Ôn tập lớp 12 môn Toán - Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

TÝnh ®¬n ®iÖu và cực trị cña hµm sè
Các dạng toán cần luyện tập
Dạng 1: Xét chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số 
+ Nêu PP giải ( các bước xét sự biến thiên, tìm cực trị của hàm số )
 Bài 1 Tìm cực trị của hàm số sau :
 a/ y=x.ex (¸p dông QT1 hoÆc QT2)	 b/ y=lnx-x (¸p dông QT1 hoÆc QT2) 
 c/ y=-x2-4x (¸p dông QT1)
Bµi 2: T×m cùc trÞ cña c¸c hµm sè 
a/ y=x-2sinx (¸p dông QT2) b/ y=sinx+cosx (¸p dông QT2)
c/ y= sin 2x- cosx trªn (0;) (¸p dông QT1 hoÆc QT2)	
Dạng 2: Chứng minh một hàm số có chứa tham số m đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định của nó
Bài 3 T×m m ®Ó hµm sè y= x3-3mx2+3(2m-1)x+1 ®ång biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh cña nã 
Bài 4 Cho hµm sè :y= x2(k-x)-k. T×m k ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn (0;+)
Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có cực trị,hàm số đạt cực trị tại điểm x0 cho trước,hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước
Bài 5: Cho hàm số : y= 13mx3-m-1x2 +3m-2x+13 . Tìm m để:
 a/ Hàm số có cực trị.
 b/ Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn : x1+ 2x2 = 1.
 c/ Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có hoành độ dương.
 d/ Hàm số có cực đại ,cực tiểu và xCĐ < xCT
 e/ Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Bài 6: Tìm a để hàm số sau : y= x+ax2+1
 a/ Không có cực trị b/ Hàm số có cực tiểu . 
Dạng4: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu, cực trị của hàm số cña hµm sè ®Ó gi¶i PT, BPT hoÆc chøng minh bÊt ®¼ng thøc.
Bài 7: Chøng minh r»ng x>0 th× e2x>2(x2+x)
 + HD: XÐt hµm sè f(x)= e2x-2(x2+x) TX§: R
 TÝnh f'(x); f"(x); KÕt luËn :.
Bài 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
 a/ ++=3+ b/3x+4x+5x=50
Gi¶i
a) §k:x Đặt f(x) = ++-3- 
 f'(x)=>0x> hµm sè ®ång biÕn trªn [;+)
 Ph­¬ng tr×nh f(x)= 0 cã nhiÒu nhÊt mét nghiÖm.MÆt kh¸c f(1)= 0
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1
b/3x+4x+5x=50
+ HD: §Æt f(x) =3x+4x+5x , f'(x)=3xln3+4xln4+5xln5>0 R
 hµm sè ®ång biÕn trªn R. Ph­¬ng tr×nh f(x)=50 cã nhiÒu nhÊt mét nghiÖm
MÆt kh¸c f(2) = 50. KL: VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=2
Bài luyện tập 
1)Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa c¸c haøm soá 
a) b) c) d) e). f) y = x.e-x g) y = . h) i) y = 
j) y = 3x + + 5. k) y = sin2x vôùi xÎ[0; p ] 	l) y = x2lnx. m) y = .
2) a.Xaùc ñònh tham soá m ñeå haøm soá y=x3-3mx2+(m2-1)x+2 ñaït cöïc ñaïi taïi x=2.	Kq: m=11
 b. Ñònh m ñeå haøm soá y = f(x) = -mx2+(m+3)x-5m+1 ñaït cöïc ñaïi taïi x=1.
3) Ñònh m ñeå haøm soá y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4 
a.Khoâng coù cöïc trò.	Kq: m ³1
b.Coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu.	Kq: m <1
c. Coù ñoà thò (Cm) nhaän A(0; 4) laøm moät ñieåm cöïc trò .
4):T×m m ®Ó hµm sè y=x4-2mx2+m cã 3 cùc trÞ vµ 3 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè ®ã t¹o thµnh mét tam gi¸c ®Òu
5) Chøng minh c¸c hµm sè sau kh«ng cã cùc trÞ víi mäi m
a/ y= b/ y=-x3+mx2-(2m2-m+1)x+m
6)ViÕt PT ®­êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña
a/ y=x3-x2-15x+7 b/ y=x+1+
Chó ý:
a/ ViÕt y= y'(ax+b)+(cx+d).§­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ lµ y= cx+d
b/ Chøng minh y=cã y'(x0) = 0, v(x0)0, v'(x0)0 th× y(x0) = vµ ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ lµ y = 
7 ) Xác định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của ĐTHS y = x3 + mx2 - 1 ở hai phía khác nhau của đường tròn (C) : x2+y2 -2mx -4my +5m2 -1 = 0.
 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Các dạng toán cần luyện tập
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, trên đoạn
+ Ôn lại cách tìm GTLN, NN của hàm số trên khoảng ,trên đoạn
Bà 1. Tìm giaù trò lôùùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa c¸c haøm soá 
Êa) y=-x2+2x+3. 	b) y = x4-2x2+3.	 c) trên đoạn [0,π/2]
d) trên [-2;-1/2] ; [1,3). e)y = x – 5 + vôùi x > 0.	
Bài 2. Muoán xaây bểà nöôùc coù theå tích V = 36 m3, coù daïng hình hoäp chöõ nhaät (khoâng naép) maø caùc kích thöôùc cuûa ñaùy tæ leä 1:2. Hoûi: Caùc kích thöôùc cuûa bể nhö theá naøo ñeå khi xaây ít toán vaät lieäu nhaát?	
Kq: Caùc kích thöôùc caàn tìm cuûa bể à nöôùc laø: a=3 m; b=6 m vaø c=2 
Dạng 2 : Ứng dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất để phương trình, bất phương trình có nghiệm 
*Một số kiến thức cần lưu ý:
1/ Phương trình f(x) =g(m) có nghiệm xD khi và chỉ khi g(m) MGT của hàm số y=f(x) trênD 
2/ +Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm xD khi và chỉ khi : g(m)
 + Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng D khi và chỉ khi :
 g(m)
3/ +Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm xD khi và chỉ khi : g(m)
 + Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng D khi và chỉ khi :
g(m)
Bài 1: Tìm m để phương tình sau có nghiệm : x+	(*)
Giải:
Đk:4x2 -1 0 
PT (*)x+ 1+ (Vì x0 với )
 Xét h/s: f(x)= 1+ với ; f'(x)= >0 
(-;-][;+)
 x	 -	 -	+
 + +
 2 2
 f(x)
 -2 0
Từ bảng biến thiên thì phương trình (*) có nghiệm -2<m 2 hoặc 0m <2
Vậy giá trị của m cần tìm là -2<m 2
Bài 2: Xác định m để mọi nghiệm của bất phương trình : x2 -3x +20 (1)
Cũng là nghiệm của bất phương trình mx2 +(m+1)x+m+20 (2)
Giải:
Bất phương trình (1) 1x2
Bất phương trình (2) m(x2 +x +1) -x-2 m (Vì x2 +x +1>0 )
Xét hàm số f(x)= với 1x2 có f'(x)= >0 [1;2]
 x	1	2
 f'(x) +
 f(x)
 -1
Yêu cầu của bài toán được thoả mãn mm
Bài 3: Tìm m để bất phương trình
1/ x+3m nghiệm đúng với mọi x
2/ mx-m+1 có nghiệm
Giải:
1/ x+3m nghiệm đúng với mọi x
x+3m m( vì x2 +1>0),xét hàm số f(x) =
f'(x)== =0 x=1/3.
Bảng biến thiên 
 x	-	1/3	+
 f'(x)	+ 0 -
 f(x) 
 Yêu cầu của bài toán được thoả mãn m.
Vậy giá trị m cần tìm là m
2/ mx-m+1 có nghiệm. Giải: Đk: x3
BPT m(x-1) 1+m (vì x-1>0)
Xét hàm số f(x)= , Với x3 có f'(x)=<0 3, Ta có BBT:
 x	3	+
f'(x) 	-
 f(x) 
 Yêu cầu của bài toán được thoả mãn m.Vậy giá trị m cần tìm là m
Bài luyện tập 
1) Tìm GTLN, GTNN a) y = x – 5 + . 	b)y = x4+4x2+5.	
c/ y=2x3+ 3x2-1 treân ñoaïn d)y = 3 sinx – 4 cosx. 
e) trên đoạn f) trên đoạn 
2)T×m m ®Ó bÊt PT 
a/ x+3m ®óng x b/ mx- m+1 cã nghiÖm
 TiÖm cËn, Phương trình tiếp tuyến của đường cong
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Tiệm cận ngang:
Đường thẳng y=y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu hoặc
Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 
Dạng: Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)	
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) Î (C).
	 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) (*)
	Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*).
	Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
 Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k Þ .. Þ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)	
 Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
B. DẠNG BÀI TẬP:
Tiếp tuyến
D¹ng I.BiÕt tiÕp ®iÓm.
Cho (C) : y=x3-3x+2.ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i c¸c giao ®iÓm cña (C) víi c¸c trôc to¹ ®é.
Cho ®å thÞ (C) cã ph­¬ng tr×nh .chøng minh (C) c¾t ox t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt vµ tiÕp tuyÕn t¹i hai ®iÓm ®ã vu«ng gãc víi nhau.
Cho (C) :y=x3-3x2+2x+1
a,Chøng minh qua I(1 ;1) cã duy nhÊt mét tiÕp tuyÕn cña (C).
b,Cmr trªn ®å thÞ (C)tån t¹i v« sè cÆp ®iÓm sao cho tiÕp tuyÕn t¹i cÆp ®iÓm ®ã // víi nhau.
D¹ng II,BiÕt hÖ sè gãc.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña y=(H) biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi y=(d)
T×m m ®Ó ®ồ thÞ hµm sè y=x3-3mx+3m-1 tiÕp xóc víi trôc hoµnh.
Bài luyện tập 
1: Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
Tại điểm uốn của (C).
Tại điểm có tung độ bằng -1
Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.
Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.
2: Cho (C) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x. 
 Khảo sát hµm ®a thøc bËc 3, bậc bốn trùng phương 
và các bài toán liên quan thường gặp
Dạng 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
	Số giao điểm của hai đường (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C1), (C2): f(x) = g(x) (1)
Dạng 2: Dùng đồ thị biện luận phương trình: 
Đưa phương trình về dạng:
 f(x) = f(m) 	(1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát 
+ Đường thẳng y = f(m) (d) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)
Bµi tËp tæng hîp vÒ hµm bËc ba.
Cho hµm sè y=f(x)=-x3+3x2+3mx+3m-4 ,m –tham sè. Cã ®å thÞ (Cm)
a, kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) hµm sè khi m=1.
b, TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i giao ®iÓm cña (Ç) vµ oy.
c, T×m m ®Ó hµm sè cã cùc trÞ.
d, T×m m ®Ó (Cm) nhËn I(1 ;2) lµm ®iÓm uèn.
e,T×m m ®Ó (Cm) tiÕp xóc víi trôc hoµnh.
Cho hµm sè y=x3-mx+m+2, m tham sè ,®å thÞ (Cm).
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) khi m=3.
Dïng ®å thÞ (C) biÖn luËn sè nghiÖm cña x3-3x-k+1=0.
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ®­êng th¼ng (d) : y=3.
®­êng th¼ng (d’) cã hÖ sè gãc a vµ ®i qua ®iÓm uèn cña (C).Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× (d’) c¾t (C)t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt .
Víi m= ? th× (Cm) cã c¸c ®iÓm cùc ®¹i,cùc tiÓu?
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ.
Cho hµm sè y=x3+mx2+1 cã ®å thÞ (Cm) 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C)khi m=-3
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(-1 ;-3) vµ B(3 ;1).
