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng thì .  k n cũng là 
một véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng . 
1.2. Phƣơng trình tham số của một đƣờng thẳng 
 Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng đi qua điểm 
0 0
;M x y và có véc tơ 
chỉ phƣơng 
1 2
  ;u a a là: 0 1
0 2
x x a t
y y a t
 ( 2 2
1 2
0a a , t là tham số) 
 Nhận xét: Nếu  u là một véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng thì .  k u cũng 
là một véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng . 
1.3. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng 
Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng đi qua điểm 
0 0
;M x y và có véc tơ 
chỉ phƣơng 
1 2
  ;u a a là: 0 0
1 2
1 2
,  . 0
x x y y
a a
a a
1.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn 
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ;0     0; ,   , 0A a vàB b a b là: 
1
x y
a b
đƣợc gọi là phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn. 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
5 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Chú ý: Nếu có hai điểm     ,   ,; ; 0
A A B B B A B A
A x y và B x y x x y y thì ta có 
phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm    ; ;
A A B B
A x y và B x y là: 
A A
B A B A
x x y y
x x y y
2. Khoảng cách và góc 
2.1. Khoảng cách 
 Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 0ax by c và điểm 
0 0
;M x y . 
Khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng đƣợc tính bởi công thức: 
0 0
2 2
,  
ax by c
d M
a b
 Cho đƣờng thẳng cắt nhau và có phƣơng trình: 0ax by c và 
0a x b y c . 
Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc giữa hai đƣờng thẳng và là: 
2 2 2 2
ax by c a x b y c
a b a b
Chú ý: Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 0ax by c và hai điểm 
,; ;
M M N N
M x y N x y không nằm trên . Khi đó: 
+) Hai điểm M, N nằm cùng phía với khi và chỉ khi 
0
M M N N
ax by c ax by c 
+) Hai điểm , M N nằm khác phía với khi và chỉ khi 
0
M M N N
ax by c ax by c 
2.2. Góc 
Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 0ax by c và đƣờng thẳng có 
phƣơng trình: 0a x b y c . 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
6 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Gọi là góc giữa hai đƣờng thẳng và ta có: 
2 2 2 2
.
aa bb
Cos
a b a b
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
7 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
3. Các dạng bài tập 
Chú ý: 
 Các điểm đặc biệt trong tam giác 
Cho tam giác ABC, khi đó: 
+) Trọng tâm G( ; )
3 3
A B C A B C
x x x y y y
+) Trực tâm H: 
. 0
. 0
AH BC
BH AC
+) Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp I: 
2 2
2 2
IA IB
IA IC
 Các đƣờng đặc biệt trong tam giác: 
+) Đƣờng trung tuyến của tam giác: Khi gặp đƣờng trung tuyến của tam giác, ta 
chủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. 
+) Đƣờng cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với 
cạnh đối diện. 
+) Đƣờng trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và 
vuông góc với cạnh đó. 
+) Đƣờng phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB, 
M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC. 
 Một số bài toán cơ bản: 
Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đƣờng cao không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố 
còn lại. 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
8 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Cách giải: - Viết phƣơng trình cạnh AB qua A và vuông góc với .CK 
 - Viết phƣơng trình cạnh AC qua A và vuông góc với .BH 
H
K
A (a,b)
B C
Bài toán 2: Cho một đỉnh và hai đƣờng trung tuyến không qua đỉnh đó. Tìm các 
yếu tố còn lại. 
Cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm 
tìm tọa độ điểm C , thay tọa độ C vào phƣơng trình CN tìm tham số và điểm 
C . 
 - Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, theo công thức trung điểm 
tìm tọa độ điểm B , thay tọa độ B vào phƣơng trình BM tìm tham số và điểm 
B . 
MN
A(a,b)
B C
Bài toán 3: Cho một đỉnh và hai đƣờng phân giác trong không qua đỉnh đó. Tìm 
các yếu tố còn lại. 
