Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Toán 10 - Bài: Hệ trục tọa độ (Có lời giải)

§➍. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chương 1:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
 ➊.Trục và độ dài đại số trên trục
Trục toạ độ (O;)
Toạ độ của điểm trên trục: Cho M trên trục (O;). 	
k là toạ độ của MÛ
Độ dài đại số của vectơ: Cho A, B trên trục (O;). 
a = Û 
² Nhận xét:
 cùng hướng Û>0
ngược hướng Û<0
 Nếu A(a), B(b) thì =b–a
 AB = 
 Nếu A(a), B(b), I là trung điểm của AB thì 
 ➋. Hệ trục toạ độ
ⓐ.Định nghĩa: 
Hệ trục toạ độ 
O : gốc toạ độ
Trục : trục hoành Ox
Trục : trục tung Oy
 là các vectơ đơn vị 
Hệ còn kí hiệu Oxy
Mặt phẳng toạ độ Oxy.
ⓑ. Toạ độ của vectơ
 = (x; y) Û 
Cho = (x; y), = (x¢; y¢)
C Û 
Mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết toạ độ của nó
ⓒ. Toạ độ của điểm
M(x; y) Û = (x; y)
Nếu MM1 ^ Ox, MM2 ^ Oy thì x = , y = 
Nếu M Î Ox thì yM = 0
M Î Oy thì xM = 0
ⓓ. Liên hệ giữa toạ độ của điểm và vectơ trong mặt phẳng 
Cho A(xA; yA), B(xB; yB).
 = (xB – xA; yB – yA)
 ➌.Toạ độ của các vectơ 
Cho =(u1; u2), =(v1; v2).
= (u1+ v1 ; u2+v2)
= (u1– v1 ; u2–v2)
k= (ku1; ku2), k Î R
Nhận xét: Hai vectơ =(u1; u2), =(v1; v2) với ≠ cùng phương Û $k Î R sao cho:
➍.Toạ độ của trung điểm đoạn thẳng, của trọng tâm tam giác
ⓐ. Cho A(xA; yA), B(xB; yB). I là trung điểm của AB thì:
xI = , yI = 
ⓑ. Cho DABC với A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). G là trọng tâm của DABC thì:
Phân dạng bài tập
Ⓑ
①. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục 
²Phương pháp: Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
Trên trục , điểm có tọa độ 
Trên trục , vecto có tọa độ 
Vectơ có độ dài đại số là 
Nếu lần lượt là tọa độ của thì 
Tọa độ trung điểm của đoạn là: 
Các tính chất:
Q. Bài tập minh họa:
Trên trục tọa độ cho 2 điểm có tọa độ lần lượt là Tọa độ của vecto là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: 
Trên trục tọa độ cho 2 điểm có tọa độ lần lượt và . Tọa độ trung điểm của là :
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Tọa độ điểm là: 
Trên trục cho 3 điểm có tọa độ lần lượt là . Tìm điểm sao cho
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D
Gọi điểm có tọa độ là .
Trên trục , cho ba điểm lần lượt có tọa độ là . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn .
A. .	B. .	C. 	D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi điểm có tọa độ là .
②. Dạng 2: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục 
²Phương pháp: Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
Để tìm tọa độ của vectơ ta làm như sau
Dựng vectơ . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên . Khi đó với 
Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ 
Nếu biết tọa độ hai điểm suy ra tọa độ được xác định theo công 
thức 
Q. Bài tập minh họa:
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho điểm . Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với qua trục hoành?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
 đối xứng với qua trục hoành suy ra .
Câu 2:Vectơ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 3:Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ đối nhau.
B. Hai vectơ đối nhau.
C. Hai vectơ đối nhau.
D. Hai vectơ đối nhau.
Lời giải
Chọn C
Ta có: và đối nhau.
Câu 4:Trong hệ trục tọa độ , cho hình vuông tâm I và có . Biết điểm thuộc trục và cùng hướng với . Tìm tọa độ các vectơ ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt
phẳng tọa độ như hình vẽ bên.
Vì điểm suy ra 
Do đó 
Vậy 
③. Dạng 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng 
²Phương pháp: 
Dùng công thức tính tọa độ của vectơ
Với ; và số thực , khi đó và 
Q. Bài tập minh họa:
Trong hệ trục , tọa độ của vec tơ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn	D
Ta có: .
Cho Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. và ngược hướng.	B. cùng phương.
C. và cùng hướng.	D. cùng phương.
Lời giải
Chọn	C
Ta có và 
Xét tỉ số và không cùng phương. Loại A
Xét tỉ số không cùng phương. Loại B
Xét tỉ số và cùng hướng.
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn	C
Ta có: .
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn	C.
Ta có: .
④. Dạng 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình
²Phương pháp: 
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức
 M là trung điểm đoạn thẳng suy ra 
 G trọng tâm tam giác suy ra 
Q. Bài tập minh họa:
Câu 1 :Trong hệ tọa độ cho tam giác có Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D
Ta có 
Câu 2: Trong hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm là gốc tọa độ Tìm tọa độ đỉnh ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
Gọi .
Vì là trọng tâm tam giác nên 
Câu 3: Cho lần lượt là trung điểm các cạnh của . Tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: BPNM là hình bình hành nên .