*T×m m ®Ó (Cm) c¾t ®­êng th¼ng (d):y=-x+1 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt E(0;1),F,G sao cho tiÕp tuyÕn cña (Cm) t¹i F vµ G vu«ng gãc víi nhau.
Cho hµm sè y=-x3+3x2+3mx+3m-4 cã ®å thÞ (Cm)
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) khi m=0.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(-1 ;-4).
*Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng ®i qua E(-1;0) vµ cã hÖ sè gãc k,trong t­êng hîp (d) c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt E,F,G h·y t×m tËp hîp trung ®iÓm I cña ®o¹n FG.
Cho hµm sè y=-x3+6x2-9x+9
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) cña hµm sè ë trªn.
BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x3-6x2-9x=m3-6m2+9m
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) sao cho tiÕp tuyÕn ®ã cã hÖ sè gãc lín nhÊt.
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi (C) vµ ®­êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña (C).
Cho hµm sè y=x3-3x2+2
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) hµm sè .chøng minh (C) cã t©m ®èi xøng.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ (C),h·y kh¶o s¸t vtt® cña (C) víi tiÕp tuyÕn ®ã.
Cho hµm sè y=x3-mx2+(2m-1)x-m+2 (Cm)
T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh cña ®å thÞ (Cm).
*T×m m ®Ó hµm sè cã hai cùc trÞ cã hoµnh ®é d­¬ng.
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) víi m=2.
TÝnh thÓ tÝch h×nh trßn xoay do h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C),y=0 ;x=0 ;x=1.vßng quanh ox.
Bài luyện tập 
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)
c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó.
Bài 2: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
 x3 – 3x + m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1.
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Bài 4: Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x + 1
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)
Bài 6: Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hòanh.
Bµi tËp tæng hîp vÒ hµm trïng ph­¬ng.
1. Cho hµm sè y=x4-2(m+1)x2+2m+1,m lµ tham sè cña ®å thÞ (Cm).
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)hµm sè khi m=0.
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C)vµ tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm cùc ®¹i cña (C).
T×m b ®Ó parabol (P) :y=2x2+b tiÕp xóc víi (C).ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm chung ®ã.
T×m m ®Ó (Cm) chØ cã m«t cùc tiÓu .
T×m m ®Ó (Cm) c¾t ox t¹i bèn ®iÓm cã hoµnh ®é lËp thµnh csc .T×m hoµnh ®é bèn giao ®iÓm ®ã.
2. cho hµm sè y=(m+1)x4-4mx2+2 cã ®å thÞ (Cm)
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)hµm sè khi m=1.
Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ®­êng th¼ng (d) :y=kx+2 c¾t (C)t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt .
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C)vµ ®­êng th¼ng (d) :y=2
T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh cña (Cm).
T×m m ®Ó (Cm)c¾t ox t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt .
cho hµm sè y=+ax2+b
T×m a vµ b= ?biÕt r»ng hµm sè ®¹t cùc trÞ b»ng -2 khi x=1.
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè øng víi a,b võa t×m ®­îc.
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ vµ trôc ox.
Dïng ®å thÞ biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x4-2x2-2m-3=0.
Cho hµm sè y=ax4+bx2+c
T×m a,b,c biÕt ®å thÞ hµm sè c¾t oy t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 4,c¾t ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é =-2 vµ t¹i x=-1 tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc =6.
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè øng víi a,b,c võa t×m ®­îc.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é =1
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè vµ Ox.
Cho hµm sè y=(m+1)x4-4mx2+2 (Cm)
Cmr (Cm)®i qua 3 ®iÓm cè ®Þnhkhi m thay ®æi.
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m=1.
Dïng ®å thÞ hµm sè hay biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 2(x2-1)2-k=0.
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ vµ ®­êng th¼ng y=2.
cho hµm sè y=x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 (Cm)
T×m m ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt .
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m=1
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A().
Bài luyện tập 
Bài 1: Cho hàm số 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hòanh độ x =
Bài 2: Cho hàm số: 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Bài 3: Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 
Bài 4: Cho hàm số 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0).
Bài 5: Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình : có 4 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bµi tËp tæng hîp về hµm nhÊt biÕn.