Cách giải: - Gọi 'A và ''A là hai điểm đối xứng của A qua đƣờng phân giác 
'BB và 'CC ( 'A và ''A thuộc cạnh BC ). 
 - Viết phƣơng trình cạnh BC , tìm tọa độ điểm B và .C 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
9 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
:ax+by+c=0
B xB;yB A xA;yA 
M
A
B
C
A''
A'
Bài toán 4: Cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trƣớc. Tìm 
các yếu tố còn lại. 
Cách giải: - Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm tọa độ của điểm chia 
đoạn thẳng theo tỉ số k  
Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng 
2 2: 0 0ax by c a b . và hai điểm ;y , ;
A A B B
A x B x y không 
thuộc . Xác định điểm M trên đƣờng thẳng , biết đƣờng thẳng AM 
vuông góc với đƣờng thẳng AB . 
Cách giải: 
- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AM qua A và vuông góc với đƣờng thẳng 
AB. 
- Xác định tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng AM và đƣờng thẳng . 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
10 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 

C xC;yC 
:ax+by+c=0A
B
M1
A
M2
B
A
M
 Bài toán 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng 
2 2: 0 0ax by c a b và điểm ;
C C
C x y không thuộc . Xác 
định tọa độ điểm A trên đƣờng thẳng , biết góc giữa hai đƣờng thẳng AC và 
 bằng . 
Cách giải: 
- Tham số hóa điểm A. 
- Sử dụng công thức 
.
cos
AC u
AC u
 ( u là véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng 
thẳng ). 
- Giải phƣơng trình ở bƣớc 2 và kết luận. 
Bài toán 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt 
;y , ;
A A B B
A x B x y . Xác định điểm M trên đƣờng thẳng AB, biết 
; ,k 0AM kBM k R . 
Cách giải: 
- Giả sử ;M x y 
- Xác định M trong hai trƣờng hợp: 
- Trƣờng hợp 1: AM kBM (điểm M nằm trong đoạn AB). 
- Trƣờng hợp 2: AM kBM (điểm M nằm ngoài đoạn AB). 
 Bài toán 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng 
2 2: 0 0ax by c a b và hai điểm ;y , ;
A A B B
A x B x y không 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
11 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
M
B
A
thuộc . Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho 
, , 0d M AB k k R k . 
Cách giải: 
- Tham số hóa điểm M. 
- Sử dụng công thức tính khoảng cách ,d M AB . 
- Giải phƣơng trình ở bƣớc 2 và kết luận. 
 Bài toán 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm 
;y , ;
A A B B
A x B x y . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm 
0 0
;M x y 
và thỏa mãn hệ thức , . , ; , 0d A k d B k R k . 
Cách giải: 
- Giả sử 2 2
0 0
: 0ax by ax by a b 
- Sử dụng hệ thức , . , *
a b
d A k d B
a b
- Chọn a, b đại diện và thỏa mãn * 
 Một số bài toán dựng hình cơ bản 
+) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đƣờng thẳng 
 Lập đƣờng thẳng d đi qua A và vuông góc với 
 H d 
+) Dựng A’ đối xứng với A qua đƣờng thẳng 
 Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
12 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
 Lấy A’ đối xứng với A qua H: '
'
2
2
A H A
A H A
x x x
y y y
+) Dựng đƣờng thẳng d’ đối xứng với d qua đƣờng thẳng 
 Lấy hai điểm M, N thuộc d. Dựng M’, N’ lần lƣợt đối xứng với M, N qua 
. Khi đó ' ' 'd M N 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
13 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
CHƢƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
1. Điểm và đƣờng thẳng 
A-Ví dụ 
Ví dụ 1: 
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I tạo với đƣờng thẳng 
0: 2 3 3 0   45d x y góc . 
Lời giải: 
 Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I có dạng: 
 2 22 3 0 , 0  .a x b y a b 
 Hay : 2 3 0ax by a b 
Mà góc tạo bởi 2 đƣờng thẳng d và bằng 045 suy ra: 
0
2 2
2 2
2
2 2
2 2
 2 3
45  
. 13
 2 32
2 . 13
2  2 3 13
  5 24 5 0
a b
Cos
a b
a b
a b
a b a b
a ab b
+ Chọn 0 0 b a ( loại) 
+ Chọn 2
5
1 5 24 5 0 1
5
a
b a a
a
Vậy PT đƣờng thẳng là:   5 13 0x y hoặc 5 13 0x y 
 Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng. 
 Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có 
thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và 
b. 
Ví dụ 2: 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
14 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I và cách đều 2 điểm 
(5; 1)A và (3;7).B 
Lời giải: 
 Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I có dạng: 
 2 22 3 0 ,    0 a x b y a b 
 Hay : 2 3 0ax by a b 
Mà ; ;d A d B 
2 2 2 2
 7 4  5 4
 7 4  5 4
4
  0
a b a b
a b a b
a b a b
a b
a
Vậy có 2 đƣờng thẳng là:4 5 0x y hoặc 3 0y 
 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là 
đường thẳng song song hoặc trùng với AB , đi qua trung điểm của AB . 
Ví dụ 3: 
Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 2 0x y . Viết phƣơng trình 
đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng và cách một khoảng bằng 2 . 
Lời giải: 
 PT đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng có dạng: 
0, 2x y m m 
Chọn điểm ( 2;0)M thuộc . Theo bài ra ta có: , 2d M hay 
 m 2 4
2 2 2
  02
m
m
m
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng là: 0 x y hoặc 4 0x y 
Ví dụ 4( Khối A-2006): 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
15 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đƣờng thẳng 
1 2 3
: 3 0, : 4 0  : 2 0.d x y d x y vàd x y Tìm tọa độ điểm M 
thuộc 
3
d sao cho khoảng cách từ M đến 
1
d bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 
2
.d 
Lời giải: 
Gọi 
3
2 ;M a a d 
Theo bài ra ta có 
1 2
, 2 ,d M d d M d 
 2a a 3  2a a 4
2.
2 2
 3a 3 2 a 4
11
  1
a
a
Vậy 22; 11M hoặc 2,1 .N 
Ví dụ 5( Khối B-2011): 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng : 4 0x y và 
: 2 2 0d x y . Tìm tọa độ điểm N thuộc đƣờng thẳng d sao cho đƣờng 
thẳng ON cắt đƣờng thẳng tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8. 
Lời giải: 
+) Gọi ;2 2     ; 4N a a dvàM b b 
+) Đƣờng thẳng ON cắt đƣờng thẳng tại điểm M nên O, M, N thẳng hàng hay 
4
  4 2 2
4 2 2 2
b ka a
OM kON a b a b b
b k a a
(1) 
+) Mà 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
16 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
.    8   4 2 2 64
5 8 4 4 2 5 10 8 5 6 0
0
5 6 0 6
5
OMON b b a a
a a a a a a a
a
a a
a
Vậy 0; 2  N hoặc 
6 2
;
5 5
N 
Ví dụ 6: 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M(1;2). Viết phƣơng trình đƣờng 
thẳng đi qua M cắt tia Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác AOB có diện tích nhỏ 
nhất. 
Lời giải: 
PT đƣờng thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), cắt Oy tại B(0;b): 
 1 , 0
x y
a b
a b
1 2
1,2 1M d
a b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
1 2 1 2
1 2 . 8ab
a b a b
Mà : 
. 8 21
4 4 1 2 42AOB AOB min
a b a
S ab S
b
a b
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d là: 1
2 4
x y
B-Bài tập 
Bài tập 1: Cho điểm 2; 1A . Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng 
:2 4 0d x y sao cho 2.AM 
ĐS: 
1 2
11 2
1; 2 , ; .
5 5
M M 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
17 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm 1; 1M lên đƣờng thẳng 
: 2 0.d x y 
ĐS: 2;0 .H 
Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M là đối xứng của 1;1M qua đƣờng thẳng 
: 2 0.d x y 
ĐS: 3; 3 .M 
Bài tập 4: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 1;3A và cách điểm 
2;1B một khoảng bẳng 3. 
