Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trường thpt năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán chuyên thời gian làm bài: 150 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT
NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán chuyên
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
	a) Cho biểu thức . Tìm tất cả các giá trị của x sao cho P > 2.
	b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = mx –1 (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn .
Bài 2: (1,5 điểm)
	a) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a; b) sao cho là số nguyên.
	b) Cho 3 số nguyên dương thỏa điều kiện và . Tìm tất cả các giá trị của c thỏa mãn đẳng thức đã cho. 
Bài 3: (2,5 điểm)
	a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 3
	b) Giải phương trình: 
Bài 4: (3,5 điểm)
	Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm E; đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE tại H và cắt DC tại K. Gọi M là giao điểm của DB và AH.
	a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng.
	b) Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM.
	c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?
	d) Khi , tính độ dài của đoạn HK theo a.
Bài 5: (1,0 điểm)
 Cho 2014 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2014 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2014.
---------------HẾT---------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT
NĂM HỌC 2014-2015
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán chuyên
Bài 1: (1,5 điểm)
	a) Cho biểu thức . Tìm giá trị của x sao cho P > 2.
	b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = mx –1 (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn .
Tóm tắt cách giải
Điểm
a) Với x 3
Vậy 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = mx –1 là –x2 = mx –1 x2 + mx –1 = 0 (*).
Hệ số a và c trái dấu nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu. Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 
Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm x1.x2 = –1
 Do đó 
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 2: (1,5 điểm)
	a) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a; b) sao cho là số nguyên.
	b) Cho 3 số nguyên dương thỏa điều kiện và . Tìm tất cả các số c trong biểu thức đã cho. 
Tóm tắt cách giải
Điểm
a) Với a = 1 không thỏa mãn. Vậy a 2.
Để là số nguyên thì 
 b(a2 – 2 ) = 
 2(a + b). Do đó tồn tại số nguyên dương k sao cho:
2(a + b) = k(ab + 2)
Nếu k2 thì a + b ab + 2 (a – 1)(b – 1) +1 0 vô lý.
Vậy k = 1 thì 2(a + b) = ab + 2 (a – 2)(b – 2) = 2
Ta được: chọn được căp sô (4;3)
Vậy cặp số (a; b) cần tìm là (4; 3) 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b) Từ (1)
Với nên . Từ (1) suy ra là số nguyên dương lẻ. Giả sử với 
* Nếu c là số nguyên dương chẵn thì : với Khi đó ta có: với 
Suy ra vô lý. Do đó c là số nguyên dương lẻ.
* Ta đặt với Suy ra:
 với và A lẻ
Suy ra A là ước lẻ của , tức là ước lẻ của suy ra .
 Ta có . Vậy là giá trị cần tìm.
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 3: (2,5 điểm)
	a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 3
	b) Giải phương trình: 
Tóm tắt cách giải
Điểm
a) Từ điều kiện: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0
(x + y + 2)(x + y + 5) 0
(S 1)(S + 2) 0
 2 S 1
Vậy Smin = 2 khi x = 5; y = 0
 Smax = 1 khi x = 2; y = 0
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b) Giải phương trình (1)
Điều kiện 
* Nhận thấy không thỏa phương trình. 
* Vì thế 
Đặt với 
Ta có phương trình 
+ Với ta có 
+ Với ta có 
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 4: (3,5 điểm)
	Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm E; đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE tại H và cắt DC tại K. Gọi M là giao điểm của DB và AH.
	a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng.
	b) Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM.
	c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?
	d) Khi , tính độ dài của đoạn HK theo a.
Tóm tắt cách giải
Điểm
a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng
Ta có tứ giác ABHD nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng 1800)
Nên (góc nội tiếp cùng chắn )
Suy ra 
Tứ giác DMHK có . 
Do đó tứ giác DMHK nội tiếp . 
Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn )
Mà nên 
BDK có 3 đường cao DH, BC, KM mà DH và BC cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác BDK
Do đó 3 điểm M, E, K thẳng hàng.
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b) Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM
Ta có tứ giác CMBK nội tiếp nên có ( góc nội tiếp cùng chắn )
Ta cũng có tứ giác CEHK nội tiếp (vì có tổng 2 góc đối bằng 1800) nên (góc nội tiếp cùng chắn )
Do đó nên CE là phân giác của 
 Chứng minh tương tự ta cũng có HE là phân giác của 
Suy ra E là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác MCH. Vậy E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MCH.
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?
Ta có ( góc nội tiếp cùng chắn cung AD) 
mà AD = a cố định nên điểm H nằm trên cung chứa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AD. 
Khi E B thì H B, khi E C thì H C.
Do đó khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên cung BC chứa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AD.
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
d) Khi , tính độ dài HK theo a
Khi thì Do đó 
 nên vuông cân tại C. Suy ra CE = CK (1)
Ta có tam giác DHK vuông tại H nên HK = DK. sin300 = (2)
Trong tam giác CDE vuông tại C nên CE = CD. tan300 = (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
HK =
 Vậy: HK =
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 5: (1,0 điểm)
 Cho 2014 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2014 hoặc có một số số mà tổng của nó chia hết cho 2014.
Tóm tắt cách giải
Điểm
Gọi 2014 số tự nhiên đã cho là .
Xét dãy 
 ..............................
Chia tất cả các số hạng của dãy cho 2014 ta có các trường hợp sau: 
Trường hợp 1: Nếu có một số hạng nào của dãy chia hết cho 2014 thì bài toán được chứng minh.
Trường hợp 2: Nếu không có số hạng nào của dãy chia hết cho 2014 thì vì có tất cả 2014 phép chia mà số dư chỉ gồm do đó theo nguyên lý Dirichle có ít nhất hai số hạng của dãy có cùng số dư khi chia cho 2014. Gọi hai số hạng đó là và . Không mất tính tổng quát, giả sử thì 
Lúc đó điều phải chứng minh.
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Ghi chú :
	+ Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh.
	+ Bài Hình học, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó. Vẽ hình sai (về mặt bản chất) nhưng lời giải đúng thì không cho điểm.
	+ Điểm từng câu và toàn bài không làm tròn số.
---------------HẾT---------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT
NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán chuyên
Thời gian làm bài: 150 phút
MA TRẬN ĐỀ 
Phân môn
 Mức độ
Mạch kiến thức
NHẬN BIẾT
THÔNG HIỂU
VẬN DỤNG
CỘNG
Số học
Biểu thức nguyên; phương trình nghiệm nguyên
2a
 1,0
1,5 đ
Tìm số thỏa mãn điều kiện cho trước
2b 
 0,5
Đại số
Căn thức. Biến đổi đồng nhất. Hàm số
1a 
 1,0 
1b 
 0,5 
4,0 đ
Phương trình
3b
 1,5
Bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
3a 
 1,0
Hình học
Đường tròn, tứ giác nội tiếp. Tính toán; chứng minh. Tìm tập hợp điểm
4a,b
 2,0
4c,d
 1,5
3,5 đ
Nâng cao
Nguyên tắc Dirichlé, suy luận logic
5
 1,0
1,0
TỔNG CỘNG
4,5 điểm
5,5 điểm
10,0 đ