Kỳ thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán - khối 11 thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

 TRƯỜNG THPT
NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
Số báo danh
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2015 -2016
Môn thi: TOÁN - KHỐI 11
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
.Câu I (4 điểm):
Tính giới hạn limx→12-x2+2015-2016xx-1
Cho hàm số: có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân tại gốc tọa độ O.
Câu II (4 điểm): 
 1. Giải phương trình lượng giác: 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (4 điểm):
 1. Một hộp đựng 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau 
 và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu.
 2. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển với n là số nguyên dương 
 thỏa mãn: 
Câu IV (6 điểm): 
 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có là trung điểm của 
 cạnh Gọi là điểm trên cạnh thỏa mãn và là hình chiếu vuông 
 góc của lên Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết rằng đường thẳng chứa 
 cạnh đi qua điểm BAN = 2CAN và điểm C có hoành độ dương.
 2. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD= 600 ; SO vuông 
 góc với mặt phẳng (ABCD); . Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của DE.
 a) Chứng minh(SOF) SOF (SAD).
 b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
 c) Gọi là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định thiết diện của 
 hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện này.
Câu V(2 điểm): Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
----------------------------- Hết -----------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
MÔN: TOÁN - KHỐI 11
Câu
Đáp án
Điểm
I
1
limx→12-x2+2015-2016xx-1 =limx→12-x2-1+2016-2016xx-1
=limx→12-x2-1x-1-limx→12016(x-1)x-1 = limx→11-x2x-1(2-x2+1)-2016 
limx→1-(x+1)2-x2+1-2016=-2017
0.5
1.0
0.5
2
Gọi là tiếp điểm. 
Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các đường thẳng y = x hoặc y = -x.
Ta có: nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: 
Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x
Do đó: ; ( không là nghiệm phương trình)
. Vậy có hai tiếp điểm là: .
+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d
+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 
0.5
0.5
0.5
0.5
II
1
Vậy pt có nghiệm là , , 
0.5
0.5
0.5
0.5
2
Điều kiện 
Phương trình (1) tương đương với (3)
Đặt , 
Phương trình 3 trở thành; 
Thay vào phương trình (2) của hệ ta được:
, với 
 hoặc (vì).
— Với thì 
— Với thì 
0.5
0.5
0.5
0.5
III
1
Số cách chọn 9 viên bi tùy ý là : 
Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là:
+ Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng chỉ là 8.
+ Không có bi xanh: có cách.
+ Không có bi vàng: có cách.
Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì có cách chọn 9 viên bi đỏ được tính hai lần.
Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là: cách.
0.5
0.5
0.5
0.5
2
+ Với 
Ta có: 
Vậy hệ số của số hạng chứa là : 
0.5
0.5
0.5
0.5
IV
1
Gọi K là điểm đối xứng của C qua AN, F là trung điểm của CK khi đó: và 
Có 
Lại có là hình bình hành suy ra là trung điểm của và kết hợp hay 
Có và suy ra đường thẳng AC có phương trình 
Gọi suy ra AF có phương trình là . Điểm A là giao của AC và AF nên . Điểm B đối xứng với điểm qua 
nên . 
Vậy , và là những điểm thỏa mãn yêu cầu.
0.5
0.5
0.5
0.5
2.a
Tam giác ABD đều nên ; OF//BE (1)
(2)
Từ (1) và (2) 
0.5
0.5
2.b
Kẻ tại H
O là trung điểm của AC nên 
0.5
0.5
0.5
2.c
Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) H là trung điểm của AK
 ;BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N .Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN
MN cắt SF tại trung điểm I MN là đường trung bình của tam giác SAD 
0.5
0.5
0.5
V
Có nên 
trong đó và .
Khi đó 
Lại có theo Cauchy-Schazw thì 
(Vì )
Ta đi chứng minh 
Vậy BĐT (*) được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .
0.5
0.5
0.5
0.5