ĐS: 
1 2
: 1 0; :5 12 41 0.x x y 
Bài tập 5: Viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong góc A của tam giác ABC 
biết 1;1 , 4;5 , 4; 11 .A B C 
ĐS: 4 7 11 0.x y 
Bài tập 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 3;1M cắt , Ox Oy lần lƣợt 
tại A và B sao cho: 
a) OA OB nhỏ nhất. 
b) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. 
c) 
2 2
1 1
OA OB
 nhỏ nhất. 
ĐS: a) 3 3 3 3 3 6x y , b) 3 6x y , c) 3 10.x y 
Bài tập 7: Cho đƣờng thẳng : 2 1 0d x y và hai điểm 1; 1 , 2;0 .A B 
Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng d sao cho: 
a) MA MB nhỏ nhất. 
b) MA MB lớn nhất. 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
18 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
ĐS: a) 
31 33
;
35 35
M , b) 5;3 .M 
Bài tập 8: ( Khối B-2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 1;1A và 
4; 3B Tìm điểm C thuộc đƣờng thẳng 2 1 0x y sao cho khoảng cách 
từ C đến AB bằng 6. 
ĐS: C(7;3) 
Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : 2 2 0d x y và 
điểm 1;1 .I Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cách điểm I một khoảng bằng 
10 và tạo với đƣờng thẳng d một góc bằng 045 . 
ĐS: 3 6 0,  3 14 0,   3 8 0,   3 12 0.x y x y x y x y 
Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1). Viết phƣơng trình 
đƣờng thẳng đi qua điểm M và cắt 2 đƣờng thẳng 
21
3 5 0, :: 4 0x y d x yd lần lƣợt tại hai điểm A, B sao cho 
2 3 0.MA MB 
ĐS: 0,  1 0x y x 
 Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho điểm 1;2 .M Viết phƣơng trình 
đƣờng thẳng đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B khác O sao cho 
2 2
9 4
OA OB
 nhỏ 
nhất. 
ĐS: 2 9 20 0x y 
Bài tập 12: Cho đƣờng thẳng : 2 0d x y và 2;1 , 1; 3 , 1;3 .A B C 
Tìm M thuộc d sao cho: 
a) MA MB lớn nhất. 
b) 2 2 2MA MB MC nhỏ nhất. 
c) MA MB MC nhỏ nhất. 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
19 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
2. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tam giác 
A- Ví dụ 
Ví dụ 1: 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 1; 2  ,   3;3 .A B Tìm tọa độ 
điểm C thuộc 2: 0x y sao cho tam giác ABC vuông tại C. 
 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc. 
Lời giải: 
Gọi ; 2  C c c ta có:   1; 4 ,      3; 1AC c c BC c c 
Mà tam giác ABC vuông tại C suy ra .  0AC BC 
1 3 4 1 0
1 2 7 0
7
2
  1
c c c c
c c
c
c
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán:
7 3
1;3  ,   ; .
2 2
C C 
Ví dụ 2: 
Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho 2;1 .A Tìm tọa độ điểm B trên 
: 2 2 0x y và điểm C trên :  2 2 0d x y sao cho tam giác ABC 
vuông cân tai A. 
 Nhận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau. 
Lời giải: 
Gọi 2 2 ;   , 2 2;  B b b C c c d , ta có 
 2 4; 1 ,      2 ; 1AC c c AB b b 
Theo bài ra tam giác ABC cân tại A nên: 
2 2
.  0AB AC
AB AC
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
20 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
2 2 2
2
2 2 4 1 1 0          1
4 1 2 4 1    2
b c b c
b b c c
Xét PT (1): 2 2 4 1 1 0b c b c 
 Nếu b = 0 thì c = 1 không thỏa mãn PT (2) suy ra 0.b 
Khi đó PT (1) 
1 1
2 4
2
b c
c
b
Thay vào PT (2) ta đƣợc 
2 2
2 2
2
2
1 1
4 1 1
4
b c
b b c
b
2
2
2
2
1
4 1 1 0
4
c
b b
b
2
2
1
1 0
4
c
b
2
21 4c b 
1 2
  1 2
c b
c b
Trƣờng hợp 1: 
5
1 2 3
2 4 1 1
3
cc b
c b
b
Suy ra 
4 1 4 5
; , ;
3 3 3 3
B C 
Trƣờng hợp 2: 
1 2 3
2 4 1 1
c b c
c b b
Suy ra 4; 1 , 4;3 .B C 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
21 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Vậy với 
4 1 4 5
; , ;
3 3 3 3
B C hoặc 4; 1 , 4;3B C thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 3: 
Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC biết PT các đƣờng thẳng 
chứa các cạnh , AB BC lần lƣợt là:4 3 4 0; 1 0.x y x y Phân giác 
trong của góc A có phƣơng trình: 2 6 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh của tam 
giác .ABC 
Lời giải: 
D
A
B C
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: 
4 3 4 0 2
2;4
2 6 0 4
x y x
A
x y y
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT: 
4 3 4 0 1
1;0
1 0  0
x y x
B
x y y
Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua điểm 2;4A có dạng: 
 2 4 0 2 4 0a x b y ax by a b 
Gọi   :  2 6 0d x y 
Theo bài ra ta có d là phân giác trong của góc A nên: 
, ,Cos AB d Cos AC d 
2 2
1  .a 2.b  4.1 2.3
. 5 25. 5a b
2 2 a b 2 a b 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
22 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
3 4 0a a b 
0
3 4 0
a
a b
+) Nếu 0 0.      : 4 0a b Do óAC yđ 
+) Nếu 3 4 0 :a b chọn   4    3.a thìb 
    : 4 3 4 0Suyra AC x y (trùng với AB ) 
Vậy PT đƣờng thẳng   :  4 0AClà y 
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT: 
4 0 5
5;4
1 0 4
y x
C
x y y
Vậy với 2;4 ; 1;0 ; 5;4A B C thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm 
ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC. Khi đó ta viết được 
phương trình đường AC. 
B'
A
B
C
D
Ví dụ 4( Khối D-2011): 
 Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 4;1 ,B trọng 
tâm 1;1G và đƣờng phân giác trong của góc A có PT: 1 0.x y Tìm tọa 
độ đỉnh A và .C 
 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự như ví dụ trên. 
Lời giải: 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
23 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
I
G
MK
A
B CE
Gọi AE là đƣờng phân giác trong của góc A suy ra :  1 0AE x y 
Gọi M là trung điểm của .AC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 
1
2
GM BG 
Mà 
5 7
71
5;0             ;12 2
21 0 1
M M
M M
x x
BG suyra M
y y
Từ B kẻ BK vuông góc với ) (AE K AC tại I; Tam giác ABK có AI vừa là 
đƣờng cao vừa là đƣờng phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK. 
Đƣờng thẳng BK AE nên BK có dạng : 0.x y c 
Mà  B BK nên 4 1 0 3c c 
Suy ra PT đƣờng thẳng :  3 0.BK x y 
Ta thấy , I BK I AE nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 
1 0 1
  1; 2
3 0 2
x y x
I
x y y
Lại có I là trung điểm của BK nên ta có tọa độ điểm 2; 5 .K 
Suy ra 
3 3
; 6 1;4
2 2
MK 
Đƣờng thẳng AC đi qua 2 điểm , M K nên có phƣơng trình: 
2 5
1 4
x y
 4 13 0x y 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
24 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
4 13 0 4
  4;3
1 0 3
x y x
A
x y y
M là trung điểm của AC nên 3; 1C 
Vậy 4;3 ; 3; 1 .A C 
Ví dụ 5( Khối D-2010): 
 Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho điểm 0;2A và là đƣờng thẳng đi qua 
.O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phƣơng trình đƣờng 
thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng .AH 
Lời giải: 
Gọi véc tơ chỉ phƣơng của là: 2 2; ,     0u a b a b 
PT tham số của đƣờng thẳng qua 0;0O và có véc tơ chỉ phƣơng ;u a b là: 
x at
y bt
   ; ; 2H H at bt AH at bt 
2 2  .  0 2 0AH AH u a t b b 
2 2
2
     1
b
t
a b
Lại có: ,0d H x AH 
2
2 2 2 2 2b t a t bt 
2 2 4 4 0    2a t bt 
Từ 4 2 2 41 , 2     :  . 0tacó a a b b 
Chọn 4 22    :  2 4 0 1 5a tacó b b b 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
25 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Vậy PT đƣờng thẳng là 
2
1 5
x t
y t
 hoặc 
2
1 5
x t
y t
Ví dụ 6( Khối B-2010): 
 Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại ,A có đỉnh 
4;1 ,C phân giác trong góc A có PT: 5 0.x y Viết phƣơng trình 
đƣờng thẳng ,BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ 
dƣơng. 
