Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 năm 2015 - 2016 môn toán thời gian làm bài: 120 phút

 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
 HÀ NỘI N 201 - 2016 
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài I (2,0 điểm) 
Cho hai biểu thức 
3
2
x
P
x



 và 
1 5 2
42
x x
Q
xx
 
 

 với x>0, 4x  
1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9. 
2) Rút gọn biểu thức Q. 
3) Tìm giá trị của x để biểu thức 
P
Q
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 
 Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông 
có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian 
xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. 
Bài III (2,0 điểm) 
1) Giải hệ phương trình 
 
 
2 1 4
3 1 5
x y x
x y x
    

    
2) Cho phương trình : 2 ( 5) 3 6 0x m x m     (x là ẩn số). 
a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. 
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam 
giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. 
Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C 
khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là 
điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần 
lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N. 
1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. 
2) Chứng minh CA.CB=CH.CD. 
3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung 
điểm của DH. 
4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn 2 2 4a b  , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2
ab
M
a b

 
------HẾT------ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 
ĐÁP ÁN 
Bài I 2 0 i 
1) Với x = 9 ta có 
9 3
12
3 2
P

 

2) Với 
1 5 2 ( 1).( 2) 5 2
4 42
x x x x x
Q
x xx
     
  
 
3 2 5 2 2 ( 2)
4 4 ( 2)( 2) 2
x x x x x x x x
x x x x x
     
   
    
3) 
3 3
2 3.
P x
x
Q x x

    (Do bất đẳng thức Cosi). 
Dấu bằng xảy ra khi x = 
3
x
  x = 3 . 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của 
P
Q
 là 2 3 . 
Bài II 2 0 i 
Gọi 1t là thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước. 
Gọi 2t là thời gian tàu tuần tra chạy xuôi dòng nước. 
Gọi V là vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên. 
Ta có : 
1
60
2V
t
  ; 
2
48
2V
t
  
Suy ra: 
1 2 1 2
60 48 60 48
2 2 4
t t t t
       (1) 
 1 2 1t t  (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ : 1 2
1 2
60 48
4
1
t t
t t

  

  
Thế 1 21t t  vào (1) ta được : 
2
2 2
2 2
60 48
4 4 16 48 0
1
t t
t t
      

2 6t   (loại) hay 2 2 22t V   (km/h) 
Bài III 2 0 i 
1) Với điều kiện 1x   , ta có hệ đã cho tương đương: 
7( ) 76( ) 3 1 12
( ) 3 1 5( ) 3 1 5
x yx y x
x y xx y x
      
 
         
1 1 3
1 4 23 1 6
x y x y x
x yx
     
    
      
2) 
a) 2 2 2( 5) 4(3 6) 2 1 ( 1) 0,m m m m m m            
Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 
b) Ta có 1 2 5x x m   và 1 2 3 6x x m  . Để 1 20, 0x x  điều kiện là 5m   và 
2m   2m  (Điều kiện để S >0, P>0) 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 
Yêu cầu bài toán tương đương : 
2 2 2
1 2 1 2 1 225 ( ) 2 25x x x x x x      
2( 5) 2(3 6) 25m m     (Do 1 2 5x x m   và 1 2 3 6x x m  ), m > - 2 
2 4 12 0, 2m m m       m = 2 hay m = -6, m > - 2 2m  
Bài IV (3,5 điểm) 
1) Tứ giác ACMD có 090ACD AMD  Nên tứ giác ACMD nội tiếp 
2) Xét 2 tam giác vuông : ACH và DCB đồng dạng 
(Do có CDB MAB (góc có cạnh thẳng góc)) 
Nên ta có . .
CA CD
CACB CH CD
CH CB
   
3) Do H là trực tâm của ABD 
Vì có 2 chiều cao DC và AM giao nhau tại H , nên AD  BN 
Hơn nữa 090ANB  vì chắn nửa đường tròn đường kính AB. 
Nên A, N, D thẳng hàng. 
Gọi tiếp tuyến tại N cắt CD tại J ta chứng minh JND NDJ . 
Ta có JND NBA cùng chắn cung AN . 
Ta có NDJ NBA góc có cạnh thẳng góc 
 JND NDJ Vậy trong tam giác vuông DNH J là trung điểm của HD. 
4) Gọi I là giao điểm của MN với AB. CK cắt đường tròn tâm O tại điểm Q. 
Khi đó JM, JN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. 
Gọi F là giao điểm của MN và JO. Ta có KFOQ là tứ giác nội tiếp. 
 FI là phân giác KFQ . 
Ta có KFQ KOQ KFI FOI   
 tứ giác KFOI nội tiếp 
 090IKO   IK là tiếp tuyến đường tròn tâm O 
Vậy MN đi qua điểm cố định I (với IK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O) 
Bài 0 i 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) 4 ( 2)( 2) 2
2 2( 2) 2( 2) 2( 2) 2
ab a b a b a b a b a b a b
M
a b a b a b a b
          
    
       
Ta có 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( )a b a b a b a b       
Vậy 
2 22( ) 2 2.4 2
2 1
2 2
a b
M
  
    
Khi 2a b  thì 2 1M   Vậy giá trị lớn nhất của M là 2 1 
-----------------------------HẾT------------------------------ 
A 
B 
C 
D 
M 
N 
I 
K 
O 
J 
Q 
F 
H