Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông năm học 2012 - 2013 môn toán thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

KỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2012-2013
Môn toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu1 (2đ)
 a) Giải phương trình 2x-5=1
 b) Giải bất phương trình 3x-1>5
Câu2 (2đ) 
a) Giải hệ phương trình 
b) Chứng minh rằng 
Câu 3 (2đ) 
Cho phương trình x2 -2(m-3)x – 1 =0
Giải phương trình khi m=1
Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức 
A=x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4 (3đ)
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N.
CMR: DABC=DDBC
CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp.
CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng
Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất.
Câu 5 (1đ) Giải Hệ PT 
---------------------------Hết----------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Thời gian làm bài :150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 1 trang
Câu 1 ( 2,0 điểm)
	Tính giá trị của biểu thức 
Câu 2 ( 2,0 điểm)
	Cho phương trình x2 +mx+1=0 ( m là tham số)
Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Tim m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 Thỏa mãn 
Câu 3 ( 2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình
b)Giải phương trình 
Câu 4( 4 điểm)
	Cho đường tròn (O;R) có dây , M là điểm chuyển động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB nhọn.Gọi H là trực tâm tam giác MAB, C,D lần lượt là giao điểm thứ 2 của AH và BH với đường tròn (O).Giải sử N là giao của BC và AD
Tính số đo góc AOB, góc MCD
Chứng minh CD là đường kính của đường tròn (O) và HN có độ dài không đổi
Chứng minh HN luôn đi qua điểm cố định
Câu 5 (1,0điểm)
Cho x.y.z là các số không âm thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất
----------------Hết---------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 1 trang
Câu 1 ( 2.0 điểm)
Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2+ b2= 2.Chứng minh rằng:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 
2x+2xy+y=5
Câu 2 ( 2,0 điểm)
	Cho phương trình x2 -4x+m2+3m=0 ( m là tham số)
Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Tim m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 Thỏa mãn điều kiện
 đạt giá trị lớn nhất
Câu 3 ( 2,0 điểm)
 Giải phương trình 
Câu 4 ( 4,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O1,R1) và (O2,R2) tiếp súc ngoài tại A (với R1> R2).Gọi AB và AC là hai đường kính của (O1) và (O2).Dây cung MN vuông góc ới BC tại trung điểm H của BC.Giải sử CN cắt (O2) tại tại điểm thứ 2 D.
	a)Chứng minh ba điểm M, A, D thẳng hàng
	b)Chứng minh HD là tiếp tuyến của (O2)
 c)Tính bán kính R của đường tròn tiếp súc ngoài với 2 đường tròn trên và tiếp súc với tiếp tuyến chung của chúng .
Câu 5 ( 1,0 điểm)
	 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng 
----------------------Hết------------------------
Họ và tên thí sinh.............................................................SBD......................
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp 9 THCS năm học 2011-2012
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-----------------------------------------------------------
Câu 1 (3,0 điểm) 
Tìm tất cả các số nguyên dương để hai số và đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Câu 2 (4,0 điểm) 
 	Giả sử là một nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
Câu 4 (7,0 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm di động trên cung lớn (D không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O; R). 
a) Giả sử H là giao điểm của các đường thẳng OM với AB. Chứng minh rằng từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng nếu dây AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi qua trọng tâm G của tam giác MAB.
c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R), gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK và AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, khi biết OM = 2R.
Câu 5 (2,0 điểm)
 Cho các số thực dương thỏa mãn: . Chứng minh rằng 
------------------------------------ Hết --------------------------------------
Chuyên Hùng Vương
Ngày thứ nhất( dành cho mọi thí sinh)
Câu1 (2điểm) a) Giải phương trình 2x-5=1
 b) Giải bất phương trình 3x-1>5
Hướng dẫn
a) 
b) 
Câu2 (2điểm) 
 a) Giải hệ phương trình 
 b) Chứng minh rằng 
HD a) x=2 ; y= -3 
 b) VT ==VP (đpcm)
Câu 3 (2điểm) Cho phương trình x2 -2(m-3)x – 1 =0
Giải phương trình khi m=1
Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức 
A=x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn
a) x1 = ; x2 = 
b)Thấy hệ số của pt : a=1 ; c=-1 => pt luôn có 2 nghiệm
Theo vi-ét ta có x1 + x2 =2(m-3) ; x1x2 = -1
Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 - 3x1x2 = 4(m-3)2 + 3 3
=> GTNN của A = 3 ó m=3
Câu 4 (3điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N.
