PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LẦN V NGA SƠN Năm học 2015-2016 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 8 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề) Câu 1: (3,0 điểm ) a) Phân tích đa thức thành nhân tử. b) Cho các số nguyên thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức . Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết |x| =. c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 2 (3,0 điểm). Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015. Câu 3 (3,0 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0. Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. c) Chứng minh rằng: . Câu 5 : (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 1 a) Ta có . 0,5 0,5 0,5 b) Đặt ; Ta có: . Do là số nguyên có tổng bằng 0 và nên 0,5 0,5 0,5 2a Biểu thức: Rút gọn được kết qủa: 1,0 2b hoặc A= hoặc A= 0,5 1,0 2c A 0x >2 0,5 2d A Z x-2 Ư(-1) x-2{ -1; 1} x{1; 3} 1,0 3a. x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0 (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0 x = 2; x = - 1 0,75 0,75 3b. P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 0,5 0,5 0,5 4 Ta có: P(x)(x-1), (x-3), (x-5) Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( 2 –a +6 +a) = 840 1,0 2,0 Bài 5 (6 điểm): Vẽ hình đúng (0,5điểm) a) ; (0,5điểm) Tương tự: ; (0,5điểm) (0,5điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm) -BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,5điểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) Câu 6 : (1đ) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25
Tài liệu đính kèm: