Kỳ thi học sinh giỏi lần VII năm học 2015 - 2016 môn: Toán - Lớp 8 (thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN VII
 NGA SƠN	Năm học 2015-2016
 Đề chính thức
Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
Câu 1: (3,0 điểm ) 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Cho các số nguyên thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: 
a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết |x| =.
c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm).
Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.
Câu 3 (3,0 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0. 
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 
a) Tính tổng 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi .	
ĐÁP ÁN
Câu
Nội dung
Điểm
1
a) Ta có 
.
0,5
0,5
0,5
b) Đặt ; 
Ta có: 
. Do là số nguyên có tổng bằng 0 và nên 
0,5
0,5
0,5
2a
Biểu thức: 
 Rút gọn được kết qủa: 
1,0
2b
 hoặc 	
 A= hoặc A= 	 
0,5
1,0
2c
 A 0x >2 
0,5
2d
A Z x-2 Ư(-1) x-2{ -1; 1} x{1; 3} 
1,0
3a.
x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0
 (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0
 x = 2; x = - 1
0,75
0,75
3b.
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010
 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 
0,5
0,5
0,5
4
Ta có: P(x)(x-1), (x-3), (x-5)
Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840
1,0
2,0
Bài 5 (6 điểm):
 Vẽ hình đúng (0,5điểm)
 a) ; (0,5điểm) 
Tương tự: ; (0,5điểm)
 (0,5điểm) 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
 (0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm) 
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,5điểm) 
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)
Câu 6 : (1đ)
 Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
 (x, y, z là các số nguyên dương )
 Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)	 0,25
 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
	z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
	z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
	(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2	 0,25
	z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
	xy=2(x+y+x+y-4)
	xy-4x-4y=-8
	(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4	 0,25
 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 
 (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)	 0,25