Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 thpt năm học: 2015 - 2016 môn: Toán – lớp 12 thời gian làm bài: 180 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11, 12 THPT
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Môn: Toán – Lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (5,0 điểm).
1. Cho hàm số (1) ( là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của để hàm số (1) có 2 điểm cực trị thỏa mãn 
2. Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng : ( là tham số thực). Chứng minh rằng với mọi đường thẳng luôn cắt tại 2 điểm phân biệt Gọi lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến tại và của Xác định để 
Câu 2 (4,0 điểm).
1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực 
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 
Câu 3 (2,0 điểm). Tính tích phân 
Câu 4 (5,0 điểm).
1. Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác vuông với và A’ cách đều các đỉnh Gọi lần lượt là trung điểm của Trên các đoạn lần lượt lấy sao cho Tính thể tích khối tứ diện biết 
2. Cho hình chóp có độ dài các cạnh thỏa mãn . Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC. 
Câu 5 (2,0 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu có tâm Biết cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có chu vi Viết phương trình mặt cầu 
Câu 6 (2,0 điểm). 
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hết
Họ và tên thí sinh Số báo danh...........
Người coi thi số 1 Người coi thi số 2......................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
(Hướng dẫn chấm có 06 trang)
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11, 12 THPT
NĂM HỌC 2015 - 2016
Hướng dẫn chấm môn: Môn Toán – Lớp 12
Câu
ý
Nội dung
Điểm
Câu 1
1.
 (2,0đ)
Ta có Hàm số đã cho có 2 cực trị có 2 nghiệm phân biệt 
Do là nghiệm của pt theo định lý Viét ta có 
Lại có 
Từ (1), (3) thay vào (2) ta được (t/m (*))
Kết luận: Các giá trị cần tìm là 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
2.
(3,0đ)
Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của pt 
(1) (vì không là nghiệm của pt (1)) 
Ta có 
Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.
Gọi là hoành độ của A, B là các nghiệm của pt (2). Theo định lý Viét ta có . Mặt khác ta có 
Khi đó 
Ta có Theo bđt Côsi: và 
Vậy VT(*)
 Dấu bằng xảy ra 
Kết luận: Giá trị cần tìm là 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
Câu 2
1.
(2,0đ)
Điều kiện: Bất phương trình đã cho 
Ta có hàm số liên tục trên 
và đồng biến trên 
Do đó 
Từ đó bpt (*) 
Kết luận: Tập nghiệm của bpt đã cho là 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2.
(2,0đ)
Điều kiện: 
Viết lại pt (1) dưới dạng 
Xét hàm số Ta có 
hàm số liên tục và đồng biến trên do đó pt (1’)
Khi đó pt (2) trở thành 
Đặt Ta có 
Vậy hàm số g(x) liên tục và đồng biến trên 
Từ đó pt (2’) có tối đa 1 nghiệm trên Mà 
Kết luận: Hpt đã cho có nghiệm duy nhất 
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 3
(2,0đ)
Ta có
- Đặt Ta có 
- Xét 
 Đặt 
Vậy: 
0,25
0,75
0.25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
1.
(2,5đ)
Gọi E là trung điểm AN, ta có ME//AB//LK 
ta cũng có 
+) Do và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
nên 
A’’
B
C
K
M
E
N
L
B’
C’’
A
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
mà 
+) Ta có , do L là trung điểm BC. ; 
+) Vì 
Vậy 
2.
(2,5đ)
A
B
C
N
P
S
M
Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ.
+) Có 
+) Do vuông tại S.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Tương tự, các tam giác SMN, SMP vuông tại S.
Đặt , ta có:
Mà theo bđt Côsi:
nên 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy GTLN của thể tích khối chóp S.ABC là 
Câu 5
(2,0đ)
Gọi là bán kính đường tròn (C), ta có 
Ta có 
Gọi R là bán kính mặt cầu (S), ta có 
Vậy mặt cầu (S) có phương trình 
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 6
(2,0đ)
Đặt Khi đó 
Theo bđt Côsi: 
Mặt khác, giả thiết trở thành 
Theo bđt Bunhiacốpxki: 
Lại theo bđt Côsi: 
Từ đó suy ra 
Xét hàm số Ta có 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên suy ra
Kết luận: GTNN của P là đạt được khi 
0,5
0,5
0,5
0,5
Lưu ý: Các cách giải khác, nếu đúng thì cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm
----------- HẾT-------------