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có và thuộc trục , trọng tâm của tam giác nằm trên trục .Toạ độ của điểm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: thuộc trục , nằm trên trục 
 là trọng tâm tam giác nên ta có: 
Vậy .
Câu 5: Cho tam giác với và. Tính toạ độ điểm là của chân đường phân giác
trong góc , biết .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Theo tính chất đường phân giác: 
Gọi .
Suy ra: .
Vậy 
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho và . Xác định tọa độ các điểm , sao cho tứ giác là hình bình hành biết là trọng tâm tam giác . Tìm tọa tâm của hình bình hành .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B
Vì I là trọng tâm tam giác nên
Suy ra 
Tứ giác là hình bình hành suy ra
Điểm O của hình bình hành suy ra O là trung điểm AC do đó
Bài tập rèn luyện
Ⓒ
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Cho các vectơ . Điều kiện để vectơ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ của vectơ là
A. .	B. .
C. .	D. .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ trọng tâm của tam giác là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hai điểm và .Tọa độ điểm sao cho là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chữ nhật có . Độ dài của vec tơ là:
A. 9.	B. 5.	C. 6.	D. 7.
Cho hai điểm và . Vec tơ đối của vectơ có tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho. Điểm thỏa , tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. đối nhau.	B. cùng phương nhưng ngược hướng.
C. cùng phương cùng hướng.	D. A, B, C, D thẳng hàng.
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho và. Tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho . Hai vectơ cùng phương nếu
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng , Cho . Khi đó 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng , cho . Nếu thì
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho . Điểm là điểm đối xứng của qua trục hoành. Tọa độ điểm là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho. Cho biết . Khi đó
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho các vectơ . Phân tích vectơ theo hai vectơ , ta được:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho . Vectơ nếu
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng , cho . Tìm giá trị để là ba điểm thẳng hàng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hai điểm . Nếu là điểm đối xứng với điểm qua điểm thì có tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tam giác với . Tìm để là hình bình hành?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho . Điểm sao cho là trung điểm . Tọa độ điểm là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tam giác với . Tìm để là hình bình hành?
A. .	B. .	C. .	D. .
Các điểm , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , của tam giác . Tọa độ đỉnh của tam giác là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có và thuộc trục ,trọng tâm của tam giác nằm trên trục .Toạ độ của điểm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho các điểm . Tìm điểm biết rằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.C
3.D
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
9.B
10.A
11.B
12.B
13.D
14.D
15.C
16.A
17.B
18.B
19.A
20.B
21.A
22.C
23.A
24.D
25.B
26.A
27.B. 
28.A. 
29.B
30.C
31.A. 
32.A. 
Hướng dẫn giải
Câu 1:	 Chọn	B
Ta có: là trung điểm của đoạn thẳng 
Vậy .
Câu 2:	 Chọn	C
Câu 3:	 Chọn	D
Theo công thức tọa độ vectơ .
Câu 4:	 Chọn	C
Ta có: là trọng tâm của tam giác với là điểm bất kì.
Chọn chính là gốc tọa độ . Khi đó, ta có:
.
Câu 5:	 Chọn	B
Ta có: .
Câu 6:	 Chọn	D
Ta có: .
Câu 7:	 Chọn	C
Ta có: .
Câu 8:	 Chọn	B. 
Ta có: .
Câu 9:	 Chọn	B
Ta có vectơ đối của là .
Câu 10:	 Chọn	A
Ta có: .
Câu 11:	 Chọn	B
Ta có: .
Câu 12:	 Chọn	B
Ta có: .
Câu 13:	 Chọn	D
Ta có: .
Câu 14:	 Chọn	D
Ta có: tứ giác là hình bình hành khi .
Câu 15:	 Chọn	C
Ta có: tứ giác là hình bình hành khi .
Câu 16:	 Chọn	A
Ta có: .
Câu 17:	 Chọn	B
Ta có: .
Câu 18:	 Chọn	B
Ta có: cùng phương .
Câu 19:	 Chọn	A
Ta có: .
Câu 20:	 Chọn	B
Ta có: .
Câu 21:	 Chọn	A
Ta có: là điểm đối xứng của qua trục hoành .
Câu 22:	 Chọn	C
Ta có: .
Câu 23:	 Chọn	A
Giả sử . Vậy .
Câu 24:	 Chọn	D
Ta có: .
Câu 25:	 Chọn	B
Ta có: , 
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương với 
.
Câu 26:	 Chọn	A
Ta có: là điểm đối xứng với điểm qua điểm nên là trung điểm đoạn thẳng 
Do đó, ta có: .
Câu 27:	 Chọn	B
Ta có: là hình bình hành .
Câu 28:	 Chọn	A
Ta có: 
 là trung điểm .Vậy .
Câu 29:	 Chọn	B
Ta có: là hình bình hành .
Câu 30:	 Chọn	C
Ta có: là hình bình hành nên .
Câu 31:	 Chọn	A
Ta có: thuộc trục , nằm trên trục 
 là trọng tâm tam giác nên ta có: 
Vậy .
Câu 32:	 Chọn	A
Ta có: