Kỳ thi khảo sát học sinh giỏi 6, 7, 8 năm học 2014 - 2015 môn: Toán – Lớp 8 thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT QUẾ SƠN
KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 6,7,8
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN – Lớp 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (2,5 điểm):
Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: a + b + c = 0. Thực hiện:
Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Tính giá trị của biểu thức: A = 
Giải phương trình: (5x +3)3 – (2x +4)3 = (3x – 1)3 
Bài 2 (1,5 điểm):
Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng : 
Cho a, b là hai số dương có a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	A = 
Bài 3 (2,0 điểm):
	Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = c, AC = b, BC = a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau tại O.
Tính độ dài đoạn AE theo a, b, c.
Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông khi 
Bài 4 (2,5 điểm):
	Tam giác ABC có BA > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng :
M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC
Bài 5 (1,5 điểm):
	Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng p2 – 1 chia hết cho 24.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2,5 điểm):
a) - Ta có a + b + c = 0 => a + b = -c => (a + b)3 = (-c)3 
=> a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = -c3
=> a3 + b3 + c3 = - 3ab(a + b) = -3ab(-c) = 3abc (đẳng thức đã được chứng minh)
 - Ta có a + b + c = 0 => a = - b – c => a2 = b2 + 2bc + c2 
=> a2 – b2 – c2 = 2bc
Tương tự: b2 – a2 – c2 = 2ac; c2 – a2 – b2 = 2ac
A = 
 = == (a3 + b3 + c3) = .(3abc)= 
b) Giải phương trình: (5x +3)3 – (2x +4)3 = (3x – 1)3
 (5x +3)3 + (-2x - 4)3 + (-3x + 1)3 = 0
Đặt a = 5x + 3; b = -2x – 4 ; c = - 3x + 1
=> a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc = 0 =>=>=>
Vậy S = { }
Bài 2 (1,5 điểm):
a) Cho a, b là hai số dương
Ta có (a + b)2 ≥ 4ab
a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ 0 (a – b)2 ≥ 0 BĐT cuối đúng vậy BĐT dã cho đúng.
Cho a, b là hai số dương có a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	A = ==
Áp dụng các BĐT và 
	A ≥ = 4 + 2 = 6
	Dấu ‘=’ xãy ra khi a = b =  
Vậy minA = 6 khi a = b =
Bài 3 (2,0 điểm):
	Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = c, AC = b, BC = a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau tại O.
Tính độ dài đoạn AE theo a, b, c.
Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông khi 
a) Theo tính chất đường phân giác ta có:
=>
=> AE =
b) Tương tự AF =
Ta có: 
* 
* 
=> => (a+b+c)2 = 2(a + c)(a + b)
=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2a2 + 2ab + 2ac + 2bc
=> b2 + c2 = a2
=> Tam giác ABC vuông tại A.
Vậy Tam giác ABC vuông tại A khi 
Bài 4 (2,5 điểm):
	Tam giác ABC có BA > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng :
M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC
a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Tam giác BKC có BF là đường cao và cũng là phân giác nên tam giác BKC cân tại B.
Do đó BF là trung tuyến => F là trung điểm của CK
=> DF là đường trung bình của tam giác CKA
=> DF//AK hay DM//BA
Mà D là trung điểm của AC
Nên M là trung điểm của BC
b) Chứng minh: 
Tam giác ABE có DF//AB
=> => 
=> (vì AK = 2DF)
=> (đpcm)
c) Chứng minh: GE//BC
Ta có =>(vì DA = DC)
=> => 
=>=> GE//BC
Bài 5 (1,5 điểm):
	Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng p2 – 1 chia hết cho 24.
Ta có: (p – 1)p(p+1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên tích đó chia hết cho 3.
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 
=>(p – 1); (p+1) là hai số chẵn liên tiếp và (p – 1)(p+1) 3 
=> p2 – 1 8 và p2 – 1 3
Vì (8; 3) = 1 do đó p2 – 1 chia hết cho 24