CMR: DABC=DDBC
CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp.
CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng
Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất.
Hướng dẫn 
Có AB=DB; AC=DC; BC chung => DABC=DDBC (c-c-c)
DABC=DDBC => góc BAC=BDC =90 => ABDC là tứ giác nội tiếp
Hướng dẫn
Có ( DABM cân tại B)
 ( DACN cân tại C)
 gócA1 = gócA4 ( cùng phụ A2;3 )
gócA2 = gócN1 ( cùng chắn AD của (C) )
Lại có 
Mà DAMN vuông tại A => 
 => 
DCDN cân tại C => suy ra 
M; D; N thẳng hàng.
 DAMN đồng dạng DABC (g-g)
Ta có NM2 = AN2 +AM2 để NM lớn nhất thì AN ; AM lớn nhất
Mà AM; AN lớn nhât khi AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C)
Vậy khi AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C) thì NM lớn nhất.
khi đó Tam giác AMN vuông cân tại A có BC là đường trung bình 
Câu 5 (1điểm) Giải Hệ PT 
Hướng dẫn
ĐKXĐ 
Đặt 
phương trình (2) trở thành 
 (2b2-1)a=(2a2-1)b2ab2-a=2a2b-b(a-b)(2ab+1)=0a=b ( vì 1+2ab>0)
nên 2x-y-1=x+2yx=3y+1 thay vào PT (1) ta có 
(3y+1)2-5y2-8y=34y2-2y-2=02y2-y-1=0 nhẩm Vi ét a+b+c=0
ta có y1=1 suy ra x1=4 thỏa mãn ĐK
Hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(4;1)
Chuyên Hùng Vương
Toán Vòng 2
Câu 1 (1,0 điểm)
 Tính giá trị của biểu thức 
Hướng dẫn
Ta có nên 
Do đó 
 A 
Câu 2 (2,0 điểm) 
Cho phương trình (m là tham số).
a) Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
 b) Tìm m để phương trình có nghiệm và thỏa mãn 
Hướng dẫn
a) (0,50 điểm) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy giá trị phải tìm là hoặc 
b) (1,50 điểm) Với điều kiện (*) áp dụng định lý Viet ta có 
Khi đó phương trình có nghiệm và khác 0 và
Kết hợp với điều kiện (*) ta được các giá trị của m là
 hoặc 
Câu 3 (2,0 điểm) 
 a) Giải hệ phương trình 
b) Giải phương trình 
Hướng đẫn
a) (1,00đ) Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Giải hệ phương trình
ta tìm được nghiệm 
Giải hệ phương trình
và kết luận hệ (II) vô nghiệm. 
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm 
b) (1,00đ) Với phương trình đã cho tương đương với
Từ (1) và phương trình đã cho ta suy ra 
Bình phương hai vế của phương trình (2) và rút gọn ta thu được phương trình
Tiếp tục bình phương hai vế của phương trình lần nữa và rút gọn ta được
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0. 
Câu 4 (4,0 điểm) Cho đường tròn có dây cung cố định và Lấy M là điểm di động trên cung lớn sao cho tam giác có ba góc nhọn. Gọi là trực tâm của tam giác và lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng với đường tròn Giả sử là giao điểm của các đường thẳng và 
Tính số đo của các góc và 
b) Chứng minh là đường kính của đường tròn và đoạn thẳng có độ dài không đổi. 
 c) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
H­íng dÉn
a) (1,00đ) Ta có 
Do đó tam giác OAB vuông tại O. Vậy 
Gọi lần lượt là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B của ABM.
