SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 06/04/2016 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I(2,0 điểm) Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm và có hệ số góc là . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là . 1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung. 2) Chứng minh rằng Câu II(3,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: Câu III(4 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh , chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm . Viết phương trình của đường thẳng BC. 2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là . Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng . a) Chứng minh rằng b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc không nhọn. Câu IV(1 điểm) Cho là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . -----------------------Hết----------------------- Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1:..; Chữ ký của giám thị 2:. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu Nội dung Điểm I Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm và có hệ số góc là . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là . 1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung. 1,0 + Đường thẳng (d) có pt: 0,25 + PT tương giao (d) và (P): 0,25 + (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt vì 0,25 + Trung điểm M của AB có hoành độ là ; M nằm trên trục tung 0,25 2) Chứng minh rằng 1,0 Theo Vi et có: 0,25 Ta có: = 0,25 Có 0,25 = , . Đẳng thức xảy ra khi k = 0 0,25 II 1) Giải phương trình: (1) 1,5 Điều kiện: 0,25 (1) 0,25 0,25 Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 là một nghiệm của (*) 0,25 Nếu x>1 thì VT(*)<2<VP(*) 0,25 Nếu x2>VP(*). Vậy (1) có 2 nghiệm x=0; x=1 0,25 2) Giải hệ phương trình: 1,5 0,25 Đặt . Hệ trở thành: (*) 0,25 Hệ Từ đó tìm ra 0,25 Với ta có hệ . 0,25 Với ta có hệ . 0,25 Với ta có hệ . Kết luận: Hệ có 5 nghiệm . 0,25 III 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh , chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm . Viết phương trình của đường thẳng BC. 1,5 Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính IA 0,25 Đường thẳng AD đi qua A và có VTCP là véc tơ pháp tuyến của AD PT đường thẳng AD là: 0,25 A’ thuộc AD và IA’=IA, Tìm được 0,25 A’ là trung điểm cung không chứa A nên IA’BC 0,25 đường thẳng BC đi qua D và có là vecto pháp tuyến 0,25 Từ đó viết được pt đường thẳng BC là: 0,25 2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là . Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng (*) a) Chứng minh rằng 1,5 Viết được công thức các trung tuyến 0,25 (*) 0,25 (**) 0,25 Ta có 0,25 0,25 Từ (**) Hay 0,25 2b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc không nhọn. 1,0 Ta sẽ chứng minh 0.25 Ta có 0.25 * Mặt khác ta có ( trong đó R= OA = OB = OC ). Tương tự có . 0.25 Vậy ( do có (**)) 0.25 IV Cho là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 1,0 * Bđt phụ: Cho các số thực x, y, z > 0, a, b, c là các số thực bất kì. Khi đó (*) Dấu bằng xảy ra khi . + Dễ thấy bđt trên suy ra từ bđt Bunhia * Vào bài chính Ta sẽ chứng minh . 0,25 0,25 Giả sử . Biến đổi . Biến đổi tương tự với 2 số hạng còn lại của P. Sau đó áp dung bđt (*) ta có: 0,25 Ta sẽ chứng minh Bđt cuối cùng đúng, suy ra đpcm. 0,25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Tài liệu đính kèm: