Một số đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán

NGUYỄN VĂN XÁ 
MỘT SỐ ðỀ THI 
HỌC SINH GIỎI 
BẮC NINH – 2016 
Việc học vấn cần ghi ba lẽ 
 Cho hoàn toàn chớ ñể sót quên 
 Con chăm, cha thực, thầy nghiêm 
 Ba ñiều có trọn mới nên ñại thành. 
(Trích “Minh ñạo gia huấn”) 
Nguyễn Văn Xá ðề 01 
ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000) 
Bài 1 (5 ñiểm) 
1) Chứng minh rằng phương trình 3 26 1 1 0
2
x
x x x− − − + + = không thể có nghiệm 
âm. 
2) Tìm a sao cho với mọi x ≠ 0 ta luôn có 2 2
1 1( ) (1 3sin )( ) 3sin 0x a x a
x x
+ + + + + > . 
Bài 2 (4 ñiểm) 
1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a2x + b2y + c2z) = abc. 
Chứng minh tồn tại các số ,α β thỏa mãn 0 ,0
2 2
pi pi
α β< < < < , sao cho 
a = 2 sinyz α , b = 2 sinzx β , và c = 2 os( + )xyc α β . 
2) Cho trước ba số dương a, b, c. Tìm các số dương x, y, z theo a, b, c, biết 
2 2 2
x + y + z = a + b + c
4xyz (a x+b y+c z) = abc


−
. 
Bài 3 (5 ñiểm) 
1) Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ 3 3
2
. 
2) Cho ∆ABC không vuông, tìm giá trị nhỏ nhất của 
P = sin sin sinlog sin log sin log sin
sin sin sin sin sin sin
A B CB C A
A B B C C A
+ +
+ + +
. 
Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. 
Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt 
phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). 
a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). 
b. Gọi , ,α β γ là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, 
AB và DC. Giả sử c < b < a . Hỏi ba ñoạn thẳng os , os , osa c b c c cα β γ có thể 
dựng ñược một tam giác hay không ? 
Nguyễn Văn Xá ðề 02 
THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001) 
Bài 1 (4 ñiểm) Giải phương trình 
1. (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2. 
2. (2 ñiểm) 
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 20 4 5 15 3 4 12 3
x x x x x x x x x
− + + − + = + + . 
Bài 2 (4 ñiểm) Cho dãy (un) thỏa mãn u1 = - 2, 1 , 1
n
n
n
u
u n
u
+ = ∈
−
N*. 
1. Chứng minh un < 0, ∀n∈N*. 
2. Với mỗi n∈N* ñặt vn =1 n
n
u
u
+
. Chứng minh (vn) là một cấp số cộng và suy ra 
biểu thức của vn và un. 
Bài 3 (4 ñiểm) Giải hệ 27 4
1 1 5
4 27 6
1log log
6
27 4 1
x x
y x
y x

+ =


− ≥

− ≤


. 
Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng 
có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3. 
Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích 
bằng 1cm3. Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc. 
Nguyễn Văn Xá ðề 03 
ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002) 
Bài 1 (2 ñiểm) 
1/ Tìm giới hạn a. 
 3
sin 3lim
1 2cosx
x
xpi→ −
. b. 2
 0
ln(cosx) lim
xx→
. 
2/ Cho 3 3 2os( n. n 3 1)na c n npi= + + + , n∈N*. Tìm 
lim nn a→ ∞ . 
Bài 2 (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau: 
a) Sn = sinx + sin2x +  + sinnx. 
b) Cn = cosx + 2cos2x +  + ncosnx. 
Bài 3 (2 ñiểm) 
1) Giải phương trình )1(2)1( 2323 xxxx −=−+ . 
2) Giải hệ phương trình 
3 2
3 2
3 2
9 27 27
9 27 27
9 27 27
x z z
y x x
z y y

− + =

− + =

− + =
. 
Bài 4 (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {an}. Chứng minh rằng nếu 
2 12 ,n n na a a n+ ++ ≥ ∀ ∈N*, thì 1 3 2 1 2 4 2
... ...
,
1
n na a a a a a n
n n
++ + + + + +≥ ∀ ∈
+
N*. 
Bài 5 (3 ñiểm) 
1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì 
diện tích của tam giác ñó nhỏ hơn 
4
3
. 
2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ 
diện ấy không vượt quá 1
8
. Hãy chỉ ra một tứ diện như thế. 
Nguyễn Văn Xá ðề 04 
ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH 
DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002) 
Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2) 
Bài 1 (2 ñiểm) Giải hệ phương trình 




