Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2010 - 2011 môn : Toán thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 LÂM ĐỒNG	 NĂM HỌC 2010-2011
 Môn : TOÁN – THCS 
ĐỀ CHÍNH THỨC	 	Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 1 trang) 	 Ngày thi : 18/02/2011
Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn .
Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*)
	 luôn đồng biến trên R với mọi m.
Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Trên đường 
	 thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cát tuyến MCD 
	 với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm)
	 Chứng minh MC.MD = MT2 .
Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 . 
	 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x2 + y2 .
Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 +  + 22011 chia hết cho 15 .
Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x3 – x2 – 14x + 24 thành nhân tử .
Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương 
	 với mọi n .
Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b . Chứng minh .
Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 
Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD () , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông 
	 góc với AC (H, gọi N là trung điểm của CH . 
	 Chứng minh BN vuông góc với DN .
Câu 12: (1,5 điểm). Cho tam giác MNP cân tại M ( ) . Gọi D là giao điểm các đường 
	 phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM = cm , DN = 3 cm .
	 Tính độ dài đoạn MN .
---------- HẾT---------
Họ và tên thí sinh :...Số báo danh : 
Giám thị 1 :..Ký tên : .
Giám thị 2 :..Ký tên : .
(Thí sinh không được sử dụng máy tính )
	SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO 	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
	LÂM ĐỒNG	NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN – THCS
Ngày thi 18/02/2011
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
Câu 1
(2 điểm )
 =
 = 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Câu 2 
(2 điểm )
3m2 – 7m + 5 = 3
Vây f(x) đồng biến trên R với mọi m
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Câu 3 
(2 điểm) 
Chứng minh MC. MD = MA. MB 
Chứng minh MT2 = MA. MB 
Suy ra MC.MD = MT2 
0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 
Câu 4
(2 điểm )
3x + y – 1 = 0 y = 1 – 3x 
Vây GTNN của B là 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Câu 5 
(1,5 điểm )
C = 1 + 2 + 22 +  + 22011 
 = (1 + 2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26 + 27 ) + + ( 22008 + 22009 +22010 + 22011)
 = (1 + 2 + 22 + 23 )+ 24 (1 + 2 + 22 + 23 )+ +22008(1 + 2 + 22 + 23 )
 = 15 ( 1 + 24 + + 22008 ) chia hết cho 15
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 
Câu 6 
(1,5 điểm )
 x3 – x2 – 14x +24 
 = x3 + 4x2 – 5x2 – 20x + 6x + 24 
 = (x + 4) (x2 – 5x + 6 ) 
 = (x + 4) (x – 2) (x – 3) 
0,5 điểm 
0,5 điểm 0,5 điểm 
Câu 7
(1,5 điểm ) 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Câu 8 
(1,5 điểm )
D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 
 = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2 )
 = (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n)
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) +1
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n +1)2
Nên D không phải là số chính phương vì (n2 + 3n)2 và (n2 + 3n +1)2 là 2 số chính phương liên tiếp 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Câu 9 
(1,5 điểm )
Ta có (a – b)2 
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiếu câu này không trừ điểm)
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Câu 10
(1,5 điểm)
 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 
(2x + y) (x – y) = 8 
 hoặc 
 hoặc 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Câu 11 
(1,5 điểm )
Gọi M là trung điểm của DH
Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành (1)
Chứng minh MN 
Suy ra M là trực tâm của (2)
Từ (1) và (2) 
0,25 điểm 
0,5 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
Câu 12 
(1,5 điểm ) 
Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF
Chứng minh cm và EF =DF 
ME2 = EF .EN = EF .(2EF + DN ) 
 cm
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
(Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )