Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán - Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình . Tìm để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, (O là gốc tọa độ).
Câu 2 (2,5 điểm). Giải phương trình
Câu 3 (2,5 điểm). Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.
Câu 4 (2,5 điểm). Tính tích phân 
Câu 5 (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh , . Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng .
Câu 6 (2,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có . là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho và . Tìm tọa độ điểm D biết .
Câu 7 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình 
Câu 8 (2,5 điểm). Cho các số thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
---------Hết---------
Họ và tên thí sinh:.Số báo danh:.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT
Hướng dẫn chấm có 06 trang
Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
Đáp án – thang điểm
Nội dung
Điểm
Câu 1. Cho hàm số có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình: . Tìm để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
2,5
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
0,5
Điều kiện:
Với điều kiện (*) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt và khác 2 và khác 0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt , không trùng điểm O.
0,5
Ta có . Vì tam giác OAB vuông tại O nên 
0,5
Theo định lí Viet ta có: , thay vào (**) được:
0,5
Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn. Vậy thỏa mãn bài toán.
0,5
Câu 2. Giải phương trình sau
  .
2,5
Ta có: 
0,5
0,5
0,5
0,5
Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm:
0,5
Câu 3. Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.
2,5
Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người vào 5 cửa hàng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: .
0,5
Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH) sau:
TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại không có khách nào. TH này có khả năng xảy ra.
0,25
TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại không có khách nào. TH này có khả năng xảy ra.
0,25
TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại không có khách nào. TH này có khả năng xảy ra.
0,25
TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào. TH này có khả năng xảy ra. 
0,25
Suy ra có tất cả khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”. 
0,5
Vậy xác suất cần tính là: 
0,5
Câu 4. Tính tích phân
2,5
0,5
0,5
 Đặt 
0,5
0,5
0,5
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ,. Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng 
2,5
Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên . Vì tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên . Suy ra góc giữa SD và mp(ABCD) là 
Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên .
0,5
Theo định lí Cô sin:
Suy ra hay .
0,5
Ta có .
Đường thẳng AH cắt (SBC) tại B nên
0,5
Kẻ . Vì .
Vì .
0,5
Vì thấy tam giác ABC đều cạnh a nên hay tam giác HBC vuông tại H.
Ta có
Suy ra . Vậy 
0,5
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có . là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho và . Tìm tọa độ điểm D biết .
2,5
Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hình bình hành nên 
0,5
Mà suy ra hay tứ giác BECM nội tiếp. 
Suy ra      
0,5
Ta có hay vuông tại M
0,5
Vì . 
Ta có .
0,5
Giả sử ta có .
Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: 
Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là: 
0,5
Câu 7: Giải hệ phương trình 
2,5 
Điều kiện: .
0,5
Đặt . PT (1) trở thành
0,5
(Vì )
0,5
Với suy ra .
Thay vào (2) ta có:
0,5
Suy ra . Vậy hệ đã cho có một nghiệm: .
0,5
Câu 8: Cho các số thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
2,5
Vì nên
0,5
0,5
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
0,5
Do đó
0,25
Đặt . Ta có .
. Lập bảng biến thiên của hàm suy ra được 
0,5
Ta thấy khi Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là khi 
0,25
--------Hết-------