=++
+=+=+
1
)1(5)1(4)1(3
zxyzxy
z
z
y
y
x
x
. 
Bài 2 (2 ñiểm) Cho ∆ABC không có góc tù. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
E = 
CBA
CBA
coscoscos
sinsinsin
++
++
. 
Bài 3 (2 ñiểm) Cho hàm số f : N → N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức 
(1) f(f(n)) = 4n + 9 với mọi n ∈ N; 
(2) f(2n) = 3 + 2n + 1 với mọi n ∈ N*. 
Tính f(1789). 
Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai 
trung ñiểm của hai cạnh ñối của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể 
tích bằng nhau. 
Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*). Chứng minh rằng có thể cắt n 
hình vuông ñó thành những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại 
ñược một hình vuông mới. 
Nguyễn Văn Xá ðề 05 
ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH 
DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003) 
Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1) 
Bài 1 (2 ñiểm) Chứng minh rằng 3 35 2 7 5 2 7 2+ − − = . 
Bài 2 (2 ñiểm) Cho dãy {an} gồm vô hạn số tự nhiên thỏa mãn 
1 1
1 1
2 n n
n
n n
a a
a
a a
− +
− +
=
+
, n∈N*, n > 1. 
Chứng minh rằng 1 2 ... na a a= = = . 
Bài 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC. Chứng minh rằng 
2
2 2 2
1 1 1 1 1( )
sin sin sin2sin sin sin 4sin sin sin
2 2 2 2 2 2
A B C A B CA B C
≤ + + ≤ . 
Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn 
(f(x) – f(y))2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ ℝ, và f không phải là hằng số? 
Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Chứng minh rằng các mặt phẳng 
(ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt nhau tại một ñiểm. 
Nguyễn Văn Xá ðề 06 
ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003) 
Bài 1 (2 ñiểm) Tìm các giới hạn sau: 
1)
2
tanxlim (s inx)
x
pi
→
; 2) 
1 1lim (sin os )
xx
xc
x→ ∞
+ . 
Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1. 
1. Gọi 1 2 3, ,x x x là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành. Tính giá 
trị của biểu thức 
3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 34A x x x x x x x x x= + + + . 
2. Xét số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. 
Bài 3 (1.5 ñiểm) 
1. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2 ( )( 2)
2
yx y x xy
x y

− = − +

+ =
. 
2. Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin2A + sin2B > ksin2C. 
Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến 
mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm ∆ABC. 
1. Gọi , ,α β γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với 
ñáy (ABC). Tính giá trị của biểu thức os2 +cos2 +cos2T c α β γ= . 
2. Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp 
hình chóp SABC, tính tỉ số m
r
. 
Bài 5 (1.25 ñiểm) Cho hàm số f(tanx) = sin2x, với mọi |x| < 
2
pi
. Tìm giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = f(sin32x).f(cos32x). 
Nguyễn Văn Xá ðề 07 
ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005) 
Ngày thi 12 – 04 - 2005 
Câu 1 (2 ñiểm) Tìm giới hạn: 
1) A = 
 a
1
sinxlim ( )
sinax
x a
→
− ; 2) B = 
0
os( osx)
2lim
sin(tanx)x
c c
pi
→
. 
Câu 2 (2 ñiểm) 
1. Tính ñạo hàm của hàm số f(x) = xx ( x > 0), từ ñó tìm nguyên hàm của hàm số 
ϕ (x) = xx(1 + lnx). 
2. Tính tích phân J = 
0
n -1sin x.cos(n+1)x.dx
pi
∫ , trong ñó n là số nguyên dương 
không nhỏ hơn 2. 
Câu 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c. Giải hệ phương trình 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b x c x a
c y a y b
a z b z c

− + − =


− + − =

− + − =
. 
Câu 4 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại 
tiếp và nội tiếp là R, r, chu vi là 2p. 
1. Chứng minh rằng ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr. 
2. Tính tổng 1 1 1
a b c
+ + qua p, R, r. 
3. Chứng minh rằng p2 + r2 ≥ 14Rr. 
Câu 4 (2 ñiểm) Cho elip (E) 
2 2( 19) ( 98) 1998
19 98
x y− −
+ = . Gọi R1, R2, R3, R4 lần 
lượt là diện tích các phần của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, 
thứ tư tương ứng trên ñồ thị. Hãy xác ñịnh giá trị T = R1 - R2 + R3 - R4. 
Nguyễn Văn Xá ðề 08 
THI HSG 11 BẮC NINH (2004 – 2005) 
Bài 1 (2,5 ñiểm) Tính giá trị của: cos50 - cos310 - cos410 + cos670 + cos770. 
Bài 2 (2,0 ñiểm) Cho dãy số {an} thỏa a1 = 1, an+1 = 
n
n
a
a 1
2
+ với n =1, 2, 3,  
Chứng minh biểu thức 
2
2
2
−na
 là số nguyên, với mọi giá trị nguyên n > 1. 
Bài 3 (2,5 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, ñường vuông góc chung của AC và BD ñi 
qua trung ñiểm BD và S ABD = S BCD = 2
1 S ABC. Giả sử tồn tại ñiểm O trong tứ 
diện sao cho tổng khoảng cách từ O ñến B và D bằng tổng khoảng cách từ O ñến 
bốn mặt tứ diện. Chứng minh: 
1) ðường vuông góc chung của AC và BD ñi qua trung ñiểm AC. 
2) AC ⊥ BD. 
Bài 4 (2,0 ñiểm) Gọi r, R là bán kính ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác 
ABC, và r1 là bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác có các ñỉnh là tiếp ñiểm của 
ñường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng r ≤ 1Rr . 
Bài 5 (1, 0 ñiểm) Giải phương trình x3 - 3x = 2+x . 
Nguyễn Văn Xá ðề 09 
ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (11 – 03 – 2004) 
Bài 1 Giải hệ phương trình 
3 2
3 2
3 2
( ) 2
( ) 30
( ) 16
x x y z
y y z x
z z x y
 + − =