 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác 
phía với một đường thẳng. 
 A
B
C
C'
Lời giải: 
Gọi: d là đƣờng phân giác trong góc , A ;5A a a d 
4 ; 4AC a a 
Đƣờng thẳng d có véc tơ pháp tuyến 1;1n suy ra có véc tơ chỉ phƣơng 
1; 1u 
Tam giác ABC vuông tại A ta có: 
.
,
.  
AC u
Cos AC d
AC u
2 2
4 4 1
22. 4 4
a a
a a
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
26 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
2 2
2 4 4a a a 
2 2 24 2 32 16a a a 
4a ( do a có hoành độ dƣơng) 
Suy ra 4;1A suy ra 8AC và 8,0 .AC 
Gọi ;B x y ta có 
2 2
4; 1 4 1AB x y AB x y 
Theo bài ra ta có: 
1
.
2ABC
S ABAC 
2 21
24 .8. 4 1
2
x y (1) 
Mà . 0 8. 4 0. 1 0 4ABAC x y x 
Thay vào (1) ta đƣợc 7y hoặc 5y . Suy ra 4;7B hoặc 4; 5B . 
Xét hàm số: ; 5F x y x y 
Với 4;7B , ta có: ; . ; 48 0.
B B C C
F x y F x y Suy ra B và C nằm khác 
phía với đƣờng phân giác góc A. Còn 4; 5B (loại). 
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng : 3 4 16 0.BC x y 
 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm như sau: 
B1: Tìm C’ là ảnh của C qua d. 
B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A. 
B3: Viết phương trình đường AC’. 
B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’. Tính diện tích AB. Với điều kiện B, C’ nằm 
cùng phía với điểm A. Hay AB cùng chiều với 'AC . 
Ví dụ 7( Khối A-2010): 
 Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh 6;6 ,A 
đƣờng thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phƣơng 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
27 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
trình: : 4 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh B và ,C biết điểm 1; 3E 
nằm trên đƣờng cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
Lời giải: 
I
HB C
A
E
Gọi H là chân đƣờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh  BC 
AH suy ra AH có phƣơng trình: 0x y c 
AH qua A suy ra 6 6 0 0c c 
Phƣơng trình đƣờng cao AH là: 0.x y 
Gọi I là giao điểm của và AH nên tọa độ I là nghiệm của hệ: 
4 0 2
  (2;2)
0 2
x y x
A
x y y
Theo tính chất đƣờng trung bình ta có I là trung điểm của AH 
Suy ra .2; 2H 
PT đƣờng thẳng BC qua H và song song với có dạng: 0.x y d 
H thuộc BC 2 2 0 4d d 
Suy ra phƣơng trình đƣờng thẳng   : 4 0BC x y 
Gọi 
1 1 2 2
4 ;; ; 4B x x C x x ta có: 
2 2 1 1
1 1 ; 6; 10;CE x x AB x x 
Theo bài ra ta có: 
2 1 2 1
. 0 1 6 1 10 0 CE AB x x x x (1) 
Mặt khác H là trung điểm của BC nên: 
1 2
4x x (2) 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
28 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Từ (1), (2) ta có: 1
2
0
4
x
x
 hoặc 1
2
6
2
x
x
Vậy 0; 4 ; 4;0B C hoặc 6;2 ,; 2; 6 .B C 
Ví dụ 8: 
Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có phân giác trong 
: 0,AD x y đƣờng cao : 2 3 0,CK x y đƣờng thẳng AC đi qua 
