Một số đề thi giữa kỳ 2 môn Toán Lớp 9

ĐỀ 1
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (1,0 điểm) 	Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
3x + y = 5.
7x + 0y = 21.
Câu 2. (2,5 điểm) 	Giải các hệ phương trình:
Câu 3. (1,0 điểm)	Xác định a, b để hệ phương trình nhận cặp số (1 ; -2) là nghiệm.
Câu 4. (2,0 điểm)	Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
	Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày, tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?
Câu 5. (3,5 điểm)
	Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC.
Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD.
Chứng minh rằng OC vuông góc với DE.
-----HẾT-----
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2018-2019
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
MÔN: TOÁN LỚP 9
Câu 1. (1,0 điểm) 	
3x + y = 5.
Þ	 y = 5 – 3x	0,25
Nghiệm tổng quát của phương trình là (x Î R ; y = 5 – 3x)	0,25
7x + 0y = 21.
Þ	 x = 3	0,25
Nghiệm tổng quát của phương trình là (x = 3 ; yÎ R)	0,25
Câu 2. (2,5 điểm) 	
Cộng từng vế hai pt của hệ ta được, 7x = 14	0,25
Suy ra, x = 2	0,5
Tính được y = 1	0,25
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x = 2; y = 1).	0,25
Hệ pt tương đương 	0,25
Þ x2 = 3	0,25
Þ x = 	0,25
Với x = thì y = 4	0,25
	Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (; 4) và (; 4).	0,25
Câu 3. (1,0 điểm)	
Hệ phương trình nhận cặp số (1 ; -2) là nghiệm khi và chỉ khi:
	0,5 đ	suy ra	0,5 đ
Câu 4. (1,5 điểm)	
0,25đ
 Gọi x, y (chiếc) lần lượt là số áo của tổ thứ nhất và 
	tổ thứ hai mỗi ngày may được. ĐK: x, y nguyên dương
	Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 	 0,5đ
	Giải hệ phương trình trên tìm được: (thỏa mãn đk)	 0,5đ
	Vậy trong một ngày, tổ thứ nhất may được 170 chiếc áo; tổ thứ hai may được 160 chiếc áo.	 0,25đ
Câu 5. (3,5 điểm)
0,25đ
(1,25 điểm)
	Ta có 	 và 	0,25đ
	Do đó	 + 	0,25đ
	Þ Tứ giác AEHF nội tiếp được.	0,25đ
	Ta lại có, 	0,25đ
	Þ E và D cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông	
	Vậy tứ giác AEDB nội tiếp được.	0,25đ
(1,0 điểm)
	Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)	0,25đ
	Hai tam giác vuông ADB và ACK, có:
	 (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)	0,25đ
	Suy ra DABD ∽DAKC (g-g)	0,25đ
	Từ đó ta được, 
AB.AC = AK.AD
AB.AC = 2R.AD	0,25đ
(1,0 điểm)
	Vẽ tiếp tuyến xy tại C của (O)	
	Ta có OC ^ Cx	(1)	0,25đ
	Mặt khác, AEDB nội tiếp
	Þ	0,25đ
	Mà 	 
	Nên	0,25đ
	Do đó	Cx // DE	(2)	
	Từ (1) và (2) ta có: OC ^ DE.	0,25đ
* Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng, đều cho điểm tối đa của phần đúng đó.
---------------------------------------------------
ĐỀ 2
ĐỀ KHẢO SÁT GIỮA KỲ II
NĂM HỌC: 2018-2019
MÔN : TOÁN 9
(Thời gian: 90 phút)
Câu 1 (2 điểm): 
1) Giải hệ phương trình: 
 	2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 – x – 2 = 0. 
Tính giá trị biểu thức P = x12 + x22.
Câu 2 (2 điểm): 
Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.
 	1) Rút gọn biểu thức A.
 	2) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 3 (2 điểm): 
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
 	1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
 	2) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Câu 4 (3.5 điểm): 
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) MA2 = MD.MB
3) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.
Câu 5 (0.5 điểm): 
Giải phương trình: 
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
------o0o------
HƯỚNG DẪN CHẤM.
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
1
0,5
0,5 
2
Phương trình 3x2 – x – 2 = 0 có các hệ số a và c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = và x1.x2 = . 
Do đó P = = .
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1
0,5
0,5 
2
A < 0 .
0,5
0,5 
3
1
Ta có = m2 + 1 > 0, "m Î R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
1
2
Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. 
Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7
(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = .
0,5
0,5
4
0.5
1
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC (2).
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
0,5
0,5
2
Xét ∆MAB vuông tại A có ADMB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
0,5
3
Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5). 
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì (6) với I là giao điểm của CH và MB.
Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
5
Điều kiện: (*)
 (vì )
.
Đối chiếu với điều kiện (*) thì chỉ có x = 2 thỏa mãn.
0.5
ĐỀ 3
Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình và hệ pt sau.
a) 
b) x2 – 5x + 6 = 0 
c) x4 – 10x2 + 9 = 0
d) x+5 - 7 = 0
Bài 2 (2,0 điểm).
Cho phương trình , ( là ẩn số và là tham số).
a) Giải phương trình khi .
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và với mọi .
Bài 3 ( 1,5 điểm)
Có hai loại quặng sắt: quặng loại I và quặng loại II. Khối lượng tổng cộng của hai loại quặng là 10 tấn. Khối lượng sắt nguyên chất trong quặng loại I là 0,8 tấn, trong quặng loại II là 0,6 tấn. Biết tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại I nhiều hơn tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại II là 10%. Tính khối lượng của mỗi loại quặng?
Bài 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa mật phắng chứa nửa đường tròn tâm O có bờ là AB vẽ tia tiếp tuyến Ax. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a. Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b. Chứng minh: MA2 = MD.MB
c. Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH
 Đáp án
Bài
Hướng dẫn chấm
Điểm
1
a. 
1
b) x2 – 5x + 6 = 0 (a = 1; b = -5; c = 6)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; 
0,5 đ
0,5đ
c) c) x4 – 10x2 + 9 = 0
 Đặt x2 = t sau đó tìm được t = 1; t = 9
 Từ đó tìm được 4 nghiệm của pt : 
 x1 =1; x2 = -1; x3=3; x4=-3
0,5đ
c) d) x+5 - 7 = 0
Tìm được x = 2
0,5 đ
2
Thay m = 8 vào pt (1) ta có: x2 – 8x + 4 = 0 
Vậy với m = 8 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt:
; 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Ta có: 
Vậy PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
0,75đ
0,25đ
3
Gọi khối lượng quặng loại 1 là x ( Điều kiện: 0< x < 10, tấn)
Thì khối lượng quặng loại 2 là : 10 – x (tấn)
Tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại 1 là: 
Tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại 2 là: 
Do tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại 1 nhiều hơn sắt nguyên chất trong quặng loại 2 là 10%
Nên ta có phương trình: 
,
Do đó : 
Vậy khối lượng quặng loại I là 4 tấn, khối lượng quặng loại II là: 
10 – 4 = 6 (tấn).
,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,5điểm
0.25 điểm
4
0.5đ
(1 đ)
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1)
0,25
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). 
0,25
 OM là đường trung trực của AC (2).
0,25
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
0,25
(1đ)
 Ta có ( tính chất tiếp tuyến)
 ∆MAB vuông tại A 
0,25
Lại có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ADMB
0,25
 MA2 = MB.MD (hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB)
0,5
c)(1đ)
 Gọi I là giao điểm của CH và MB. Kéo dài BC cắt Ax tại N.
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 ∆ACN vuông tại C. 
0,25
Lại có MC = MA nên ∆MAC cân =
 = (cùng phụ với )∆MNC cân tại M
 MC = MN, do đó MA = MN (3). 
0,25
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì (4) 
0,25
Từ (3) và (4) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.
0,25
ĐỀ 4
Câu 17. (2đ) Giải các hệ phương trình sau: 
	a/ 	b/ 
Câu 18. (1đ) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, nếu tăng chiều dài 5 mét và giảm chiều rộng 3 mét thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng . Hỏi kích thước khu vườn đó là bao nhiêu ?
