Kỳ thi olympic truyền thống 30 - 4 lần thứ XXI đề thi đề nghị môn: Toán học; lớp: 10

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ XXI
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN HỌC; LỚP: 10
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG: THPT GIA ĐỊNH
Câu hỏi 1:
Giải phương trình : 
Đáp án câu hỏi 1:
Phương trình 
Đặt ; . Ta có hệ sau :
 hoặc 
Với hoặc 
Với pt vô nghiệm
Câu hỏi 2:
Tìm tất cả các số n nguyên dương sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương thỏa mãn với mọi 
Đáp án câu hỏi 2:
Kiểm tra với thì đúng
Giả sử rằng có một dãy thỏa mãn cho 
Giả sử rằng lẻ lẻ lẻ chẵn vô lý vì chẵn không thể là ước của là số lẻ . Vậy chẵn. 
Nếu lẻ chẵn lẻ làm tương tự lẻ . Vì và là 2 số lẻ mâu thuẫn với điều từ lẻ . Vậy chẵn
Do lẻ chẵn . Làm tương tự ta có chẵn .
Gọi . Từ trên ta có và 
Ta sẽ chứng minh không có cặp x,y chẵn thỏa mãn điều trên.
Giả sử rằng có cặp số chẵn x, y thỏa mãn điều trên. 
Khi đó . Tương tự 
Gọi d là ước chung của x+1 và y+1 
 là ước của hoặc 
Mà x ; y chẵn lẻ và nguyên tố cùng nhau.
 tồn tại số nguyên dương sao cho (*)
Ta chỉ ra rằng phương trình trên không thể có cặp nghiệm chẵn x, y. Giả sử có cặp số chẵn x, y thỏa (*). Gọi là cặp có nhỏ nhất. 
Ta thấy là nghiệm của phương trình . Gọi là nghiệm còn lại. Ta thấy 
Nếu mà đây là cặp số nguyên tố cùng nhau ( ) vô lý 
Ta thấy lẻ lẻ chẵn và 
Ta lại có 
Vậy cặp lại là 1 nghiệm của (*) nhưng cặp này lại thỏa (vô lý với chuyện giả sử là cặp nhỏ nhất.)
Vậy 
Câu hỏi 3:
Cho tam giácvới các điểm thuộc cạnh sao cho đồng quy. Giả sử đường tròn qua tiếp xúc với đoạn tại sao cho . Chứng minh rằng: Tứ giác nội tiếp.
Đáp án câu hỏi 3:
Bổ đề: Gọi là đường tròn qua và tiếp xúc với đường tròn tại . Tiếp tuyến chung tại cắt tại . Chứng minh: là đường phân giác trong của 
Thật vậy: gọi là giao điểm với đường tròn . Ta có: 
, mà nên . Do đó G là điểm chính giữa của cung . 
Suy ra: . Từ đó ta có điều phải chứng minh
+ Ta có: 
và (do là đường phân giác trong của )
mà . Do đó: nên là hàng điểm điều hòa
+ Vì là hàng điểm điều hòa mà đồng quy nên qua 
Do đó, ta có:
, suy ra: Tứ giác nội tiếp
Câu hỏi 4:
Cho a,b,c là 3 số thực thỏa mãn . CMR: 
Đáp án câu hỏi 4:
Ta có 
Giả sử 
Ta có 
Đặt 
Ta thấy :
Mặt khác : 
Ta có : 
Vậy 
Xét trên . 
Dễ thấy f(t) nghịch biến 
Câu hỏi 5:
Trong một mặt phẳng, có thể tìm được 2015 đường sao cho có đúng 30015 giao điểm từ 2015 đường đó hay không?
Đáp án câu hỏi 5:
Xét 2014 đường thẳng sao cho 2000 đường song song nhau và 14 đường kia đồng quy tại 1 điểm và cắt 2000 đường song song kia. Tổng số các giao điểm là 2000.14 +1 =28001 giao điểm. Chọn đường thẳng thứ 2015 cắt 2014 đường này nhưng không đi qua bất kì giao điểm nào trong số 28001 giao điểm trên. Vậy tổng số giao điểm là 28001 + 2014=30015
Câu hỏi 6:
Trong mặt phẳng tọa độ cho hình bình hành ABCD có đỉnh D(–7;0). Điểm M nằm trong hình bình hành sao cho . Phương trình MB và MC là và . Tìm A thuộc (d): biết tọa độ A nguyên
Đáp án câu hỏi 6:
 . Gọi 
Ta chứng minh được và là hai góc bù nhau. Thật vậy :
Dụng E sao cho ABEM là hình bình hành DCEM là hình bình hành (cùng bằng ) BECM nội tiếp mà (hai tam giác BEC và AMD bằng nhau ) dpcm
Ta có A(2 ;6) (do A có tọa độ nguyên )