Kỳ thi olympic truyền thống 30 - 4 lần thứ XXI đề thi đề nghị môn: Toán ; lớp:11

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ XXI
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MễN:TOÁN ; LỚP:11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP (TỈNH) QUẢNG NAM
TRƯỜNG :THPT CHUYấN Lấ THÁNH TễNG
Cõu 1(4 điểm): Phương trỡnh – Hệ phương trỡnh khụng chứa tham số 
Tỡm tất cả cỏc nghiệm (x,y) với x>0, y> -1 của hệ phương trỡnh : 
Đỏp ỏn cõu 1
+ Khi x=1, (1) đ y+1=0 (!). Hệ khụng cú nghiệm (1,y).
+ Với 0<x<1, (1) viết lai: 
Xột hàm f(t)= t- với t ẻ (0, + ∞)
(*) viết lai: f(y+1)= f()
Vỡ f(t)= t- là hàm đồng biến trờn (0,+∞) và f(y+1)= f() nờn y+1= 
(2) viết lại: (y+1) (4x-)=x đ (4x-)=x 	(3)
Ta giải phương trỡnh (3):
Vỡ 0<x<1, đặt x= sinuđ uẻ(0, p/2).
(3) đ cosu( 4sinu -) = sinu đ 4 sinu.cosu = cosu +sinu
đ sin2u= sin(u+) 
đ 2u= u++k2p hoặc 2u = -u+k2p 
đ u= +k2p hoặc u = + ( k ẻ Z)
Vỡ uẻ(0, ) nờn u = , u = đ x = , x = sin 
Vậy x = , y= - ; x = sin, y = cos-1 là cỏc nghiệm của hệ phương trỡnh thỏa x>0 và y>-1 .
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
Cõu 2: (4.0 điểm): Dóy số – Giới hạn
Cho dóy số (un) thỏa món Tớnh 
Đỏp ỏn cõu 2:
Từ giả thiết suy ra nờn dóy () tăng
Từ 
Do > 0 nờn (2) 
Trong (2) lần lượt thay n = 0;1;2;3; ..;k ta được
Từ (1) và (3) ta cú 
Hay 
Trong (4) thay k = 1;2;3;.;n sau đú cộng lại ta được:
Ta biết nờn 
Lại cú 
Từ (5) và (6) ta cú 
Mà do đú 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0,5
0.5
Cõu 3: (3.0 điểm): Hỡnh học phẳng 
Cho hai đường trũn (O1; R1) và (O2; R2) tiếp xỳc ngoài tại M và cựng tiếp xỳc trong với đường trũn (O; R) lần lượt tại N và P. Trong đường trũn (O) vẽ đường kớnh AB song song với O1O2 ( A và N cựng phớa với OM ), gọi K là giao điểm của AO1 và BO2.
	Chứng minh ba điểm N, P, K thẳng hàng.
Đỏp ỏn cõu 3
Xột phộp vị tự tõm N tỉ số ta cú:
Suy ra 
Hay B; M; N thẳng hàng
Vẽ đường kớnh MOE của (O1) a cũng cú 
Tương tự A;M; P thẳng hàng và MO2 cắt (O2) tại F và F nằm trờn BP
Ta cú suy ra BN và AP là hai đường cao của DAIB ( với I là giao điểm của AN và BP) => IM vuụng gúc AB
Gọi K và H là giao điểm của IM với NP và AB
Ta cú I và M liờn hiệp với hai đường thẳng AB; NP ( theo cỏch dựng cực đối cực) do đú (I;M;K;H) = -1 => (AI;AM;AK;AH) = -1 (1)
Xột chựm đường thẳng (AI;AM; AO1;AH) cú cỏt tuyến ME // AH mà O1 là trung điểm ME nờn (AI;AM; AO1;AH) = -1 (2)
Từ (1) và (2) ta cú A; O1 và K thẳng hàng tương tự B; O2 và K thẳng hàng.
