Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2013 - 2014 môn: Toán (chuyên tin) thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Bài 1. (2,0 điểm) 
	Cho biểu thức: 
	a) Tìm điều kiện của để M xác định và rút gọn M.
	b) Tính giá trị của M khi .	
Bài 2. (2,0 điểm) 
	Cho phương trình , m là tham số.
	a) Tìm điều kiện của để phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
	b) Tìm giá trị của m để .
Bài 3. (4,0 điểm)
	Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
	a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
	b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh .
	c) Các đường thẳng MD và AB cắt nhau tại K. Chứng minh .
	d) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.
Bài 4. (1,5 điểm) 
	Cho 3 số thực thoả mãn và biểu thức .
	a) Chứng minh .
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình: .
Họ và tên thí sinh: .................................................Số báo danh: .................................
Chữ ký của giám thị 1: ............................. Chữ ký của giám thị 2: ..............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN (Chuyên Tin)
HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0đ)
a) 
 ĐK xác định của M: 
0,25
0,25
0,5
b) Ta có . Với 
0,25
0,25
 Vậy 
0,25
 Từ đó ta có 
 0,25
 Câu2
(2,0đ)
a) 
0,25
 Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
0,25
 Điều kiện là
0,5
b) Ta có 3 nghiệm của pt (1) là trong đó là 2 nghiệm của
 pt (*) 
0,25
 Khi đó 
0,25
 Áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có 
 Vậy (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy là giá trị cần tìm.
0,5
Câu 3
(4,0đ)
A
M
D
B
O
H
C
K
I
Q
d
a) MA, MB là các tiếp tuyến của (O) 
0,25
 I là trung điểm của CD OI CD 
0,25
 A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO
0,25
 Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO.
0,25
b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB MO là đường trung trực của AB MO AB
 MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1) 
0,25
 sđ đồng dạng với (g.g)
 MC.MD = MB2 (2)
0,25
 Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD 
 đồng dạng với (c.g.c)
0,5
c) (chứng minh trên) tứ giác HCDO nội tiếp 
0,25
Như vậy (vì cân tại O)
 (vì tứ giác HCDO nội tiếp)
0,5
 HK là đường phân giác của 
 ( tính chất đường phân giác trong tam giác).
0,25
d) Gọi Q là giao điểm của AB và OI.
 Hai tam giác vuông MIO và QHO có chung
 đồng dạng với 
0,25
 (R là bán kính (O) không đổi)
0,25
 O, I cố định độ dài đoạn OI không đổi 
 độ dài đoạn OQ không đổi và lại có Q thuộc tia OI cố định
 Q là điểm cố định đpcm.
0,5
Câu 4
(1,5đ)
a) Ta có
0,25
Vì vì theo giả thiết. Vậy bđt (1) đúng. 
 Ta có đpcm
0,5
b) Theo câu a) ta có 
 (vì theo giả thiết), hay 
0,25
 Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có : (2)
0,25
 Do đó 
 Dấu “=” xảy ra khi các dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra 
 Vậy GTNN của P là 3, đạt được khi 
0,25
Câu 5
(0,5đ)
 Ta có . Với điều kiện trên, bình phương 2 vế 
 của phương trình ta được 
 Đặt , pt trở thành 
0,25
 Ta có pt (3) vô nghiệm vì VT(3)do còn VP(3) do 
 Xét pt (2) 
 Kết luận: Pt đã cho có nghiệm duy nhất 
0,25
 Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 3. (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n và các số: (A gồm 2n chữ số 4); (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng là số chính phương. 
Bài 4. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
	b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp .
	c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.
	d) Chứng minh .
Bài 5. (1,0 điểm) Cho 3 số thực thoả mãn .
	Chứng minh .
	Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ..............................
Chữ ký của giám thị 1: .................................Chữ ký của giám thị 2: ...........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 3
(1,0đ)
 Ta có 
0,25
0,25
0,25
 Khi đó 
 Ta có điều phải chứng minh.