Bài luyện tập 
Bài 1 Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 1
Bài 2 : Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hòanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳngy = -x + 2
Bài 3 : Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục tung.
Bài 4. Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hòanh.
c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
Bài 5 : Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4 ; 4).
HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
 LŨY THỪA VÀ LOGARIT
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
Các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên của số thực, lũy thừ với số mũ hữu tỉ và số thực của số thực dương.
II. Các dạng toán cần luyện tập
Dạng 1: Thực hiện các phép tính, đơn giản và rút gọn biểu thức
Dạng 2: So sánh giữa các số có chứa lúy thừa
Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức về lũy thừa.
 III. Bài tập 
Dạng 1: Thực hiện các phép tính, đơn giản và rút gọn biểu thức
Bài 1: Thực hiện các phép tính
a. A = 	b. B = 
Bài 2: Đơn giản biểu thức sau
a. A = 	b. B = 
Dạng 2: So sánh giữa các số chứa lũy thừa
Bài 3: So sánh các số sau
a. và 	b. và 
Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức về lũy thừa.
Bài 4: a. Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng
b. Chứng minh rằng: 	
Bài luyện tập 
Bài 1: Thực hiện phép tính sau:
A = 	
Bài 2: Chứng minh rằng nếu = a thì 
Bài 3: So sánh các số sau
a. và 	b. và 
Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau
a. A = 	b. B = 
Bài 6: Đơn giản biểu thức sau
A = 
B = 
Bài 7: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng
Bài 8: Tìm x biết
a. 	ĐS: x = -1, x = 2 ; b. 	ĐS: x > 2
LÔGARIT
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
	Lôgarit cơ số a của một số dương ( a>0, a ≠ 1). Các tính chất cơ bản của lôgarit. Lôgasrit thập phân, lôgarit tự nhiên.
II. Các dạng toán cần luyện tập
1. Dạng 1: Thực hiện các phép tính, đơn giản và rút gọn biểu thức
Dạng 2: So sánh giữa các số chứa lôgarit
Dạng 3: Tìm số thực x thỏa mãn điều kiện chứ lôgarit
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức về lôgarit.
 III. Bài tập 
Dạng 1: Thực hiện các phép tính, đơn giản và rút gọn biểu thức
Bài 1: Tính giá trị biểu thức
a. A = 	ĐS: - 4
b. B = 	ĐS: 4
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau
a. 	ĐS: 
b. 	ĐS: -1
Dạng 2: So sánh giữa các số chứa lôgarit
Bài 3: So sánh các số sau:
a. và 	ĐS: log2 + log3 > log5
b. và 2	ĐS: > 2
Dạng 3: Tìm số thực x thỏa mãn điều kiện chứa lôgarit
Bài 4: Tìm x biết 
a. 	ĐS: x = 4
b. 	ĐS: x = 64
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức về lôgarit 
Bài 5: Chứng minh rằng: 
Bài luyện tập 
Bài 1: Đơn giản biểu thức
A = 	ĐS: A = 
Bài 2: So sánh các số sau
 và 	ĐS: VT > VP
Bài 3: Tìm x biết 
	ĐS: x = 6
Bài 4: Chứng minh rằng
 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị của hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit
II. Các dạng toán cần luyện tập
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a. 	b. 	c. 	d. 	
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
Phương trình mũ cơ bản, các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ.
II. Các dạng toán cần luyện tập
1. Dạng 1: Giải phương trình mũ cơ bản
2. Dạng 2: Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số
3. Dạng 3: Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ
4. Dạng 4: Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số
5. Dạng 5: Giải phương trình mũ bằng phương pháp lôgarit hóa
III. Bài tập rèn luyện
Dạng 1: Giải phương trình mũ cơ bản
Bài 1: Giải phương trình sau
a. 	ĐS: x = -1 ; x = 2
b. 	ĐS: 
Dạng 2: Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số
Bài 2: Giải phương trình sau
a. 	ĐS: x = 2 ; x = 
b. 	ĐS: x = 2
Dạng 3: Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ
Bài 3: Giải phương trình sau
a. 	ĐS: x = 
b. 	ĐS: 
c. 	ĐS: x = 
Dạng 4: Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số
Bài 4: Giải phương trình sau
	ĐS: x = 1
Dạng 5: Giải phương trình mũ bằng phương pháp lôgarit hóa
Bài 5: Giải phương trình sau
	ĐS: x = 1 ; 
Bài luyện tập 
Bài 1: Giải phương trình sau
a. 	ĐS: 
b. 	ĐS: x = 1 ; x = 
Bài 2: Giải phương trình sau
a. 	ĐS: 
b. 	ĐS: x = 0
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
Phương trình lôgarit cơ bản, các phương pháp thường dùng để giải phương trình lôgarit
II. Các dạng toán cần luyện tập
1. Dạng 1: Giải phương trình lôgarit cơ bản
2. Dạng 2: Giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số
3. Dạng 3: Giải phương trình lôgarit bằng cách đặt ẩn phụ
4. Dạng 4: Giải phương trình mũ bằng phương pháp mũ hóa
III. Bài tập rèn luyện
Dạng 1: Giải phương trình lôgarit cơ bản
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. 	ĐS: x = 5
b. 	
Dạng 2: Giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số
Bài 2: Giải các phương trình sau
a. 	ĐS: x = 2
b. 	ĐS: x = 
Dạng 3: Giải phương trình lôgarit bằng cách đặt ẩn phụ
Bài 3: Giải các phương trình sau
	a. 
b. 	ĐS: x = 5
Dạng 4: Giải phương trình mũ bằng phương pháp mũ hóa
Bài 4: Giải phương trình
	 ĐS: x = 0; x = -1
Bài luyện tập 
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. 	ĐS: 
b. 	ĐS: x = 2; 
Bài 2: Giải phương trình sau
a. 	ĐS: 
b. 	ĐS: x = 2 ; 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
Cách một số dạng phương trình mũ và loogarit đơn giản
II. Các dạng toán cần luyện tập
1. Dạng 1: Giải bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản
2. Dạng 2: Giải bất phương trình mũ, lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số
3. Dạng 3: Giải bất phương trình mũ, lôgarit bằng cách đặt ẩn phụ
III. Bài tập 
Dạng 1: Giải bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản
Bài 1: Giải bất phương trình mũ sau
a. 	ĐS: S = 
b. 	ĐS: S = 
Dạng 2: Giải bất phương trình mũ, lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số
Bài 2: Giải bất phương trình sau
a. 	ĐS: x > 3
b. 	ĐS: S = 
Dạng 3: Giải bất phương trình mũ, lôgarit bằng cách đặt ẩn phụ
Bài 3: Giải bất phương trình sau
a. 	ĐS: 0 < x < 1
b. 	ĐS: S = 
Bài luyện tập 
Bài 1: Giải bất phương trình sau
a. 	ĐS: S = 
b. 	ĐS: 
Bài 2: Giải bất phương trình sau
	a. 	ĐS: x < 1
	b. 	ĐS: 
NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm .
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số
a. 	b. 	c. 	
d. 	g. 	h. 	i. k. 	l. 	
 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số
a. 	b. 	c 	d. 	e. 	 f 	g) h) 	i. 	
k. 	l 
Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	g. 	
Phần 2. Tính tích phân
Dạng 1. Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Bài 10. Tính các tích phân 
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
 g. h. 	i. 	k.
Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Bài 11. Tính các tích phân sau
a. 	b. 	c. 	d. 	
e. 	f. 	g. 	i. 
kj 	k. 	l. 
Bài 12. Tính các tích phân 
a. 	b. 	c. 	d. 	
e. 	f. 	g. 	h. 
Dạng 3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài 13. Tính các tích phân 
a. 	b. 	c. 	d. 
e. 	f. 	g. 	h. 
Dạng 4. Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần 
Bài 16. Tính tích phân 	
• Dạng 5. Ứng dụng của tích phân 
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.
a. và trục hoành	
b. và đường thẳng 
c. ; và 	
d. 
e. 	
f. 
