Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học 2013 - 2014 đề thi môn: Toán (dành cho học sinh thpt không chuyên) thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2013-2014 
ĐỀ THI MÔN:TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên) 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2 điểm) Giải phương trình : 
.
Câu 2. (2 điểm)
Chứng minh rằng: .
Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ đôi một khác nhau, 5 bi màu xanh đôi một khác nhau và 6 viên bi màu vàng đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đã cho 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được 7 viên bi có đủ ba loại màu.
Câu 3. (2 điểm) 
Cho dãy số được xác định như sau: Chứng minh rằng là một dãy đơn điệu tăng và không bị chặn. Tìm giới hạn của dãy số trong đó được xác định bởi công thức:
Cho các số thực thỏa mãn phương trình:
có một nghiệm thực không bé hơn 1. Chứng minh rằng phương trình sau đây cũng có nghiệm thực: .
Câu 4. (3 điểm)
Cho hình hộp . Tìm điểm thuộc đoạn và điểm thuộc đoạn sao cho song song với .
Cho hình chóp tứ giác đều . Mặt phẳng thay đổi nhưng luôn cắt các cạnh lần lượt tại ( không trùng với đầu mút các đoạn thẳng ). Chứng minh rằng: 
Câu 5. (1 điểm) Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng 
.
-------------Hết-----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án có 05 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2013-2014
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
Câu 1(2 điểm)
Phương trình đã cho 
0.5
0.5
0.25
0.25
 hoặc 
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm như trên.
0.5
Câu 2
Câu 2a (1.0 điểm)
Áp dụng hệ thức Ta có
0.25
0.5
Cộng theo vế các đẳng thức trên và rút gọn ta được
Đẳng thức được chứng minh.
0.25
Câu 2b (1.0 điểm)
Ký hiệu là không gian mẫu, số cách lấy ra 7 viên bi từ 16 viên bi đã cho là Gọi là biến cố: “lấy ra được 7 viên bi có đủ ba loại màu” suy ra là biến cố: “lấy ra được 7 viên bi không có đủ ba loại màu”.
0.25
Các khả năng thuận lợi cho biến cố là 
Khả năng 1: lấy ra 7 viên bi từ hai loại đỏ và xanh là 
Khả năng 2: lấy ra 7 viên bi từ hai loại xanh và vàng là 
Khả năng 3: lấy ra 7 viên bi từ hai loại đỏ và vàng là 
0.25
Suy ra .
0.25
Do đó Suy ra 
Vậy xác suất lấy ra được 7 viên bi có đủ ba loại màu là 
0.25
Câu 3
Câu 3a (1.0 điểm)
Ta có suy ra dãy số là dãy đơn điệu tăng.
0.25
Chứng minh bằng quy nạp 
Thật vậy (*) đúng với 
Giả sử (*) đúng với . Thế thì 
Vậy (*) đúng với 
Theo nguyên lý quy nạp suy ra đúng với mọi do đó dãy không bị chặn. 
0.25
Theo định nghĩa dãy ta có:
 .
Bằng cách cộng các đẳng thức trên với ta được 
0.25
Vì theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra 
0.25
Câu 3b (1.0 điểm)
Đặt 
0.25
Các hàm số xác định và liên tục trên .
Do là một nghiệm của phương trình 
0.25
Ta thấy ,
0.25
 (do ).
Suy ra phương trình có nghiệm thực thuộc . (ĐPCM).
0.25
Câu 4
4a (1.5 điểm)
D
C
A
D'
A'
B'
C'
B
N
M
Đặt Do suy ra 
0.5
Theo giả thiết, nên .
Mặt khác 
0.5
Từ (1) và (2) ta có 
0.25
Do đó Từ đó xác định được .
0.25
4b (1.5 điểm)
Gọi là tâm đáy , . Ta có thẳng hàng (do chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng và ). 
0.5
Đặt Trong tam giác , ta có:
0.5
Tương tự với tam giác ta được 
0.25
Từ (1) và (2) ta suy Ta có ĐPCM
0.25
Câu 5
Câu 5.(1.0 điểm)
Trong không gian dựng hình chóp có và 
0.25
Trong tam giác , theo định lý cosin ta có 
0.25
Tương tự ta có 
0.25
Trong tam giác ta có bất đẳng thức . ĐPCM
0.25
-------------------------------