SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Lớp 9 THCS năm học 2014-2015 Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ----------------------------------------------------------- Câu 1 (3,0 điểm) a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: . b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có Chia hết cho 96 Câu 2 (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có Tính tổng Câu 3 (4,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 4 (7,0 điểm) Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R . Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn Chứng minh rằng ------------------------------------ Hết -------------------------------------- Hướng dẫn Câu 1 (3,0 điểm) a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: . b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có Chia hết cho 96 Hướng dẫn a) PT có 6 nghiệm và 3 hoán vị Đặt a+b-c =z; b+c-a=x; a+c-b=y thì x+y+z=a+b+c Ta có Câu 2 (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có Tính tổng Hướng dẫn a) Nên b) Câu 3 (4,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Hướng dẫn ĐKXĐ: Giải ra x=1 hoặc x=1 b) từ PT (1) ta có : thay vào PT (2) giải ra có 5 nghiệm Do tứ giác BCEF nội tiếp suy ra mà ( so le ) Suy ra nên tứ giác BQCR nội tiếp EM là trung tuyến tam giác vuông BEC nên tam giác ECM cân tại M suy ra mà tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên suy ra suy ra tứ giác DMEF nội tiếp suy ra mà nên tam giác EPM,và DEM đồng dạng (g.g) c)do DMEF nội tiếp suy ra mà nên tam giác PFD đồng dạng tam giác EMD (g.g) suy ra do nên tam giác FDR cân tại D suy ra FD=DR;tương tự tam giác DEQ cân tại D nên DE=DQ mà FD=DR; DE=DQ suy ra suy ra tam giác PDR đồng dang tam giác QDM ( c.g.c) suy ra suy ra tứ giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M cố định Câu 5 ( 2.0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn Chứng minh rằng Hướng dẫn Ta có Nên Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : Dãy 2 : (*) Ấp dụng Côsi ;; Nên Thay Vào (*) Ta có Hay Dấu “=” xảy ra khi Cách khác ;; Nên Có thể còn cách khác hoặc cách giải chưa chính xác mong các bạn bổ sung nhé GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao
Tài liệu đính kèm: