Kỳ thi chọn học sinh giỏi thành phố lớp 8 thcs - Năm học 2007 - 2008 môn : Toán thời gian làm bài: 120 phút

UBND THàNH PHố Huế	kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố
	PHòNG Giáo dục và đào tạo	lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
 	Môn : Toán 
 Đề chính thức 	Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm) 
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
Bài 2: (2điểm) 
Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Hết
Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
đề chính thức
*****
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
 Đề thi này gồm 1 trang
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức
 a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định.
 b) Rỳt gọn A.
 c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trỡnh :
b) Tỡm cỏc số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. 
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tớnh SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5 (2 điểm): 
 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cựng dấu) 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8
trường thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009
môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
B= có giá trị là một số nguyên .
 D=n5-n+2 là số chính phương . (n
Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :
	a) biết abc=1
	b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
	c) 
Câu 3: (5 điểm) giảI các phương trình sau:
	a) 
	b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
	c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương.
câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.
chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
 Chứng minh : 
Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng dường thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác DEF.
-----------------------------------------------hết------------------------------------------------------------------
pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009
Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1 đ)
 Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)
 Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn dương (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
 -a2+a-3
Bài 3: (1 đ)
 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 đ)
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Bài 5: (2 đ) 
 Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
Bài 6: (2 đ)
 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600.
Bài 7: (2 đ)
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a3m+2a2m+am
x8+x4+1
Bài 8: (3 đ) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức :
 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức :
 C=
Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C được Xác định.
 Rút gọn C.
Với giá trị nào của x thì biểu thức C được xác định.
Bài 10 (3 đ) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đường cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
chứng minh AE=AB
Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM.
------------------------------------------------hết---------------------------------------------------------------
UBND THàNH PHố Huế	kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố
	PHòNG Giáo dục và đào tạo	lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
 	Môn : Toán 
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
Câu
Nội dung
Điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 điểm)
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
0,25
0,25
0,25
2.
2,0
2.1
 (1)
+ Nếu : (1) (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu : (1) 
 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là .
0,5
0,5
2.2
 (2)
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 
 (2)
 và .
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm 
0,25
0,5
0,25
Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****
đáp án và hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009
môn: Toán 8
Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x y; y0 	(1 điểm)
A = 2x(x+y)	(2 điểm)
Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A	
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)
+ A = 2 khi 
+ A = 1 khi Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng hạn: 
+ Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2	(0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
 a) 
	(1 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	(0,75 điểm)
x2009 = y2009 = z2009	(0,75 điểm)
Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3
Vậy x = y = z = 3	(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp)	(1 điểm)
- Chứng minh: n5 – n 5
 n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5	(1,25 điểm)
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau.	(0,75 điểm)
Bài 4: 6 điểm
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC	(1 điểm)
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	0,5 điểm
- Từ đó suy ra 	0,5 điểm
* Chứng minh 	(1 điểm)
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	0,75 điểm
- Suy ra 	0,25 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ = 120o = 60o = 30o	0,5 điểm
- Xét EDB vuông tại D có = 30o
	 ED = EB 	0,5 điểm
- Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm2	0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm
- Chứng minh CM.CA = CI.BC	0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi	 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Câu d: 2 điểm
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 	0,5 điểm
	0,5 điểm
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
	1 điểm
Bài 5: (2 điểm)
vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú (*) 
(**). Bất đẳng thức (**) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ)
 Đặt 
 	(0,25đ)	
 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 
	P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1	(0,25đ)
- Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ)
- Nếu x; y trỏi dấu thỡ và t < 0 t – 1 < 0 và t – 2 < 0 
 > 0 P > 1 	(2)	(0,25đ)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y