Kỳ thi chọn học sinh giỏi năm 2016 môn thi: Toán khối 11 thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 
 Môn thi: TOÁN khối 11 
 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (3,0 điểm): Cho phương trình 2 23 4( 1) 2 2 0 (1)x m x m m− − + − + = . Tìm các giá trị của 
tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x phân biệt sao cho 1 2 1 24 4x x x x+ + = 
Câu 2 (2,0 điểm): Giải phương trình 2cos2 2 sin 4 cosx x x= + 
Câu 3 (4,0 điểm): 
 a) Tìm hệ số của số hạng chứa 14x trong khai triển của biểu thức 2 9( ) ( 2 )P x x x x= − thành 
một đa thức ẩn .x 
 b) Trong một kỳ thi chọn học sinh giỏi toán khối 11 của trường THPT Chu Văn An có 52 
học sinh đăng ký dự thi, trong đó có 1 em tên Thành và 1 em tên Đạt. Dự kiến Ban tổ chức 
kỳ thi sẽ sắp xếp 3 phòng thi (phòng 1 và phòng 2 có 18 thí sinh, còn phòng 3 có 16 thí sinh). 
Nếu phòng thi được sắp xếp một cách ngẫu nhiên, hãy tính xác suất để Thành và Đạt ngồi 
thi chung trong một phòng. 
Câu 4 (3,0 điểm): 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng .a Gọi O là tâm của mặt 
đáy ABCD và P là trung điểm của cạnh bên .SD 
a) Chứng minh rằng đường thẳng OP vuông góc với cả hai đường thẳng AC và .SD 
b) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng ( )SAD và ( ).SCD 
Câu 5 (3,0 điểm): 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho hình vuông ABCD có M và N là các điểm tương 
ứng lấy trên cạnh AB và BC sao cho 3 .AM BN NC= = Biết điểm D có toạ độ nguyên, 
điểm (4; 2)N − và đường thẳng DM có phương trình 2 3 0.x y− + = Hãy viết phương trình 
của đường thẳng AN và xác định toạ độ đỉnh D của hình vuông .ABCD 
Câu 6 (3,0 điểm): Giải hệ phương trình 
2 2 2 1 0
3 3 3 3
xy x y xy x y
x y x y
 + + + − − = − = +
Câu 7 (2,0 điểm): 
Cho hai số thực dương a và b thoả mãn 2 2.a b a b+ = + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 8a b
P
b a a b
= + +
+
----- Hết ----- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: .; Số báo danh: .. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN - ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 (KHỐI 11) 
Câu Lược giải Điểm Câu Lược giải Điểm 
1 
− − + − + =2 23 4( 1) 2 2 0x m x m m 
4a 
Chứng minh , OP AC OP SD⊥ ⊥ 
22 5 2 0m m′∆ = − − − > 
( )1
2
2;m⇔ ∈ − − 1,0 
1 2
2
1 2
4( 1)
;
3
2 2
3
m
x x
m m
x x
−+ =
− +=
 1,0 
1 2 1 2
4 4 1x x x x m+ + = ⇔ = ± 0,5 
Đáp số: 1m = − 0,5 
2 
2cos2 2 sin 4 cosx x x= + 
( )
AC BD
AC SBD
AC SO
⊥ ⇒ ⊥ ⊥
AC OP⇒ ⊥ 
0,75 
24 cos 4 cos 3 0x x⇔ − − = 1,0 
1
cos ( cos [ 1;1])
2
x x⇔ =− ∈ − do 0,5 SBD∆ có 
2 2 2 22BD a SB SD= = + 
SB SD⇒ ⊥ 
Kết hợp €OP SB ta suy ra 
OP SD⊥ 
0,75 
2
2 ( )
3
x k k
π
π⇔ = ± + ∈ ℤ 0,5 
3a 
2 9( ) ( 2 )P x x x x= − 
9
19
9
0
.( 2) .k k k
k
C x −
=
= −∑ 1,0 
Cho 19 14 5.k k− = ⇔ = 0,5 
4b 
Tính góc 
(( ),( ))SAD SCD 
Hệ số cần tìm: 5 59 .( 2) 4032C − = − 0,5 
( )
SD OP
SD PAC
SD AC
 ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
SD PA
SD PC
 ⊥⇒  ⊥
 
(( ),( )) ( , )SAD SCD PA PC⇒ = 
0,75 
3b 
Xác suất để Thành, Đạt thi chung phòng 
18 18
52 34( ) .n C CΩ = 0,5 
“Thành, Đạt thi chung P1 hoặc P2” 
( )16 181 50 34( ) 2 .n A C C= × 
0,5 
“Thành, Đạt thi chung Phòng 3” 
18 18
2 50 32( ) .n A C C= 
0,5 Tam giác OPC vuông tại O có 

tan 2
OC
OPC
OP
= = 

54 44 8OPC ′ ′′⇒ ≈  
 Từ đó, 

(( ),( )) 70 31 44SAD SCD ′ ′′≈  
0,75 
Xét biến cố A: 
“Thành, Đạt thi chung phòng” thì 
( )16 18 18 1850 34 50 32( ) 2 . .n A C C C C= × + 
( ) 71
( )
( ) 221
n A
P A
n
= =
Ω
0,5 
P
O
B
A D
C
S
Câu Lược giải Điểm Câu Lược giải Điểm 
5 
Viết phương trình đường thẳng AN 
và tìm toạ độ đỉnh D 6 
TH2 : 2 1 0xy x+ − = 
1
y x
x
⇔ = − , (2) trở thành 
1 1
3 3 3 2x x x
x x
− + = + (3) 
0,5 
Đặt 
1
3 , 2a x b x
x
= = + thì 
, 0a b ≥ và 2 2 1a b x
x
− = − 
0,5 
 3
tan cot
4
BAN AMD= = 
 
90BAN AMD AN DM⇒ + = ⇒ ⊥ 
0,5 
 (3) trở thành 2 23 3a a b b+ = + 
( )( 3) 0a b a b⇔ − + + = 
 (do , 0)a b a b⇔ = ≥ 
0,5 
Từ đó viết được : 2 0AN x y+ = 0,5 Như vậy, 13 2x x
x
= + 
1
3 2 0 1x x x
x
⇔ = + ≥ ⇔ = 
Đáp số: ( ; ) (1;0)x y = 
Gọi H AN DM= ∩ 
Đặt 4 0AB a= > 
3AM BN a⇒ = = 
5AN DM a⇒ = = 
. 12
5
AM AD
AH a
DM
⇒ = = 
13 13
( , )
5 5
HN a d N DM⇒ = = = 
5a⇒ = 
0,5 
0,5 
7 
Cho 2 2, 0, a b a b a b> + = + . Tìm 
GTNN của 
2 2 8a b
P
b a a b
= + +
+
2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( )a b a b a b+ = + ≤ + 
2 2 2a b a b⇒ + = + ≤ 
1 1
2a b
⇒ ≥
+
0,5 
NCD∆ có 2 2(4 )ND a a= + 
217 85ND a⇒ = = 
0,5 
Do , 0a b > nên theo CauChy ta có 
2 2
2 2
a b
b a a b
b a
   
  + + + ≥ +       
2 2a b
a b
b a
⇒ + ≥ + 
2 2 8 8a b
a b
b a a b a b
⇒ + + ≥ + +
+ +
0,5 
Do : 2 3 0D DM x y∈ − + = nên 
( ;2 3)D t t + ( )t ∈ ℤ 
( 4;2 5)ND t t⇒ = − +

0,5 
2 285 ( 4) (2 5) 85ND t t= ⇔ − + + = 
 (do )2t t⇔ = ∈ ℤ 
Vậy (2;7)D 
0,5 
6 
2 2 2 1 0
3 3 3 3 (2)
(1)xy x y xy x y
x y x y
 + + + − − =

 − = +
4 1
4P a b
a b a b
 
⇒ ≥ + + + ⋅  + +
4 1
2 ( ) 4 6
2
P a b
a b
⇒ ≥ + ⋅ + ⋅ =
+
0,5 
2(1) ( 1)( 1) 0y xy x⇔ + + − = 0,5 
TH1 : 1y = − thì (2) trở thành 
3 3 1 3 3 1x x+ = − 
( )3 3 3 1 1 0x x⇔ − − + = 
(vô nghiệm do 3 3 1x x> − ) 
0,5 
Ngoài ra 1a b= = thoả điều kiện 
2 2a b a b+ = + và lúc đó 6P = 
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6. 
0,5 
H
M
N
D C
A B