Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường khối 12 môn Toán

TRƯỜNG THPT BUễN MA THUỘT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 12 – NĂM HỌC: 2009 - 2010
Mụn Toỏn – Thời gian : 180 phỳt
Cõu 1 (3.0 điểm) Giải phương trỡnh: 
Cõu 2 (2.0 điểm) Giải hệ phương trỡnh:
Cõu 3 (3.0 điểm) Tỡm số nguyờn dương n sao cho:
.
Cõu 4 (3.0 điểm) Tỡm m để bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi x thuộc tập xỏc định.:
Cõu 5 (3.0 điểm) Giải phương trỡnh:
Cõu 6 (6.0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt cỏc cạnh SB , SD lần lươt tại M và N. Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD.
Khi mp(P)//BD, hóy tớnh tỷ số thể tớch .
Đặt x = , y= . Tớnh theo x và y.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MễN TOÁN HS GIỎI LỚP 12
Trường THPT Buụn Ma Thuột
Cõu
Nội dung
Điểm
1
Giải phương trỡnh 
 3.0 
Đặt 
Đk: 
Từ đú suy ra u2 – v2 = 2(u + v)
** Với u + v = 0 u = v = 0 ( do )
Khụng tồn tại x thỏa món u + v = 0 
** Với u = v + 2 ta cú: 
Bỡnh phương 2 vế rồi rỳt gọn ta được: 
Với , bỡnh phương 2 vế rồi rỳt gọn ta được:
7x2 + 6x – 1 = 0x = -1 hoặc x = 
Vậy p.trỡnh cú 2 nghiệm x = -1 và x = 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2
Giải hệ phương trỡnh
2.0
Đặt , Điều kiện: .
Tacú hệ 
Suy ra cỏc nghiệm là:
0.5
0.5
0.5
0.5
3
Tỡm số nguyờn dương n
3.0
Xột hàm số:
=.
Ta cú =
=.
Do đú 
=
Suy ra:
2n + 1 = 2009
 n = 1004
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Tỡm m để bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi x thuộc tập xỏc định.
3.0
Đặt t2 = -x2 + 2x + 24
Do suy ra 
Khi đú ta cú bất phương trỡnh:
 t2 + t – 24 m.(*)
Xột hàm số trờn đoạn [0 ; 5].
Cú bảng biến thiờn:
 t
0 5
g’(t)
 +
g(t)
	6
-24
Để bpt đó cho nghiệm đỳng mọi x thuộc TXĐ thỡ bpt (*) phải nghiệm đỳng với mọi t thoả món. 
Từ bảng biến thiờn suy ra: .
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
5
Giải phương trình:
 (*)
3.0
(*)(sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0
 GiảI (2): Đặt .
Tacó t2 + 4t +3 = 0t = -1 v t = -3(loại)
Với t = -1 ` 
Khi mp(P) song song BD, tớnh 
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1
 S 
C
A
B
D
N
K
M
O
 I
Gọi O là giao điểm của 2đường chộo. 
I là giao điểm của AK và SO.
Do (P)//BD, qua I kẻ đường song song với 
BD cắt SB và SD tại M và M. 
Trong tam giỏc SAC cú I là trọng tõm
Suy ra:
 ; .
Vỡ ABCD là hbh nờn VS.ABC = VS.ADC =V.
Ta cú 
Tương tự ta cú 
Mà V = Vs.ABC + Vs.ADC và V1 = VS.AMK+ VS.ANK
Suy ra 
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
2
Đặt x = , y= . Tớnh theo x và y.
2.0
Ta cú 
Tương tự ta cú 
Suy ra 
1.0
0.5
0.5