Bài 15. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi.
a. ; trục hoành và hai đường thẳng .
b. , trục hoành và đường thẳng 
c. 
d. .
Bài luyện tập 
Bài 16. Tính các tích phân.
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 	
k. 	l.	m. 
Bài 17. Tính các tích phân.
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 	
k. 	l. 	m. 
n. 	o. 	p. 
Bài 18. Tính tích phân.
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	 	h. 	i. 	
k. 	l. 	m.	
n. 	o. (B-08)	p. 	
q. (A-05)	 r. 	s. 	
t. 	u. 	v. 	 	
Bài 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau. 
a. 	 	
b. .	
c. .
d. 	
e. 	
f. 
g. 	
h. 	
i. 
Bài 20. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox
a. 	
b. 	
c. 
Bài 21. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy: 
Bài 22. Tính các tích phân.
	a. 	 	b. 	c. 
Bài 23. Tính các tích phân
a. 	b. 	c. 
SỐ PHỨC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN.
Kiến thức cần đạt: học sinh hiểu, nhớ, biết vận dụng Khái niệm số phức, Hai số phức bằng nhau.Biểu diễn hình học của số phức, Phép cộng và phép trừ các số phức.
Phép nhân số phức,Số phức liên hợp, Môđun của số phức,Phép chia số phức khác 0.
Kỹ năng cần đạt: Học sinh có kỹ năng thành thạo trong việc thực hiện các phép tính về số phức, biểu diễn hình học số phức, tính mô đun số phức và áp dụng vào các bài toán có liên quan.
DẠNG 1 Thực hiện các phép toán về số phức để tính giá trị biểu thức, tìm số phức liên hợp, tìm phần thực, phần ảo, mô đun số phức...
Phương pháp giải: 
Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức
Ví dụ 1: Cho số phức z = 
 Tính các số phức sau: ; z2; ()3; 1 + z + z2 	
Giải:
Vì z = Þ = 
Ta có z2 = ==
Þ ()2 = 
()3 =()2 . = 
Ta có: 1 + z + z2 = 
Nhận xét: Trong bài toán này, để tính ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực.
Ví dụ 2 Tìm số phức liên hợp của: 
Giải: Ta có : Suy ra số phức liên hợp của z là: 
Ví dụ 3:Tìm mô đun của số phức 
Giải: Ta có : Vậy, mô đun của z bằng: 
Ví dụ 4 Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Giải: 	
Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Û (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
Û Giải hệ này ta được: 
Ví dụ 5: Tính:
 A = i105 + i23 + i20 – i34
Giải:
i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
Ví dụ 6 Tính số phức sau: z = (1+i)15
Giải:
Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
Ví dụ 7:Tính số phức sau: z = 
Giải: Ta có: Þ . Vậy =i16 +(-i)8 = 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của mỗi số phức sau:
(4-2i)+(2+3i)+(5-i).
(1+i)5 –( 1-i)5.
(1+i)4 – ( 3-i)3.
.
.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết 
Bài 2 Cho số phức z=x+yi ,. Tìm phần thực và phần ảo, mô đun của số phức sau 	
Bài 3: Cho số phức z = Tính các số phức sau: ; z2; ()3; 1 + z + z2 	
Bài 4:Tìm các số thực x, y thoả mãn: 
3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i.
(1-2i)x +( 1+2y)i = 1+i.
(4-3i)x2+(3+2i)xy= 4y2+ (3xy-2y2)i -.
 = i
Bài 5 Tính giá trị của biểu thức:
A= i105 + i23 + i20 – i34 .
B = 1+i+i2+i3+i4+...+in.
C = i.i2.i3.i4....i2000.
D = 
Bài 6: Thực hiện phép tính sau:
(1+2i)(3-3i).
(1+2i)2+ (3-i)3.
(1+i)10
(2-i)(-3+2i)(5-4i).
(2-4i)(5+2i)+(3+4i)(-6-i).
