Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán chuyên thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------
Câu 1 (2 điểm). Cho phương trình : ( là tham số). 
	1) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt , .
	2) Cho, là nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 2 (2 điểm). 
	1) Giải phương trình: .
	2) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (4 điểm). BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H.
	1) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
	2) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O; R). Chứng minh tứ giác BHKC là hình bình hành.
	3) Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OA’.
	4) Gọi A1 là trung điểm của EF. Chứng minh R.AA1 = AA’. OA’.
Câu 4 (1 điểm). Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
 x2 - ax +a + 2 = 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = với 0 < x < 2
-Hết-
Ghi chú:
	+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
TUYÊN QUANG
NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN 
TOÁN CHUYÊN
(Có 04 trang)
Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1
(2 điểm)
 1) (*) .
0,5 điểm 
0,25
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 
0,25
2) Ta có: ; .
1,5 điểm
0,5
0,5
. Vậy, giá trị nhỏ nhất của S là: .
0,5
Câu 2
(2 điểm)
1) Giải pt: 
1,0 điểm
 x+2+7 - x +3
0,25
0,25
 (x+2)(7-x) = 8
 x2 - 5x - 6 = 0
0,25
 (thỏa mãn)
0,25
2) Giải hpt: đ/k: xy 
1,0 điểm
Hệ đã cho 
0,25
Giải (2) ta được: 
0,25
Từ (1) &(3) có: 
0,25
Từ (1)&(4) có: 
0,25
Câu 3
(4 điểm)
Vẽ hình chính xác 
0,25
1) Tứ giác BCEF nội tiếp => (cùng bù)
 (cùng bù) 
=> D AEF ~ D ABC.
0,25
0,25
0,25
2) Vẽ đường kính AK =>
 KB // CH ( cùng AB)
 KC // BH (cùng AC) 
=> BHKC là hình bình hành 
0,25
0,25
0,25
0,25
3) Ta có BHKC là hình bình hành 
=> A'H=A'K 
=> OA' là đường trung bình của DAHK
 => AH = 2OA’
0,25
0,25
0,25
0,25
4) Áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hai trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. ta có :
D AEF ~ D ABC => (1) ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC, R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp D AEF)
Ta có: AA’ là trung tuyến của DABC; AA1 là trung tuyến của DAEF.
Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là đường tròn ngoại tiếp DAEF 
Từ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 
Vậy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(1,0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
 x2 - ax +a + 2 = 0
 Đ/k để pt có nghiệm: 0 a2-4a - 8 0 (*)
 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của pt đã cho (giả sử x1x2)
0,25
Theo định lí Viet: 
 (x1-1)(x2-1)=3
 (do x1-1x2-1)
0,25
0,25
Như vậy a = 6 hoặc a = -2 thỏa mãn
0,25
Câu 5
1,0 điểm
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = với 0 < x < 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski:
 (a2 + b2 ) (x2 + y2 ) (ax +by )2
Ta có:
2A = 
=> 2A 
0,25
Suy ra: min 2A = 
0,25
0,25
 Vì 0 < x < 2
Vậy min A = 
0,25
Ghi chú: Thí sinh làm bài không giống đáp án (nếu đúng) vẫn được điểm tối đa theo quy định.