Câu 19. (1đ) Cho hệ phương trình : (I) 
 Xác định giá trị của m để nghiệm (x0; y0) của hệ phương trình (I) thỏa điều kiện: x0 + y0 = 1 
Câu 20. (2đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chính giữa cung AC. Tia BM cắt AC tại E cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại F. OM cắt AC tại K.
a)Chứng minh tứ giác AHOK nội tiếp.
b)Chứng minh tam giác CEF cân
c)Chứng minh OM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
17
(2đ)
1/ 	(Mỗi bước biến đổi tương đương được 0,5 điểm)
2/ 	(Mỗi bước biến đổi tương đương được 0,5 điểm)	
1.0
1.0
18
(1đ)
Gọi chiều rộng, chiều dài khu vườn hình chữ nhật lần lượt là x, y (m) 
 (ĐK: 0< x < y < 23) 
Nếu tăng chiều dài 5 m thì chiều dài là: y + 5 (m) 
 Giảm chiều rộng 3 m thì chiều rộng là: x -3 (m)
Theo bài ra ta có hệ phượng trình.
Giải hệ pt ta được: thoả mãn điều kiện
Vậy: chiều rộng khu vườn là 8m; chiều dài là 15m.
0.25
0.25
0.25
0.25
19
(1đ)
Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm (x0;y0) và thỏa x0 + y0 = 1
Ta có :
 Hệ đã cho có nghiệm khi m ≠ -2
Theo điều kiện bài ra ta có: (TMĐK
 Vậy: thì x0 + y0 =1
0.5
0.5
20
(2đ)
Câu a : Tứ giác AHOK nội tiếp
0.5
-M là điểm chính giữa cung AC
=> OM ^ AC tại K => OKA = 900
-AHOK có AHO = OKA = 900 nên nội tiếp
Câu b : DCEF cân
0.5
CM ^ BM (CMB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
CM là tia phân giác của ACF (do M là điểm chính giữa cung AC)
DCEF có CM là đường cao cũng là phân giác nên cân tại C
Câu c: OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DAOB
1.0
ABC = ABO = sđ AC = sđ AM
AOM = sđ AM
=> ABO = AOM 
Mà ABO = sđ AO (vì DABO nội tiếp một đường tròn)
=> AOM = sđ AO (góc AOM có đỉnh O nằm trên đường tròn, cạnh OA là dây và có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn) => OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DABO 
ĐỀ 6
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:a. 	b. 	c. 
Bài 2: Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 3: Cho: Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn 
Bài 4. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn , vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến của đường tròn đó. Biết , .
a. CMR: nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
b. Tính số đo của góc .	c. Tính diện tích hình quạt .
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a. Ta có: 
Vậy hệ pt có nghiệm là: 
b. 
Vậy hệ pt có nghiệm là .
c. ĐK:. Đặt (*) 
Ta có hệ pt: 
Thay vào (*) ta có: 
Vậy hệ pt có nghiệm là: . 
Bài 2: Đổi 3 giờ 45 phútgiờ
Gọi vận tốc xe lửa thứ nhất là (km/h) 
Gọi vận tốc xe lửa thứ hai là (km/h) 
Quãng đường xe lửa thứ nhất đi trong 10 giờ là: 
Quãng đường xe lửa thứ hai đi trong 10 giờ là: 
Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau nên ta có pt: (1) 
Vì xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút nên khi gặp nhau thì thời gian xe thứ nhất đã đi là: (giờ)
Quãng đường xe thứ nhất đã đi là: 
Quãng đường xe thứ hai đã đi là: 
Ta có pt: 
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
Vậy vận tốc xe thứ nhất là . Vận tốc xe lửa thứ hai là 
Bài 3: Ta có: 
 (ĐK: )
Để hệ pt có nghiệm thỏa mãn thì 
TH1: (thỏa mãn ĐK: )
TH2: (vô lý)
Vậy với thì hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa mãn . 
Bài 4: a. Tứ giác có: (t/c của tiếp tuyến)
Nên: . Suy ra: tứ giác nội tiếp 
Hay: . Nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 
Do đó: Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của AO.
b. có: (t/c của tt) và 
Nên: đều. Hay: . Tứ giác nội tiếp (cm a) 
Do đó: (2góc nt cùng chắn của đường tròn ngoại tiếp ). 
c. Tứ giác nội tiếp (cmt) 
Nên: 
Do đó: 
Suy ra: sđ 
Vì vậy: sđ sđ 
Do đó: Squạt 
d. Xét và có:
 (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn ) và chung
Do đó: .
Suy ra: . Nên: không đổi khi M di động trên cung nhỏ .