1+(1-i)2 + (1-i)4 +(1-i)6++(1-i)100
Bài 7.Tính giá trị biểu thức sau : M = 1 + i + i2 + i3 + .. + i2010
Bài 8 .Chứng minh 
 Bài 9:Cho số phức z thỏa mãn .Tìm mô đun của số phức 
Bài 10 Xác định phần thực của số phức biết rằng và 
Bài 11: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2 ¹ 1 thì A = Î R
HD: Ta có: = A suy ra A là số thực.
Dạng 2: 
Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức.
Kiến thức cần đạt:Học sinh cần nắm vững các kiến thức về mô đun số phức, thế nào là biểu diễn hình học của số phức.
 Kỹ năng cân đạt: Học sinh thực hiện thành thào việc biểu diễn hình học của số phức, tìm mô đun của số phức, hiểu, nhớ và làm thành thạo các bài toán về tìm tập hợp điểm của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
	Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau: 
	Giả sử z = x+yi (x, y Î R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Ta có: OM = = 
	Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Lưu ý:
Với số thực dương R, tập hợp các số phức với = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm O, bán kính R.
Các số phức z, < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R)
Các số phức z, >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R)
Ví dụ 1 Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:
 1. =2
 2. 
 3. 
 4. 
 5. 1≤ 
Giải: 1) Xét hệ thức: =2 (1)
Đặt z = x +yi (x, y Î R) Þ z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.
Khi đó (1) Û 
	Û (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.Þ Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2.
2) Xét hệ thức (2) 
	(2) Û (*)
Gọi A là điểm biểu diễn số -2, còn B là điểm biểu diễn số phức i 
(A(-2;0); B(0;1))
Đẳng thức (*) chứng tỏ M(z)A = M(z)B.
Vậy tập hợp tất cả các điểm M(z) chính là đường trung trực của AB.
Chú ý: Ta có thể giải cách khác như sau: 
	Giả sử z = x + yi, khi đó: 
	(2) Û |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| Û (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 Û 4x + 2y + 3 = 0.
vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là phương trình đường trung trực của đoạn AB.
3) Xét: (3)
	Giả sử z = x + yi, khi đó: 
(3) Û |2+x+yi| > |x+yi-2|
	Û (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2 Û x > 0.
Þ Tập hợp các điểm M(z) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung, tức là các điểm (x;y) mà x > 0.
Nhận xét: Ta có thể giải cách khác như sau:
	(3) Û |z-(-2)| >|z-2|
Gọi A, B tương ứng là các điểm biểu diễn số thực -2 và 2, tức là A(-2;0), B(2;0).
Vậy (3) Û M(z)A > M(z)B. Mà A, B đối xứng nhau qua Oy.
 Từ đó suy ra tập hợp các điểm M(z) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung.
4) Xét hệ thức: 
	Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F1 (0;4) và F2 =(0;-4). Do đó: 
	(4) Û MF1 + MF2 = 10 (M = M(z))
	Ta có F1F2 = 8 Þ Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F1 và F2 và có độ dài trục lớn bằng 10.
Phương trình của (E) là: 
5) Xét hệ thức 1≤ Û 1≤ .
Xét điểm A(-1;1) là điểm biểu diễn số phức -1 + i. Khi đó 1≤ MA ≤ 2.
Vậy tập hợp các điểm M(z) là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1 
Cách 2: Giả sử z = x +yi khi đó (5) Û 1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2 Û 1 ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ 4
	Þ kết quả như ở trên.
Ví dụ 2 Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:
|z + +3|=4
|z + + 1 - i| = 2
2|z-i|=|z- +2i|
 4. |z2 – 2| = 4 
Giải: 	
1) Xét hệ thức: z + +3|=4 (1) 
	Đặt x = x + yi Þ = x – yi, do đó
(1) Û |(x+yi)+(x-yi)+3|=4
	Û |2x+3|=4 Û 
	Vậy tập hợp tất cả các điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung x = và x = 
2) Xét hệ thức: |z + + 1 - i| = 2.
Đặt z = x + yi Þ = x – yi. Khi đó:
(2) Û |1