Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán ( đề chung ) thời gian làm bài: 120 phút

Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017 
 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 
 Đề chính thức Môn thi: Toán ( ĐỀ CHUNG ) 
 Ngày thi: 06/6/2016 Thời gian làm bài: 120’ 
Bài 1: (1,5 đ) Cho biểu thức: 
    
          
x 1 x 1 x
T . x x
x 1 x 1 x
 ( Với x > 0 ; x ≠ 1) 
1. Rút gọn T 
2. Tìm các giá trị của x để 
1
T 2 x 13
2
  
Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy 
Bài 3: (2 đ) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 
3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được ¼ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn 
thành công việc trong bao lâu? 
Bài 4: (4 đ) Cho đường tròn tâm O và dây AB không phải là đường kính. Vẽ đường kính CD vuông góc 
với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB).M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M không trùng với B và C). 
DM cắt AB tại F. 
a) CM tứ giác CKFM nội tiếp. 
b) Chứng minh: DF.DM=AD2 
c) Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. Chứng tỏ rằng tiếp tuyến tại M của (O) đi qua trung điểm của EF. 
d) Chứng minh: 
FB KF
EB KA
 
Bài 5: (1 đ) : Tìm GTLN của biểu thức:
 
 
 
x 2016 x 2017
A
x 1 x 1
---*--- 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1: ( 2 đ) Cho biểu thức: 
    
          
x 1 x 1 x
T . x x
x 1 x 1 x
 ( Với x > 0 ; x ≠ 1) 
a)Rút gọn T:Với x > 0 ; x ≠ 1 
   
   
      
                 
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1 x 4 x
T . x x . x x x . x x 1 4x
x 1 x 1x 1 x 1 x
b)Với x > 0 ; x ≠ 1, ta có 
1
T 2 x 13 2x 2 x 13 2x 2 x 13 0
2
         Đặt x t 0  , ta được 
pt: 2t
2
-2t-13=0 ....
1
2
1 3 3
t (TM§K)
1 3 3 28 6 3 14 3 32
x x (TM§K)
2 4 21 3 3
t (Lo¹i)
2
 

  
     
 


Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1) 
*Cách 1: Dựa vào điều kiện nghiệm của pt bậc hai: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2y x x y 1 x 2y xy x xy 2y x x 2y y 1 0 x x( 2y y 1) 2y y 1 0
§Æt 2y y a x x(a 1) (a 1) 0(*)
(1)                       
       

Xem (*) là pt bậc 2 ẩn x, đk cần pt(1) có nghiệm x nguyên : là số chính phương 
2 2 2 2 2 2 2k (k N) (a 1) 4(a 1) k a 2a 5 k (a 1) k 4 (a 1 k)(a 1 k) 4                        
Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 
Vì a  Z và k N nên a-1-k  a-1+k và a-1-k ; a-1+k có cùng tính chẵn -lẻ nên chỉ có 1 trường hợp: 
 
a 1 k 2 a k 1 a 1
TM§K
a 1 k 2 a k 3 k 2
         
   
       
-Với a=1 thì 2y2-y=1 2y2-y-1=0 (**) , pt (**) có dạng a+b+c=0 nên có 2 nghiệm:y1=1 (TMĐK) 
; y2= 
c 1
a 2
  (loại) 
Với a=1; k=2 thì pt (*) có hai nghiệm:
2 2
1
2 2
1
a 1 k 1 1 2
x 2
2 2
a 1 k 1 1 2
x 0
2 2
    
  

    
   

 (TMĐK) 
Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1) 
*Cách 2: Đưa về pt tích: 
2y
2
x+x+y+1=x
2
+2y
2
+xy (1)  x2-2y2x+xy+2y2 -x-y=1  x(-2y2+y+x)-(-2y2+y+x)=1 
 (-2y2+y+x)(x-1)=1 
2 2 2
2 2 2
x 2
y 1
x 1 1 x 2 x 2 x 21
y (Lo¹i)
2y x y 1 2y 2 y 1 2y y 1 0 y2
x 0x 1 1 x 0 x 0
y 12y x y 1 2y 0 y 1 2y y 1 0
1
y (Lo¹i)
2
 

                                               
      
                      
 