+ − =
 + − =
. 
Bài 2 Trong mặt phẳng, cho ∆ABC, gọi D là giao ñiểm của cạnh AB và ñường phân giác 
trong của ∠ACB. Xét một ñường tròn (O) ñi qua hai ñiểm C, D và không tiếp xúc với các 
ñường thẳng BC, CA. ðường tròn này cắt lại các ñường thẳng BC, CA tại M, N tương ứng. 
1/ Chứng minh rằng có một ñường tròn (S) tiếp xúc với ñường thẳng DM tại M và tiếp xúc 
với DN tại N. 
2/ ðường tròn (S) cắt lại các ñường thẳng BC, CA lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng các 
ñoạn thẳng MP, NQ có ñộ dài không ñổi, khi ñường tròn (O) thay ñổi. 
Bài 3 Cho tập A gồm 16 số nguyên dương ñầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có 
tính chất: trong mỗi tập con có k phần tử của A ñều tồn tại hai số phân biệt a, b sao cho a2 + 
b2 là một số nguyên tố. 

 
ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (12 – 03 – 2004) 
Bài 4 Xét dãy số thực (xn), n = 1, 2, 3, , xác ñịnh bởi x1 = 1, 
2
n
n + 1
n
(2 + cos2 )x os
x (2 2cos2 )x 2 cos2
cα α
α α
+
=
− + −
, với mọi n =1, 2, 3, , trong ñó α là một tham số thực. 
Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của α ñể dãy (yn) với 
n
n
k=1 k
1y , n = 1, 2, 3, ...
2x 1
=
+
∑ , có giới 
hạn hữu hạn khi n → + ∞ . Tìm giới hạn của dãy (yn) trong các trường hợp ñó. 
Bài 5 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện (x + y + z)3 = 32xyz. Hãy tìm giá trị 
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = 
4 4 4
4
x y
(x y )
z
z
+ +
+ +
. 
Bài 6 Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số trong biểu diễn thập 
phân của n. Xét các số nguyên dương m là bội của 2003. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m). 
Nguyễn Văn Xá ðề 10 
ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006) 
Ngày thi 05 – 04 – 2006 
Bài 1 Tìm giới hạn 
1) s inxlim
x+sinxx
x
→∞
− ; 2) 
2 9
0
( 2005) 1 5 2005lim
x
x x
x→
+ − −
. 
Bài 2 
1) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1. Tính số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. 
2) Tìm m ñể phương trình |x|3 – 3|x| – 2 = m(x – 2) có 4 nghiệm thực phân biệt. 
Bài 3 Cho hình chóp SABC có ñáy ABCD là tứ giác nội tiếp ñường tròn ñường 
kính AC, SA = 2BD, 
 60oBAD = , SA ⊥ (ABCD). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc 
với SB, SD tại H, K. Hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD). 
Bài 4 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng x2 + 
y 2 + z2 + 4xyz ≥ 13
27
. Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào? 
Bài 5 Cho hàm số f xác ñịnh bởi f(x) = f(x + 3).f(x – 3), ∀ x ∈ ℝ. Chứng minh f là 
hàm tuần hoàn. 
Nguyễn Văn Xá ðề 11 
ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH 
DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2005 – 2006) 
Ngày thi 20 -10 -2005 
Câu 1 (4 ñiểm) Giải hệ phương trình 
4 2
2
2 2 0
1 0
x y xy y
x y x