0; 1 .M Viết phƣơng trình các cạnh biết 2 .BA MA 
Lời giải: 
K
I
M
N
D
A
B C
Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB 
 Phƣơng trình đƣờng thẳng MN qua M và vuông góc với AD suy ra 
1 0: x yMN 
Gọi I là giao của MN và AD suy ra tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 
1
0 1 12  ;
1 0 1 2 2
2
xx y
I
x y
y
Mà I là trung điểm của MN nên 1;0N 
Đƣờng thẳng AB qua N và vuông góc với CK suy ra 2 1: 0x yAB 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
2 1 0 1
      1;1
0 1
x y x
A
x y y
Đƣờng thẳng AC qua Avà M nên 2 1: 0x yAC 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
29 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 
12 1 0 1
    ; 222 3 0 22
x y x
C
x y y
Gọi 2 1;B b b AB 
Ta có: 
2 2
2 22 2 1 5, .AB b b MA 
Mà 
2
2 2  2 4 5 1 20BA MA MA AB b 
2 1
1 4
3
b
b
b
+) Nếu 1 3; 1b B Thỏa mãn 
+) Nếu 3 5;3b B không thỏa mãn do ,B C nằm cùng một phía so với 
.AD 
Suy ra đƣờng thẳng BC qua B và C là: 
5 11
0.
2 2
x y 
Vậy phƣơng trình các cạnh là: 
:  2 1 0,AB x y 
:  2 1 0,AC x y 
5 11
:   0.
2 2
BC x y 
Ví dụ 9 ( Khối B-2013): 
Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có chân đƣờng cao hạ từ 
đỉnh A là 
17 1
H ; ,
5 5
 chân đƣờng phân giác trong của góc A là 5;3D và 
trung điểm của AB là 1;0 .M Tìm tọa độ đỉnh .C 
Lời giải: 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
30 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
 H
K
N
M
D
A
B C
Ta có AH qua H và vuông góc với HD nên AH có phƣơng trình: 
2 3 0 x y 
Gọi A 3 2a;a AH. Do M là trung điểm của AB nên MA MH 
Suy ra 
2 2
1
3 2 1 13 5
3
a
a a
a
+) Nếu 
1 17 1
    ;
5 5 5
a thìA ( loại do A H ) 
+) Nếu 3    3;3a thìA 
Phƣơng trình đƣờng thẳng AD qua A và D là: 3 0y 
Gọi ,N a b là điểm đối xứng với M qua AD suy ra N AC và MN vuông 
góc AD hay . 0 .8 .0 0 0MN AD a b a 
Gọi K là giao điểm của MN và AD suy ra 
1
;
2 2
a b
K 
1
3 0 5
2
b
K AD b 
Do đó 0;5N 
Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua Avà N là: 2 3 15 0x y 
Phƣơng trình đƣờng thẳng BC qua H và D là: 2 7 0x y 
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 
2 3 15 0 9
  9;11
2 7 0 11
x y x
C
x y y
Vậy 9;11 .C 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
31 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Ví dụ 10 ( THPTQG-2015): 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại .A Gọi 
H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của B 
qua H ; K là hình chiếu vuông góc của C trên đƣờng thẳng .AD Giả sử 
5; 5 , 9; 3H K và trung điểm của cạnh AC thuộc đƣờng thẳng 
10 0.x y tìm tọa độ điểm .A 
Lời giải: 
DH
M
CB
A
K
Gọi M là trung điểm AC . Ta có ,
2
AC
MH MK nên M thuộc đƣờng 
trung trực của HK . Đƣờng trung trực của HK có phƣơng trình 
7 10 0,x y nên tọa độ của M thỏa mãn hệ 
10 0
7 10 0.
