Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 6; 7; 8 cấp huyện - Năm học 2015 - 2016 đề thi môn: Toán 8 thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; 8
 CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút 
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1. Cho biểu thức A = 
a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b. Tìm để A nhận giá trị là số âm.
c. Tìm giá trị nguyên của để biểu thức (+2).A nhận giá trị là số nguyên.
Câu 2. 
a. Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (với kN*). 
	Chứng minh rằng: 4S + 1 là bình phương của một số tự nhiên.
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Câu 3. 
a. Giải phương trình sau: 
b. Xác định giá trị của m để phương trình: có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1.
c. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	 P = 
Câu 4. Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. Góc quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx, My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a. Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của . 
b. DM là phân giác của . 
c. .
d. Chu vi tam giác ADE không đổi khi quay quanh M.
Câu 5. Trong bảng ô vuông kích thước 88 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô bất kì. Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4 ô được đánh dấu không có điểm chung (hai ô có điểm chung là 2 ô chung đỉnh hoặc chung cạnh).
 -------------- HẾT --------------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ........................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: ........
PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
Năm học: 2015 – 2016
Môn Toán – Lớp 8
Hướng dẫn chung:
-Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
-Câu 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.
Bài
Nội dung
Điểm
1a
ĐKXĐ: x≠ 1
Rút gọn được A = 
0,25
0,75
1b
A < 0 Û x-1 < 0 Û x<1
Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được x<1
0,25
0,25
1c
Ta có: (+2).A == 
Lập luận để suy ra: 
0,25
0,25
2a
Ta có: k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). 
 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Mặt khác: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1
 = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2
Mà k nên k2 + 3k + 1. nên suy ra đpcm. 
0,25
0,25
0,25
0,25
2b
Ta có (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x=1
từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1; 0) (1; 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
3a
 (1)
+ Nếu : (1) (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu : (1) 
 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là .
0,25
0,25
0,25
0,25
3b
Ta có 
 (*)
Vì nên (*).
PT này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi , khi đó nghiệm duy nhất là: . 
Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì 
Giải BPT được (t/m ĐK ) 
KL: Với thì PT có nghiệm duy nhất và nghiệm duy nhất đó không lớn hơn 1
0,25
0,25
0,25
3c
Ta có: 
Theo BĐT Cô Si ta có: dấu “=” khi y=2x;
 Tương tự: dấu “=” khi z=4x;
 dấu “=” khi z=2y; 
=>P 49/16. Dấu “=” xảy ra khi x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Vậy: Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
*Cách khác: HS có thể áp dụng trực tiếp BĐT Svac-xơ (Cô si dạng cộng mẫu) để đánh giá.
0,25
0,25
0,25
4a
Ta có: 
Suy ra: (g.g) vì: 
 (cm trên)
Suy ra: không đổi.
0,5
0,5
4b
Vì nên hay 
Lại có 
Suy ra (c.g.c) 
 suy ra DM là phân giác của . 
0,25
0,25
0,25
4c
Vì nên (1)
Tương tự chứng minh được rồi suy ra (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) được 
0,25
0,25
0,25
4d
Kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với AB, DE, AC tại H, I, K, suy ra MH=MI=MK.
Suy ra DI=DH, EI=EK. Suy ra Chu vi tam giác ADE bằng 2AH.
Vì và BM=a nên BH= . Suy ra chu vi tam giác ADE không đổi và bằng 3a.
0,25
0,25
5
Chia 64 ô vuông của bảng 8x8 thành 4 loại như hình vẽ (Các ô cùng loại được đánh số giống nhau). Khi đó theo cách chia này rõ ràng các ô trong cùng loại sẽ không có điểm chung.
Khi đánh dấu 13 điểm bất kì, thì 13 điểm này sẽ thuộc 4 loại ô vừa chia. Vì 13=4.3+1 nên theo nguyên lí Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất 4 ô thuộc cùng 1 loại, khi đó 4 ô này sẽ không có điểm chung. Suy ra đpcm.
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
0,25
0,25