Vậy giao điểm của AO1 và BO2 là K nằm trờn đường thẳng NP.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 4: (3.0 điểm): Đa thức.
Cho đa thức P(x) = xn + an-1xn-1 + ..+ a1x + 1 cú cỏc hệ số là cỏc số thực khụng õm. Biết rằng phương trỡnh P(x) = 0 cú n nghiệm thực . Chứng minh P(2014) ≥ 2015n 
Đỏp ỏn cõu 4
P(x) = xn + an-1xn-1 + ..+ a1x + 1 vỡ ai ≥ 0 nờn P(x) ≥ 1 với mọi x ≥ 0. 
Do đú nghiệm của phương trỡnh P(x) = 0 là những số õm ta ký hiệu cỏc nghiệm đú là 
Khi đú đa thức được viết lại là: 
Ta cú 	
Theo bất đẳng thức AM-GM ta cú
Nờn 
Theo định lý Viet ta cú 
Vậy P(2014) ≥ 2015n 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 5(3 điểm) Số học.
Cho tập X gồm 30 số nguyờn dương lập thành cấp số cộng cú cụng sai d = 4. Hỏi cú thể chia tập X thành hai tập A và B rời nhau sao cho tớch cỏc phần tử của A bằng tớch cỏc phần tử của B. Nếu cú chỉ ra cỏch chia 2 tập A và B đú.
Đỏp ỏn cõu 5
Giả sử X = { n; n + d; n + 2d;; n + 29d} với d = 4
Giả sử X chia được làm hai tập A và B thỏa 
Ta 31 là số nguyờn tố nờn xột quan hệ modulo 31 của 30 số của tập X ta cú hai khả năng xảy ra: 
1/ Trong X cú duy nhất một số là bội của 31giả sử đú là x ẻ X và x chia hết cho 31như vậy x ẻ A hoặc x ẻ B và x chỉ thuộc một trong hai tập đú.
Khi đú 
2/ Trong X khụng cú số nào là bội của 31 như vậy X gồm hệ thặng dư đầy đủ của modulo 31 ( khụng cú phần tử chia hết cho 31)
Mà 
Theo định lý Wilson thỡ 
Nờn như vậy -1 là số chớnh phương mod 31. Vụ lý 
Vỡ 31 cú dạng 4k + 3 mà số -1 chớnh phương mod p khi p cú dạng 4k + 1
Vậy khụng thể chia tập X thành hai tập A; B mà tớch cỏc phần tử của A bằng tớch cỏc phần tử của B.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 6(3 điểm) Tổ hợp.
 Một cõu lạc bộ thể dục thể thao cú 4 mụn là bơi lội, cầu lụng, búng bàn và cờ vua. Một lớp chuyờn toỏn cú 30 học sinh đến cõu lạc bộ mỗi em đăng ký tham gia một trong 4 mụn đú và tất cả cỏc học sinh đều tham gia. Hỏi cú bao nhiờu cỏch đăng ký lựa chọn . 
Đỏp ỏn cõu 6
Gọi a; b; c; d lần lượt là số học sinh đăng ký mụn bơi lội; mụn cầu lụng; mụn búng bàn và mụn cờ vua. ( a; b; c; d ẻ N)
 Theo đề bài ta cú a + b + c + d = 30 (*)
Mỗi sự đăng ký lựa chọn mụn thể thao là bộ số (a;b;c;d) là nghiệm nguyờn của phương trỡnh (*)
Với mỗi bộ ta cú dóy nhị phõn tương ứng như sau:
Như vậy cú song ỏnh giữa số bộ (a;b;c;d) với số dóy nhị phõn gồm 33 ký tự (gồm 30 ký tự 1 và 3 ký tự 0)
 Ta cú số cỏch đặt 3 ký tự vào 33 vị trớ là 
Vậy cú cỏch đăng ký cỏc mụn thể thao của 30 học sinh lớp chuyờn toỏn 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5