x y
x y
Suy ra 0;10 ,M 
Ta có ,HKA HCA HAB HAD nên AHK cân tại H , suy ra 
.HA HK Mà ,MA MK nên A đối xứng với K qua .MH 
Ta có 5;15 ;MH đƣờng thẳng MH có phƣơng trình 3 10 0.x y 
Trung điểm AK thuộc MH và AK MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ 
9 3
3 10 0
2 2
9 3 3 0.
x y
x y
Suy ra 15;5 .A 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
32 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
 Nhận xét: Mấu chốt ở đây là ta nhớ được tính chất đường trung tuyến trong 
tam giác vuông để chỉ ra MH=MK. Nhớ được tính chất chỉ ra .HAK HKA 
B- Bài tập 
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có 2;2A và các phân giác trong góc ,B góc C 
lần lƣợt là: : 3 4 0, : 2 0.
B C
x y x y Tìm tọa độ B và .C 
Đáp số: 
6 14
; , 9; 7 .
5 15
B C 
Bài tập 2: Cho các điểm 1;1 , 2;5 , 4;7 .A B C Chứng minh tam giác ABC 
có góc A nhọn. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua Aasao cho 
, ,B d C d
d d lớn nhất. 
Đáp số: 2 5 7 0.x y 
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Điểm K thuộc đoạn BC sao 
cho 3 .CK KB Điểm G thỏa mãn 2 .AG GK Điểm D thuộc BC sao 
cho .GD GB Biết 7; 2 ,D phƣơng trình :3 13 0AK x y và điểm A 
có tung độ âm. Viết phƣơng trình .AB 
Đáp số: 3.x 
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có: 
: 2 0, :2 1 0, :4 7 0.AB x y AC x y BC x y 
Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm 
3
;6
2
M mà chia tam giác ABC 
thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
Đáp số: : 6 6 34 3 34 15 81 9 34 0.d x y 
Bài tập 5: Cho tam giác ABC có trực tâm 2;0H , trung tuyến 
:3 7 8 0.CM x y Trung trực của BC là : 3 0.d x Tìm tọa độ điểm 
.A 
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
33 
Ths. Trần Hải 0982 358 268 
Đáp số: 
16
2;2 , 2; .
5
A A 
Bài tập 6: Cho tam giác ,ABC phân giác trong : 2 0,AD x y đƣờng cao 
:2 1 0.BH x y AB qua 
27
1;1 , .
4ABC
M S Tìm , , .A B C 
Bài tập 7: Cho tam giác ABC có A (0 2,5).
A
A Ox x Hai đƣờng cao 
hạ từ ,B C có phƣơng trình lần lƣợt là: 
1 2
: 1 0; :2 4 0.d x y d x y 
Tìm tọa độ , ,A B C để diện tích tam giác ABC lớn nhất. 
Đáp số: 
1 5 3 7
;0 , ; , ; 3 .
2 2 2 2
A B C 
Bài tập 8: Cho tam giác ABC và đƣờng thẳng : 3 1 0.x y Giả sử 
7 14 19
4; , ; , 3;3
2 5 10
D E N theo thứ tự là chân đƣờng cao từ ,A B và trung 
điểm .AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ,ABC biết trung điểm M của BC 
nằm trên và hoành độ của điểm M nhỏ hơn hoặc bằng 4. 
Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm 3;0H và trung điểm của BC là 
6;1 .I Đƣờng thẳng : 2 3 0.AH x y Gọi ,D E lần lƣợt là chân đƣờng 
cao kẻ từ B và C của tam giác ABC . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác 
ABC , biết đƣờng thẳng : 2 0DE x và điểm D có tung độ dƣơng. 
Đáp số: 1;2 , 4; 3 , 8;5 .A B C 
Bài tập 10( Khối D-2009): 
 Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có 2;0M là trung điểm 
cạnh .AB Đƣờng trung tuyến và đƣờng cao qua đỉnh A lần lƣợt có phƣơng trình