 
1
x 0
y 1



 


Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1) 
Bài 3: Gọi thời gian làm riêng xong công việc của người thợ thứ nhất là x ( giờ), của người thợ thứ hai là 
y (giờ) . ĐK: x ,y > 16 
 Trong 1 giờ: + Người thợ thứ nhất làm được: 
1
x
 (CV) 
 + Người thợ thứ hai làm được: 
1
y
 (CV) 
 + Cả hai người thợ làm được: 
1
16
 (CV) 
 Ta được pt: 
1
x
+
1
y
=
1
16
 (1) 
 Người thợ thứ nhất làm trong 3 giờ được: 
3
x
 (CV) 
Người thợ thứ hai làm trong 6 giờ được: 
6
y
 (CV) 
Cả hai người thợ làm được: 
1
4
 (CV) 
Ta được pt: 
3 6 1
x y 4
  (2) 
Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 
3
3
2
2
1
1
1
2
1 I EFK
D
C
O
A
B
M
Từ (1) và (2) ta được hệ pt: 
1 1 1
x y 16
3 6 1
x y 4

 


  

 ........................ giải hpt ta được: 
x 24
y 48



 (TMĐK) 
Vậy thời gian làm riêng xong công việc của người thợ thứ nhất là 24 giờ, của người thứ hai là 48 giờ. 
Bài 4: (4 đ) 
 a) CM tứ giác CKFM nội tiếp. 
 CD AB =>CKF = 90
0
 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
Lại có CMF =900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
Suy ra CKF+CMF =180
0
 => Tứ giác ABEF nội tiếp được. 
 b) CMR: DF.DM=AD
2
. 
Ta có: 0DKF DMC 90  Lại có : 1D chung 
=>  DKF DMC g.g  
DF CD
DF.DM DK.CD(1)
DK DM
    
Lại có:  0DAC 90 ( góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn (O));  0AKC 90 => ACD vuông tại A có 
đường cao AK nên: AD2=DK.CD (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra DF.DM=AD2 
 c. Chứng minh: Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) đi qua trung điểm của EF: 
Gọi giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M với AE là I. 
-Ta có: 02 3M M 90  ( vì 
0
OMI 90 ), 
0
2 3E M 90  ( vì 
0
CKE 90 ), lại có 3 3C M ( Vì OC=OM => 
 OMC cân tại C) suy ra 2 2E M => IME cân tại I => IM=IE (3) 
-Ta có: 02M IMF DME 90   , 
0
2 2E F 90  ( vì 
0
DME 90 ) , mà 2 2E M (c.mt) => IMF cân tại I => 
IM=IF (4) 
Từ (3) và (4) suy ra IE=IF =>Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) đi qua trung điểm của EF 
 d) CMR: 
FB KF
EB KA
 
 Ta có: 1 1A M ( góc nội tiếp cùng chắn cung DB) và 1 2F F ( đối đỉnh) 
=>  
FB FD
ADF MBF g.g FB.FA FM.FD(5)
FM FA
      
 Ta có  0DKF MMF 90  và 1 2F F ( đối đỉnh) 
=>  
FM FK
FKD FME g.g FE.FK FM.FD(6)
FE FD
      
Từ (5) và (6) suy ra: FB.FA=FE.FK =>
FB FK FB FK FB FK
FE FA FE FB FA FK EB KA
    
 
Bài 5: (1 đ) : ĐK: x 2017 
 
 
 
 
  
   
   
x 2016 .2017 x 2017 .2016x 2016 x 2017
A
x 1 x 1 x 1 . 2017 x 1 . 2016
Theo BĐT Cô –Si cho hai số không âm, ta có: 
Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 
       
      
      
     
x 2016 2017 x 2017 2016 x 1 x 1 1 1 1
A
22. x 1 . 2017 2. x 1 . 20176 2. x 1 . 2017 2. x 1 . 20176 2016 2017
   
     
 
 
1 2016 2017 2017 2016 2016 2017 2017 2016 2016 2017
A
2 2016 2017 2.2016.2017 8132544
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
2017 x 2016
x 4033
2016 x 2017
 
 
 
 (TMĐK) 
Vậy Amax=
2017 2016 2016 2017
8132544
 khi x=4033