− + + =

+ − − =
. 
Câu 2 (4 ñiểm) Cho ∆ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của 
T = 2 2 2tan 3(tan tan )
2 2 2
A B C
+ + . 
Câu 3 (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên ℝ, thỏa 
mãn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀ x, y ∈ ℝ. 
Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại 
A và C cắt nhau ở Q, tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P. Chứng minh 
rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD. 
Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005n và (2005n + 5n) có số chữ số 
bằng nhau với mọi n nguyên dương. 
Nguyễn Văn Xá ðề 12 
CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 2005 
Bài 1 
 Tìm tất cả các hàm số :f ℕ*→ℕ* thỏa mãn với mọi cặp số nguyên dương 
(x, y) ñều tồn tại số nguyên dương z sao cho 
2 2( ( )) ( ). ( ) ( ( ))( ). ( ) ( )
3
f x f x f y f yf x f y f z + +≤ ≤ . 
Bài 2 
 Cho dãy số dương không tăng {an} có tính chất: tổng của một số hữu hạn bất 
kì các số hạng của dãy ñều nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng lim ( ) 0.nn na→+∞ = 
Bài 3 
 Trong mặt phẳng cho ba ñiểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng, B nằm giữa A, C 
nhưng không trùng với ñiểm của AC. Vẽ hai ñường tròn 1(ω )và 2(ω ) thay ñổi 
tương ứng ñi qua các cặp ñiểm A, B và B, C. Hai ñường tròn này cắt nhau tại 
ñiểm thứ hai D khác B. Gọi E là trung ñiểm của cung DA
⌢
 không chứa ñiểm B của 
1(ω ) và F là trung ñiểm của cung DC
⌢
 không chứa B của 2(ω ) . Chứng minh trung 
ñiểm của ñoạn thẳng EF luôn nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh. 
Bài 4 
 Có 2005 cái hộp xếp quanh một sân vận ñộng. Giả sử ta có trong tay một số 
lượng ñủ lớn các quả bóng. Thực hiện một trò chơi như sau: Lần thứ nhất bỏ vào 
một số hộp nào ñó một số quả bóng một cách tùy ý, lần thứ hai trở ñi mỗi lần cho 
phép ta chọn 6 cái hộp nằm liên tiếp và bỏ thêm vào mỗi hộp 1 quả bóng. Hỏi có 
thể làm cho 2005 hộp ñó có số lượng bóng bằng nhau ñược không? Bài toán sẽ 
thay ñổi thế nào nếu xung quanh sân vận ñộng không phải 2005 mà là 2006 cái 
hộp? Giải thích. 
Nguyễn Văn Xá ðề 13 
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) 
Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : 1( 3) 2 1x x−− = . 
Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 yx + nếu : 
3 2 6
7 3 4
x y
x y
+ ≤
− ≤



. 
Bài 3: (4ñ) Cho dãy n21 x,.....,x,x , với 




=+=
=
+ ,....)2,1n(,xxx
2
1
x
n
2
n1n
1
. Hãy tìm 
phần nguyên của A biết 
1x
1
....
1x
1
1x
1A
10021 +
++
+
+
+
= . 
Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với : 







−−
=
=
+ 2
a11
a
2
1
a
2
n
1n
1
. Chứng minh tổng tất cả 
các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03. 
Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M 
các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) 
và (ABC) tại 111 C,B,A . Tìm vị trí của M ñể thể tích hình tứ diện 111 CBMA 
lớn nhất. 
Nguyễn Văn Xá ðề 14 
KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH 
DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2006 - 2007 
Câu 1: (4 ñiểm) 
 Giải hệ phương trình:
3 2 cos cos
3 2 cos cos
3 2 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = +

+ = +
 + = +
. 
Câu 2: (4 ñiểm) 
 Cho dãy số { }nx thoả mãn: 03
1 1
3
3 2n n n
x
x x x+ +
=

− = +
. Tìm lim
n
n
x
→+∞
. 
Câu 3: (4 ñiểm) 
 Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên *+R và thoả mãn: 
2 2
2
(1) 5
4( ) ( ) 4 , 0 .
f
f x x f x x x
x
=