0,25
Câu 5
(1,0đ)
 Ta có 
 Theo bđt Cô-si cho 2 số dương ta có . Từ đó
0,25
 Vậy 
0,25
 Chứng minh tương tự ta thu được
 và 
 Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta được 
0,25
 Dấu “=” xảy ra 
0,25
Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm/
____________________________________________________________________________
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT
 TỈNH LÀO CAI	NĂM HỌC: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
 	 MÔN: TOÁN 
 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 Câu I: (2,5 điểm)
1. Thực hiện phép tính: 
2. Cho biểu thức: P = 
a) Tìm điều kiện của a để P xác định	b) Rút gọn biểu thức P.
Câu II: (1,5 điểm) 
1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là:
	a) Hai đường thẳng cắt nhau b) Hai đường thẳng song song.
2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2).
Câu III: (1,5 điểm) 1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 
Câu IV: (1,5 điểm) 
1. Giải hệ phương trình 
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.
Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Chứng mình 
-------- Hết ---------
Câu I: (2,5 điểm)
1. Thực hiện phép tính: 
2. Cho biểu thức: P = 
a) Tìm điều kiện của a để P xác định: 	P xác định khi 	
b) Rút gọn biểu thức P.
P ==
=
== Vậy với thì P = 
Câu II: (1,5 điểm) 1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là:
	a) Để hàm số y = (m+3)x + 4 là hàm số bậc nhất thì m + 3 0 suy ra m -3.
Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau a a’
-1 m+3m -4 
Vậy với m -3 và m -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau.
	b) Đồ thị của hàm số đã cho là Hai đường thẳng song song 
 thỏa mãn điều kiện m -3
Vậy với m = -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.
2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2).
Vì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2) nên ta thay x = -1 và y = 2 vào hàm số ta có phương trình 2 = a.(-1)2 suy ra a = 2 (thỏa mãn điều kiện a 0)
Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2).
Câu III: (1,5 điểm) 1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x1= -1 và x2= 8.
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện .
Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì ’ 0 ó 1 – m + 3 0 ó m 4
Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) và x1. x2 = m – 3 (2)
Theo đầu bài: = 6 (3)
Thế (1) và (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2)2 – 2(m-3)=6 ó 2m =12 ó m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m 4 vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện .
Câu IV: (1,5 điểm) 
1. Giải hệ phương trình 
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.
Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0.
Vậy với m > 0 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.
Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Chứng mình 
Giải.
a) nên tứ giác AMCO nội tiếp
b) . Tứ giác AMDE có
D, E cùng nhìn AM dưới cùng một góc 900
Nên AMDE nội tiếp
c) Vì AMDE nội tiếp nên 
Vì AMCO nội tiếp nên . Suy ra .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 	KHÁNH HÒA	Năm học: 2012 – 2013
 	ĐỀ CHÍNH THỨC	Môn thi: TOÁN 
Ngày thi: 30/6/2012 (Thời gian: 120 phút – không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1: (2 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
	1) Rút gọn biểu thức: A = 
	2) Giải hệ phương trình: 
Bài 2: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parapol (P) : y = .
1. Vẽ đồ thị (P).
2. Xác định các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = x + m2 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) sao cho .
Bài 3: (2 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 1 giờ 3 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB, (O) cắt BC tại điểm thứ hai là D. Gọi E là trung điểm của đoạn OB. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt AC tại F.
	1) Chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp. 2) Chứng minh 
	3) Chứng minh 
	4) Một đường thẳng (d) quay quanh điểm C cắt (O) tại hai điểm M, N. Xác định vị trí của (d) để độ dài CM + CN đạt giá trị nhỏ nhất.
_________HẾT __________
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 2: (2.00điểm) 2) Giải:Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 
 = x + m2 Û - x - m2 = 0 Û x2 – 2x – 4m2 = 0
D’ = 1 + 4m2 > 0 với mọi m
Vật pt luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt, theo hệ thức Viet, ta có: 
 x1 + x2 = 2	(1)
 x1.x2= -4m2	(2)
Theo đề bài ta có: mà y = 
Û Û
Ta có: x1 + x2 = 2 => x1= 2 – x2, ta được: Û 
Ta có: a + b + c = 8 + 20 -28 = 0
Vậy pt có hai nghiệm: x21= 1; x22 = 
	* Với x21= 1=> x11 = 1. Suy ra: -4m2 = 1 (vô nghiệm với mọi m)
* Với x22 = => x12 = . Suy ra: -4m2 = => m = 
Vậy m = thì đường thẳng (d): y = x + m2 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) sao cho .
Bài 3: (2.00điểm) HD: Gọi x, y lần lượt là thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1, 2 ( x, y >)
Ta có hpt: Giải hpt ta có: (x;y) = 
Vậy thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 là : ; vòi 2 là: giờ.
Bài 4 (4.00điểm) 
c) Ta có: DABD vuông tại D: tan = 
DAEF vuông tại A: tan = => 3tan = 
Mà: DAFD # DBEB (gg) => 
Suy ra: tan = 3tan 
d) Ta có: DCMA # DCAN (gg) => CM.CN = CA2 (không đổi)
suy ra: CM + CN nhỏ nhất khi CM = CN Û M trùng với N => d là tiếp tuyến của (O)
	LÊ QUỐC DŨNG
	(GV trường THCS Trần Hưng Đạo, Nha Trang, Khánh Hòa)
PHÒNG GD&ĐT
THÀNH PHỐ HẠ LONG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
DỰ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng:	
	|| + || = |x| + |y|	(xy0)
Bài 2: (5,5 điểm) Giải các phương trình sau:
	a, 10. + - 11. 
	b, 
Bài 3:(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức: 
Bài 4: (2,0 điểm) Cho hệ tọa độ xOy và 3 điểm A(2,5) ;B(-1,-1),C(4,9)
CMR: 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 5: (8,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho:
MAN = MAB + NAD
	1, BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
 2, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
 3, Kí hiệu diện tích của tam giác APQ là S và diện tích tứ giác PQMN là S.Chứng minh rằng tỉ số không đổi khi M và N thay đổi.
________Hết_______
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2010-2011 (Vòng 2)
Bài
Hướng dẫn chấm
Điểm
Bài 1
Ta có: (|| + ||)
= ()+ ()+ 2. ||.||
= . Ta lại có: (|x| + |y|)= x+ 2xy + y = (Vì xy0)
NX để suy ra ĐPCM.
2,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
a
b
ĐK: x khác (1, -1). Đặt = phương trình có dạng :
 hay 
Nếu v =10u thì từ ta tìm được x=3; x=2/3
Nếu v = u thì từ ta tìm được x = 0. So với ĐK và KL: 
Điều kiện căn thức có nghĩa là 
Ta có : 
Nhân cả 2 vế phương trình với ta được :
X = -4 loại do vậy x= -1 là giá trị cần tìm
6,0đ
0,25đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
1,5đ
0,25đ
Bài 3
2yx + x + y + 1 = x+ 2y + xy
 2y(x – 1) – x(x – 1) – y(x – 1) + 1 = 0 (1)
Nhận xét rằng x = 1 không phải là nghiệm của (1) khi đó chia cả 2 vế của (1) cho x – 1 thì (1) tương đương với : (2)
Với x,y nguyên suy ra nguyên nên x – 1 =1 
Thay x = 2 và x = 0 vào (2) và ta có y là số nguyên khi y = 1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên là (2 ; 1) và (0 ; 1)
2,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
Bài 4
Tìm được Phương trình đường thẳng đi qua BC là : y= 2x+1
Chứng minh được :
Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình y = 2x + 1. KL
2,0đ
1,0đ
1,0đ
Bài 5
1
2
3
Từ giả thiết suy ra MAN = 45
Tứ giác ABMP có PBM = PAM = 45 nên tứ giác nội tiếp .Suy ra MPA = 90. Tương tự tứ giác ADNQ nội tiếp và có NQA = 90
Vậy 5 điểm P , Q , M , C , N nằm trên đường tròn đường kính MN
Ta có AMN = APB = AMB
Kẻ AH MM.Dễ thấy :AHM = ABM => AH = AB
Vậy MM luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định.
Do AQN và APM vuông cân tại Q và P nên :
 => 
8,0đ
2,0đ
1,0đ
2,5đ
2,5đ
Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm hoặc lời giải sơ lược, học sinh trình bày lời giải phải chi tiết, chặt chẽ mới đạt điểm tối đa. Học sinh làm bài theo cách khác - nếu đúng được số điểm tương đương. Tổ chấm thảo luận chia điểm thành phần ở mỗi câu (Nếu cần thiết) và ghi biên bản thống nhất trước khi chấm.