Vì nên tam giác vuông cân tại , do đó 
b) (1,50đ) Vì tứ giác nội tiếp nên
Dễ thấy nên tam giác BHC vuông cân tại B.
Vì nên CD là đường kính của đường tròn (O).
Ta thấy BHC và BDN là các tam giác vuông cân nên
 BH = BC, BN = BD
Do đó BHN = BCD (c.g.c) 
Vậy có độ dài không đổi.
c)(1,50đ) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng HN và CD thì trong tứ giác nội tiếp BHIC ta có 
Tương tự 
Gọi E là giao điểm của đường thẳng HN với đường tròn (K) (với E khác I).
thì nên E là điểm chính giữa cung của đường tròn (K).
Vì cố định nên E là điểm cố định.
Vậy HN luôn đi qua điểm E cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
 Cho là các số không âm thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn
Ta có 
Do đó trong 3 số , , có ít nhất một số không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử 
- Nếu thì (do )
- Nếu thì , do đó 
Dễ thấy nên 
Do đó 
Khi đó 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng khi và chỉ khi 
Cách khác
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy
Dãy 1 dãy 2 Ta có 
Ta chứng minh BĐT 
Vế trái không âm nếu vế phải có 3 thừa số hoặc 1 thừa số âm thì BĐT (*) đúng
Vế phải có 2 thừa số âm giả sử trái GT
Trường hợp cả ba thừa số đương áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có 
tương tự 
Từ (1) (2) (3) BĐT (*) được chứng minh
Áp dụng BĐT (*) ta có
Mặt khác Bunhia cho x; y; z và 1;1;1; ta có 
Từ (*) , (**) , (***)ta có 
Chuyên Hùng Vương
Vòng 2 ( Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Câu 1 (2,0 điểm)
 a) Cho là các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng
b)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 
Hướngđẫn
a) (1,00 điểm) Vì nên
Tương tự 
Do đó 
b) (1,00 điểm) Phương trình đã cho tương đương với
Vì x, y là các số nguyên và là số nguyên lẻ, nên
Xét các trường hợp ở (2) ta tìm được 
Kết hợp với (1) ta tìm được giá trị tương ứng 
Vậy giá trị phải tìm là
Câu 2 (2,0 điểm) 
 Cho phương trình 
Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm và thỏa mãn điều kiện đạt giá trị lớn nhất?
Hướng đẫn
a) (1,00 điểm) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Do với mọi m nên
Vậy giá trị phải tìm là 
b) (1,00 điểm) Vì là nghiệm của phương trình nên
Khi đó 
Áp dụng định lý Viet ta có 
Do đó 
Theo kết quả phần a) ta có nên
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 20 khi và chỉ khi m = 1 hoặc 
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 
Hướng đẫn
Phương trình đã cho tương đương với 
Giải phương trình (1) ta tìm được nghiệm 
Giải phương trình (2) và kết luận phương trình (2) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
Câu 4 (4,0 điểm) 
 Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại điểm (với ). Gọi và lần lượt là đường kính của đường tròn và Dây cung của đường tròn vuông góc với tại trung điểm của . Giả sử cắt đường tròn tại điểm thứ hai là 
	a) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
	b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn 
	c) Tính bán kính của đường tròn tiếp xúc ngoài với hai đường tròn trên và với tiếp tuyến chung của chúng. 
(1,00đ) Ta có nên 
Tương tự nên 
Mặt khác tứ giác BMCN là hình thoi nên BM // CN. Mặt khác tứ giác BMCN là hình thoi nên BM // CN.
Do đó 
Vậy ba điểm M, A, D thẳng hàng.
b) (1,50đ) Ta thấy tam giác DMN vuông tại D có DH là đường trung tuyến nên tam giác HDN cân tại H, do đó 
Dễ thấy tam giác cân tại nên 
Vì tam giác HCN vuông tại H nên 
Do đó 
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn 
(1,50đ) Qua tâm O và kẻ các đường thẳng song song với tiếp tuyến chung EF của hai đường tròn ,.
Xét các tam giác vuông ta có
Nhưng do đó 
Ngoài ra, ta còn có đường tròn tiếp xúc ngoài với hai đường tròn , và với tiếp tuyến chung của chúng. Trong hình vẽ trên, ta có thể xem như ở vị trí còn ở vị trí của .
Từ ta suy ra (bằng cách thay bằng R/ và R bằng )
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Hướng dẫn
Ta có 
Vì 1 + b2 2b nên 
Tương tự , 
Do đó (1)
Mặt khác nên (2)
Từ (1), (2) và giả thiết suy ra điều phải chứng minh. 
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi gồm 5 trang)
 Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (3,0 điểm) 
 Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số và đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Giả sử có số nguyên dương n sao cho: (với x, y là hai số nguyên dương và x > y)
Khi đó 
1,5 đ
Lại có và 37 là số nguyên tố nên
Thay x = y + 1 vào (2) ta được: y = 3 là nghiệm duy nhất thoả mãn. Vậy n = 38 là giá trị cần tìm.
1,5 đ
Câu 2 (4,0 điểm) 
 Giả sử là một nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Vì là nghiệm của phương trình nên: 
 . 
1,0 đ
Thay vào biểu thức ta được:
1,0 đ
 = ( vì theo thì )
1,0 đ
1,0 đ
Câu 3 (4,0 điểm)
 a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
a) (2,0 điểm) Phương trình 
Ta có (2) 
1,0 đ
Kết hợp (1) ta tìm được x =1 là nghiệm của phương trình.
1,0 đ
b) (2,0 điểm)
Từ hệ đã cho ta suy ra: 
1,0 đ
Nếu thì: x2 = 1 .
Nếu thì: (không thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 
1,0 đ
Câu 4 (7,0 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm di động trên cung lớn (D không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O; R). 
a) Giả sử H là giao điểm của OM với AB. Chứng minh rằng MH.MO = MC.MD, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng nếu dây AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi qua trọng tâm G của tam giác MAB.
 c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R), gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK và AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, khi biết OM = 2R.
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
a) (2,5 điểm) Vì tam giác AOM vuông tại A có nên 
Mặt khác nên MAC đồng dạng MDA (g.g), do đó
Vậy 
1,5 đ
Khi đó 
Do đó đồng dạng 
Từ đó suy ra OHCD nội tiếp, vì vậy đường tròn ngoại tiếp HCD luôn đi qua điểm O cố định.
1,0 đ
b) (2,5 điểm) Giả sử AC cắt MB tại E, vì nên EBC đồng dạng EAB. Do đó 
1,0 đ
Vì AD // MB nên Do đó EMC đồng dạng EAM
Vậy EB = EM, tức là E là trung điểm của MB.
Tam giác MAB có MH và AE là các đường trung tuyến, nên AC luôn đi qua trọng tâm G của MAB.
1,5 đ
c) (2,0 điểm) Vì OM = 2R nên MAB là tam giác đều, do đó 
Kẻ đường kính MN của đường tròn ngoại tiếp BMI thì trong tam giác vuông IMN ta có (1)
Ta có AK // MO nên đồng dạng (g.g). Do đó 
Dễ thấy nên AK = R và , do đó (2)
1,0 đ
Mặt khác 
Vì nên 
Khi đó , do đó (3)
Vậy đường tròn ngoại tiếp BMI có bán kính 
1,0 đ
Câu 5 (2,0 điểm)
 Cho các số thực dương thỏa mãn: . Chứng minh rằng 
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với
 (1)
Đặt thì và đồng thời bất đẳng thức phải chứng minh trở thành
1,0 đ
 (2)
Ta chứng minh , với 
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
Dấu “=”xảy ra . 
Do đó , với . Dấu “=” xảy ra .
Tương tự ta suy ra
 (3)
Dấu “=” xảy ra .
Ta chứng minh: 
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
Theo bất đẳng thức Cô si ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng.
Dấu “=”xảy ra 
Do đó
 (4)
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu “=”xảy ra hay 
1,0 đ
 ............................. HẾT .................................