− = − ∀ >
Câu 4: (4 ñiểm) 
Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá 
trị nhỏ nhất của mỗi tổng sau: 
1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 
2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. 
Câu 5: (4 ñiểm) 
 Cho tập hợp A = {0,1,2,,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con 
“ngoan ngoãn” nếu với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T. 
1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A. 
2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005. 
Nguyễn Văn Xá ðề 15 
UBND tØnh B¾c Ninh 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
========== 
K× thi chän häc sinh giái cÊp tØnh 
 N¨m häc 2007 – 2008 
M«n thi: To¸n THPT 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) 
Ngµy thi: 2 th¸ng 4 n¨m 2008 
============== 
C©u1(5 ®iÓm) 
 T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè : 
 f(x) = 
2a x
2a x
+
−
 chøa tËp gi¸ trÞcña hµm sè g(x) = 2
1
x 2x 4a 2+ + −
. 
C©u2(3®iÓm) 
 Gi¶i hÖ : 
 x4 – x3y+ x2y2 = 1 
 x3y – x2 + xy = -1 
C©u 3(5 ®iÓm) 
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè : 
 f ( x,y,z ) = 
yz x 1 xz y 2 xy z 3
xyz
− + − + −
 ; 
 Trªn miÒn D ={ }(x, y, z) : x 1; y 2;z 3≥ ≥ ≥ 
C©u4(3 ®iÓm) 
 Gäi V vµ S lÇn l−ît lµ thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña mét tø diÖn 
ABCD . Chøng minh r»ng : 
3
2
S
V
> 288 
C©u 5(2 ®iÓm) 
 T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh : 
 x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy 
C©u 6(2 ®iÓm) 
 T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f(x) kh¶ vi trªn kho¶ng ( -1; 1) sao cho 
 f(x) + f(y) = f
x y
1 xy
 +
 + 
 . 
=========HÕt========== 
 §Ò nµy cã 01 trang 
 Chó ý : häc sinhBæ tócTHPT kh«ng ph¶i lµm c©u 5 , 6 
 Hä vµ tªn thÝ sinh: ................................. Sè b¸o danh: ............................. 
§Ò chÝnh thøc 
Nguyễn Văn Xá ðề 16 
CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH 
DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008) 
Bài 1 
 Tìm m ñể 2 3 4 3 , x x x mx x+ + ≥ + ∀ ∈R. 
Bài 2 
 Trên mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) x2 + y2 -2x – 4y – 20 = 0 và hai ñiểm 
A( 29
4
 ;2), B(- 9 ; - 6). Tìm ñiểm M∈(C) sao cho 4MA + 5MB ñạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 3 
 Giải phương trình nghiệm nguyên 
2 224( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2x y x y y x+ + + + + = + + . 
Bài 4 
 Cho △ABC có góc ˆA tù. Dựng △ABD vuông cân tại D và △ACE vuông cân 
tại E sao cho C, D khác phía so với AB còn B, E cùng phía so với AC. Gọi I, K 
lần lượt là các tâm ñường tròn nội tiếp △ABD và △ACE. Tính tỉ số IK
BC
 và góc 
giữa hai ñường IK, BC. 
Bài 5 
 Tìm giới hạn của dãy ( )nx cho bởi 
1
2
1
1
2
, *.
2 1
n
n
n
x
x
x n N
x
+
 ≠

 = ∀ ∈
 −
Bài 6 
 Xác ñịnh hàm số f(x) liên tục trên R
 + và thỏa mãn 
f(x24) + f(x10) = 2007(x24 + x10), ∀x∈R. 
Bài 7 
 Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi ñỏ, 671 bi vàng. Cứ mỗi lần 
lấy ñi 2 viên bi khác màu, người ta lại thêm vào 2 viên bi có màu còn lại. Hỏi có 
thể ñến một lúc nào ñó trên bàn chỉ còn các bi cùng màu hay không ? 
Nguyễn Văn Xá ðề 17 
UBND tØnh B¾c Ninh 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
========== 
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh 
 N¨m häc 2008 – 2009 
M«n thi: To¸n THPT 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) 
Ngµy thi: 7 th¸ng 4 n¨m 2009 
============== 
Bµi 1 (6 ®iÓm) 
 1/ So s¸nh hai sè: 20092010 vµ 20102009 
 2/TÝnh giíi h¹n sau: 
20 33
1 1lim
3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1)x x x x x x→
 
− 
+ + + + + + 
Bµi 2 (4 ®iÓm) 
 1/ Cho ba sè thùc kh«ng ©m x, y, z tho¶ m·n: x2009 + y2009 + z2009 = 3 
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: F= 2 2 2x y z+ + 
 2/ Cho sè nguyªn d−¬ng n. Chøng minh r»ng: 
 1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1
+ +...+ <
C C C 2007n+
Bµi 3 (4 ®iÓm) 
 H×nh chãp S.ABC cã tæng c¸c mÆt (gãc ë ®Ønh) cña tam diÖn ®Ønh S b»ng 180
 
vµ c¸c c¹nh bªn SA=SB=SC=1. Chøng minh r»ng diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp 
nµy kh«ng lín h¬n 3 . 
Bµi 4 (4 ®iÓm) 
 1/ Gäi m, n, p lµ 3 nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh: 3 2ax +bx +cx-a=0 )0( ≠a 
 Chøng minh r»ng: 
 222
3221 pnm
pnm
++≤+−+ . DÊu ''"= x¶y ra khi nµo? 
 2/ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz
 + + + = +

+ + + = −
 + + + = +
Bµi 5(2 ®iÓm) 
 1/ Chøng minh r»ng bèn h×nh trßn cã c¸c ®−êng kÝnh lµ bèn c¹nh cña mét tø 
gi¸c låi th× phñ kÝn miÒn tø gi¸c ®ã. 
 2/ Cho 3 5 2n+10 1 2 ny=a x+a x +a x +...+a x +... víi ( 1;1)x ∈ − tháa m·n: 
 2(1- ) - 1x y xy′ = víi ( 1;1)x∀ ∈ − . T×m c¸c hÖ sè: 0 1 2 na ,a ,a ,...,a . 
-----HÕt----- 
(§Ò gåm 01 trang) 
§Ò chÝnh thøc 
Nguyễn Văn Xá ðề 18 
ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH 2008 – 2009 
Bài 1: (8 ñiểm) 
 a. Giải phương trình 4 4 4 6x x x x+ − + + − = . 
 b. Tìm các giá trị của a ñể hệ sau có ñúng 2 nghiệm 
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y a
x y
 + = +

+ =
. 
Bài 2: (6 ñiểm) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1). 
 a. Viết phương trình ñường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC. 
 b. Giả sử M là ñiểm chuyển ñộng trên (T). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC 
thuộc một ñường tròn cố ñịnh. Viết phương trình ñường tròn ñó. 
Bài 3: (2 ñiểm) Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mc lần lượt là ñộ dài các ñường trung tuyến 
thuộc các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và có mc = 
3
2
c . Chứng minh rằng: 
ma + mb + mc = 
3 ( )
2
a b c+ + . 
Bài 4: (4 ñiểm) Cho hai số thực x, y dương thoả mãn ñiều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức: 2 2
1 1 4P xy
x y xy
= + +
+
. 
Nguyễn Văn Xá ðề 19 
THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 
LỚP 12 BẮC NINH 2008 
Bài 1 
 Tính gần ñúng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) = 5x – 3 + 210 8x x− − . 
Bài 2 
 Tính gần ñúng (ñến ñộ, phút, giây) nghiệm của phương trình 
3cos2x + 4cos3x = 1. 
Bài 3 
 Với mỗi n∈N* ñặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 và an = (1). (3)...(2 1)(2). (4)... (2 )
f f n
f f f n
−
. Tính gần 
ñúng 2009a2008. 
Bài 4 
 Dự ñoán lim( sin 1)nn
n
+ . 
Bài 5 
 Giải gần ñúng phương trình 
2
3 0
2
x xe sinx− + − = . 
Bài 6 
 Một ñất nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kì ñều 
khác nhau và không có ba sân bay nào thẳng hàng. Cùng một thời ñiểm từ mỗi sân 
bay có một chiếc máy bay cất cánh và bay ñến sân bay nào gần nhất. Trên bất kì 
sân bay nào cũng không thể có quá n máy bay bay ñến. Tìm n. 
Bài 7 
 Hình chóp tứ giác ñều có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm mặt cầu nội 
tiếp. Tính gần ñúng góc giữa mặt bên và mặt ñáy. 
Bài 8 
 Giải gần ñúng hệ phương trình 
( ) 6
( ) 30
( ) 12
xy x y
yz y z
zx z x
+ =

+ =
 + =
. 
Bài 9 
 Trên bảng có 2008 số 1 2 2008, ,...,
2008 2008 2008
. Mỗi lần xóa ñi hai số a và b ở bảng 
ñó người ta viết vào bảng số (a + b – 2ab). Hỏi sau 2007 lần xóa như vậy số còn 
lại trên bảng là số nào ? 
Bài 10 
 Cho hai ñường tròn (O1 ; R1), (O2 ; R2) cắt nhau. Biết rằng O2 nằm trên (O1 ; 
R1) và diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích của hình tròn 
(O1 ; R1). Tính gần ñúng tỉ số 1
2
R
R
. 
Nguyễn Văn Xá ðề 20 
THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA 2008 
Câu 1 
 Hãy xác ñịnh số nghiệm của hệ phương trình 
2 3
3 2
29
log .log 1
x y
x y
 + =

=
. 
Câu 2 
Cho △ABC có BEC∠ là góc nhọn, với E là trung ñiểm của AB. Trên tia EC 
lấy ñiểm M sao cho BME ECA∠ = ∠ . Kí hiệu BECα = ∠ . Tính tỉ số MC
AB
 theo α . 
Câu 3 
 ðặt m = 20082007 . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n < m và n(2n + 
1)(5n + 2) chia hết cho m? 
Câu 4 
 Cho dãy số thực ( )nx xác ñịnh bởi 1 2 2
10; 2; 2 , 
2n
n
x
x x x n+
−
= = = + ∀ ∈ℕ*. Chứng 
minh dãy số có giới hạn hữu khi n → + ∞ . Tìm giới hạn ñó. 
Câu 5 
 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối ña 2008 chữ 
số và trong ñó có ít nhất 2 chữ số 9 ? 
Câu 6 
 Cho ba số thực không âm x, y, z ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 1( )( 4.( ) ( ) ( )xy yz zx x y y z z x+ + + + ≥− − − 
 Dấu bằng xảy ra khi nào ? 
Câu 7 
 Cho △ABC, trung tuyến AD. Cho ñường thẳng d vuông góc với AD. Xét 
ñiểm M ∈ d. Gọi E, F lần lượt là trung ñiểm của MB, MC. ðường thẳng ñi qua 
E và vuông góc với d, cắt AB ở P. ðường thẳng ñi qua F, vuông góc với d, cắt 
AC tại Q. Chứng minh ñường thẳng ñi qua M vuông góc với PQ luôn ñi qua một 
ñiểm cố ñịnh khi M di ñộng trên d. 
Nguyễn Văn Xá ðề 21 
UBND TØNH B¾C NINH 
Së gi¸o dôc Vµ §µo t¹o 
 ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh 
N¨m häc: 2009-2010 
m«n thi: to¸n - líp 12 - thpt 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót ( kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
 Ngµy thi 14 th¸ng 4 n¨m 2010 
C©u 1 (3,0 ®iÓm) 
1/ Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
sin x sin 2x sin 3x 3
cos x cos 2x cos3x
− +
=
− +
2/ Cho bÊt ph−¬ng tr×nh: 
2
5 5 5log (5 x ) log x log (25x )4 6 m.3− ≤ (víi m lµ tham sè). 
a) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho, khi m = 2. 
b) X¸c ®Þnh m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x > 1. 
 C©u 2 (4,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = 
2
2
x 3x 1
x 1
− +
+
1/ Chøng minh r»ng hµm sè ®· cho cã duy nhÊt ®iÓm cùc trÞ, ®ã lµ ®iÓm cùc tiÓu. 
2/ §å thÞ hµm sè ®· cho c¾t trôc hoµnh Ox t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. TÝnh 
cosin cña gãc t¹o bëi c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ t¹i B cña ®å thÞ hµm sè ®· cho (víi kÕt 
qu¶ ®−îc rót gän). 
 C©u 3 (3,0 ®iÓm) 
 1/ T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng n tho¶ m·n: 
n
0 1 n
n n n
1 1 ( 1) 1C C ... C .
2 3 n 2 42
−
− + + =
+
 2/ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
1 2
2 3
3 4
4 1
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
x x
x x
x x
x x
pi
pi
pi
pi
 =

=

=

=
 C©u 4 (6,5 ®iÓm) 
Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, víi 
AB = 1 vµ AA’ = a. 
 1/ TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn BDB’C’. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng DC’ 
vµ AC. 
2/ Khi a thay ®æi, h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng B’D vµ mÆt 
ph¼ng (BDC’). 
 C©u 5 (3,5 ®iÓm) 
 1/ Chøng minh r»ng víi mäi Rx ∈ ta ®Òu cã: 3 ≤ 
2 2
sin x cos x 22 2 2
+
+ ≤ 
 2/ T×m ( )2 2lim cos cos sin sin nn n
x
α α α α
→+∞
+ víi (0; )
2
pi
α ∈ . 
-------------------HÕt -------------------- 
(§Ò thi gåm 01 trang) 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..............................................Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1:.................... 
Sè b¸o danh :......................................................Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: ................... 
§Ò chÝnh thøc 
Nguyễn Văn Xá ðề 22 
ðỀ CHÍNH THỨC 
Câu 1:(5 ñiểm) 
1/ Cho hàm số 3y x 3x 2= − + có ñồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên 
(T), tiếp tuyến của (T) tại các ñiểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các ñiểm A’, B’, C’ (tương 
ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng. 
2/ Cho hàm số 2n 1y x 2011x 2012 (1)+= + + , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 
ñồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại ñúng một ñiểm. 
Câu 2:(5 ñiểm) 
1/ Giải phương trình: ( )2 4 6 3 5 7log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈ℝ . 
2/ Giải phương trình: ( ) ( )2 21 15x 6 x x
5x 7 x 1
− − = − ∈
− −
ℝ . 
Câu 3:(3 ñiểm) 
 Kí hiệu knC là tổ hợp chập k của n phần tử ( )0 k n; k,n≤ ≤ ∈ℤ , tính tổng sau: 
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010S C 2C 3C ... 2010C 2011C= + + + + + . 
Câu 4:(5 ñiểm) 
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có ñáy ABCD là hình bình hành, ( )AD 4a a 0= > , các 
cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng 
(SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất. 
2/ Cho tứ diện ABCD có  0 0BAC 60 ,CAD 120= = . Gọi E là chân ñường phân giác trong góc 
A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông. 
Câu 5:(2 ñiểm) 
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 2x y+ ≤ pi . Chứng minh rằng: 
( )cos x cos y 1 cos xy+ ≤ + . 
 HẾT 
(ðề thi gồm có 01 trang) 
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2010 – 2011 
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT 
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao ñề) 
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011 
================ 
Nguyễn Văn Xá ðề 23 
Nguyễn Văn Xá ðề 24 
Nguyễn Văn Xá ðề 25 
Câu 1. (5,0 ñiểm) Cho hàm số ( )3 2 1 1y x x= + + . 
1. Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )1 biết tiếp tuyến này vuông góc với 
ñường thẳng d có phương trình 5 1 0x y+ − = . 
2. Tìm m ñể ñường thẳng ∆ có phương trình ( )1 1y m x= + + cắt ñồ thị hàm số ( )1 tại ba 
ñiểm phân biệt ( )0;1 , ,A B C , biết hai ñiểm ,B C có hoành ñộ lần lượt là 1 2;x x thỏa mãn: 
( ) ( )3 31 1 2 2
2 2
2 1
2 2
1
1 1
x m x x m x
x x
− + − +
+ = −
+ +
. 
Câu 2. (5,0 ñiểm) 
1. Giải phương trình: 
( ) ( )22 sin cos 1 2sin 2
1 tan
sin 3 sin 5
x x x
x
x x
− +
= −
+
. 
2. Giải hệ phương trình: 
( )
( )
( )2 2
2
2 2 2
log log 2 .2
, .
2log 6log 1 log 3 3 0
x xx x y
x y
x y x x y
 + = +
∈
− + − + + =
ℝ 
Câu 3. (2,0 ñiểm) Tính tổng: 
2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1
.2. .2 . ... .2 .
2 3 2014
S C C C C
− − −
= + + + + . 
Câu 4. (4,0 ñiểm) 
 1.Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ba ñiểm ( )1;1A , ( )3;2B , ( )7;10C . Lập phương trình 
ñường thẳng ∆ ñi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C ñến ñường thẳng ∆ lớn nhất. 
 2. Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho hai mặt cầu ( ) ( )22 21 : 1 4S x y z+ + − = 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 : 3 1 1 25S x y z− + − + + = . Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao 
tuyến là một ñường tròn. Tính bán kính ñường tròn ñó. 
Câu 5. (3,0 ñiểm) 
 Cho hình chóp tam giác ñều .S ABC có cạnh ñáy bằng 1. Gọi ,M N là hai ñiểm thay ñổi 
lần lượt thuộc các cạnh ,AB CD sao cho mặt phẳng ( )SMN luôn vuông góc với mặt phẳng 
( )ABC . ðặt ,AM x AN y= = . Chứng minh rằng 3x y xy+ = , từ ñó tìm ,x y ñể tam giác 
SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất. 
Câu 6. (1,0 ñiểm) 
 Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3 3 3a b c a b c+ + = + + . Chứng minh rằng 
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1a b c
+ + ≥
+ + +
. 
------------------------Hết------------------------ 
(ðề thi gồm có 01 trang) 
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2012 – 2013 
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT 
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) 
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013 
================ 
ðỀ CHÍNH THỨC 
Nguyễn Văn Xá ðề 26 
SỞ GIÁO DUC̣ VÀ ĐÀO TAỌ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HOC̣ 2012-2013 
 MÔN THI: TOÁN 
 Ngày thi: 18 - 10 - 2012 
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. 
Bài 1. (4 điểm) 
Giải hệ phương trình 
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
  

     
Bài 2. (4 điểm) 
Cho dãy số ( )nu xác định bởi 
1
*
1
1
2
3 4
,
2 1
n
n
n
u
u
u n N
u



 
   

Chứng minh dãy số ( )nu có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Bài 3. (4 điểm) 
Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 
1 1 1
1
x y z
   . Chứng minh: 
x yz y zx z xy xyz x y z        
Bài 4. (4 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao ,AH BK nội tiếp đường tròn (O). Gọi 
M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường 
thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F . 
Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm 
của đoạn EF luôn nằm trên một đường thẳng cố định. 
Bài 5. (4 điểm) 
Tìm tất cả các đa thức ( )P x hệ số thực thỏa mãn : 2( ). ( 3) ( ), P x P x P x x    
HẾT 
Nguyễn Văn Xá ðề 27
Nguyễn Văn Xá ðề 28 
Thi HSG QG Việt Nam (ngày 11 và 12 tháng 1 năm 2013) 
1) Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 20y
sin x cos y
x ysin x cos y
.
1 1 20x
sin y cos x
x ysin y cos x

+ +