Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2014 - 2015 môn thi : Toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2014 - 2015
 Ngày thi	: 10/10/2014
 Môn thi	: TOÁN
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
	a) Giải phương trình: .
	b) Giải hệ phương trình: . 
Câu 2 (4,0 điểm).
	a) Cho dãy số được xác định bởi: và 
	. Đặt Tính .
	 b) Tìm các hàm số f xác định và đồng biến trên R thỏa hệ thức sau:
	 với mọi 
Câu 3 (5,0 điểm). 
a) Cho tam giác ABC có , , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và có tổng . Đường cao kẻ từ A và đường phân giác trong góc B cắt nhau tại I, biết I thuộc miền trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
b) Cho tam giác ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CH. Một đường thẳng d di động luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cắt cạnh BC tại N. Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB. Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Câu 4 (3,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
Câu 5 (3,0 điểm). Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
------------- Hết -------------
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT
Câu 1.
5.0
Câu 2.
4.0
1a) Giải PT: (1)
2.5
2a) 
2.0
Điều kiện: .
Ta có: 
Phương trình (3) vô nghiệm do VT(3) > 0.
. 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0, x = 1.
Vậy là dãy tăng
Mặt khác nếu dãy bị chặn trên thì nó sẽ có giới hạn 
Giả sử 
Điều này không thể xảy ra vì 
Vậy 
Ta có 
Do đó 
x
f’(x)
f(x)
0
1
+
4
11
+
Vậy 
2.0
1b) Giải hệ PT (I): 
+ Với y = 0 ta có: x = 0. 
+ Với . Khi đó:
Từ (3) và (4) suy ra:
Thay vào (3) giải tìm được x = 0. Suy ra: y = -1.
Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) là: (0;0), (0;-1).
2.5
2b
Thay vào (1) ta có: 
 (2)
Thay x = y =0 (3)
Từ (2) và (3) (4)
Do f đồng biến trên R nên
Do đó 
Thay x = vào (1) ta được: 
 f (0) =
Từ (5) ta có: f(0) = f(y) – 2y (7)
Từ (6) và (7) ta suy ra: 
Thử lại thấy f(x) = 2x + thỏa yêu cầu đề ra
Câu 3.
5.0
Câu 4.
3.0
a) 
2.5
Dựng đường cao AH, phân giác trong BD cắt nhau tại I
Gọi M là giao điểm của CI và AB
Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
Vì I thuộc miền trong tam gác ABC, nên các góc B, C đều nhọn.
Từ giả thiết, ta suy ra 
Theo định lý Cêva ta có 
do đó M là trung điểm AB
Từ đó suy ra 
Ta xét các trường hợp sau:
+ TH1: Nếu x = 1. Từ (1) ta có: .
+ TH2: Nếu x là số lẻ, x > 1 tức là x = 2k +1, . Khi đó: (1) trở thành: 
 (2)
 Do nên . 
 Từ (2) suy ra: (3)
 Do nên từ (3) suy ra y = 1. Từ (1) suy ra: x = 1 (loại vì x > 1).
+ TH3: Nếu x là số chẵn, x > 1 tức x = 2k, .
 Từ (1) ta có: (4) 
 Từ (4) suy ra: cùng là lũy thừa của 2 
 hay (a > b, a, b là các số nguyên dương).
 Do hay 
 Suy ra: b = 1, a = 2. Do đó: k = 1. Suy ra: x = 3, y = 2.
 Vậy PT có hai nhiệm nguyên dương (x; y) là (1; 1), (3; 2).
Câu 5.
3.0
Bổ đề 1: Với x, y, z bất kì ta luôn có: (1)
Bổ đề 2: Với x, y, z là các số dương ta luôn có: (2)
Dấu đẳng thức trong (1) và (2) xảy ra .
+ Gọi A là vế trái của BĐT cần chứng minh.
 Áp dụng BĐT (1) ta có: (3)
 Áp dụng BĐT (2) ta có: Do đó: (4)
+ Từ (3) và (4) ta có: (Theo BĐT (1))
+ Vậy . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c.
 Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác nhưng vẫn đúng thì ban giám khảo cần thảo luận thống nhất biểu điểm và cho điểm phù hợp với thang điểm.
b) 
2.5
Chọn hệ trục Oxy sao cho , các điểm A, B nằm trên Ox, điểm C nằm trên Oy
Ta có toạ độ các điểm H(0; 0), C(0; c) , A(a; 0) , B(b; 0).
Đường thẳg d có phương trình y = m 	(0<m<c)
(AC) : cx+ay-ac = 0 và (BC) : cx+by = 0
, tương tự 
Điểm P là hình chiếu vuông góc của N trên Ox 
J là trung điểm của đoạn PM
Từ đó ta có và 
Vậy cùng phương , nên ba điểm I, J, K thẳng hàng.