Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs năm học 2011 - 201 môn : toán ( bảng b ) thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao ñề)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 QUẢNG NINH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 
 ------------------ 
 ðỀ THI CHÍNH THỨC 
 MƠN : TỐN 
 ( BẢNG B ) 
Ngày thi : 23/3/2012 
Thời gian làm bài : 150 phút 
(Khơng kể thời gian giao đề) 
(ðề thi này cĩ 01 trang) 
Bài 1. (4,0điểm) 
Với x 0≥ tính A
33 2 3. 1 4 2 3 x
x
1 6 2 5 . 5 2 x
− + + −
= +
+ + − +
Bài 2. (3,0 điểm) 
 Tìm các số thực x, y thoả mãn : 
 2 2x 26y 10xy 14x 76y 58 0+ − + − + = . 
Bài 3. (4,0 điểm) 
 Giải hệ phương trình : 
2 2x y x y 12
x y xy 9
 + − − =

+ + =
Bài 4. (6,5 điểm) 
Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB, 
AC với đường trịn (B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm D. 
AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. Gọi I là trung điểm của DE. 
a. Chứng minh năm điểm B, O, I, C, A cùng thuộc một đường trịn và IA là tia 
phân giác của gĩc BIC. 
b. ðường thẳng qua D song song với AB cắt BC tại H, cắt BE tại K. Chứng 
minh H là trung điểm của DK. 
Bài 5. (2,5 điểm) 
 Cho a, b, c là ba số dương . Chứng minh rằng : 
a b c
2
b c c a a b
+ + >
+ + +
 -----------------Hết---------------- 
Họ và tên thí sinh :..Số báo danh : 
Họ và tên, chữ ký 
của giám thị số 1 : 
SỞ GD&ðT QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 
 ðỀ THI CHÍNH THỨC 
 Mơn : TỐN ( BẢNG B ) 
 ( Hướng dẫn chấm này cĩ 3 trang ) 
Bài Tĩm tắt lời giải Cho 
điểm 
Bài 1 
(4,0đ) tính : 
33 2 3. 1 4 2 3− + + = 
( )23 3 3 332 3. 1 1 3 2 3. 2 3 (2 3)(2 3) 1− + + = − + = − + = 
21 6 2 5 . 5 2 1 ( 5 1) . 5 2 2 5. 5 2 1+ + − = + + − = + − = 
 Vậy : A = 
1 1 ( 1)
1
1 1 (1 )
x x x x x
x
x x x
− + + − +
+ = = =
+ + +
1,5 
1,5 
1,0 
Bài2 
(3,0đ) 
 2 226 10 14 76 58 0x y xy x y+ − + − + = 
⇔ 2 2 225 10 14 70 6 9 49 0x y xy x y y y+ − + − + − + + = 
⇔ 2 2( 5 ) 14( 5 ) ( 3) 49 0x y x y y− + − + − + = 
⇔ 2 2( 5 7) ( 3) 0x y y− + + − = vì ( )2x 5y 7 0 x;y− + ≥ ∀ , ( )2y 3 0 y− ≥ ∀ 
⇔
2
2
( 5 7) 0
( 3) 0
x y
y
 − + =

− =
⇔ 
( 5 7) 0
( 3) 0
x y
y
− + =

− =
 ⇔
8
3
x
y
=

=
Vậy x,y cần tìm thoả mãn điều kiện của bài tốn là : x=8;y=3 . 
0,75 
0,5 
0,75 
0,5 
0,25 
0,25 
Bài 3 
(4,0đ) 
Cộng vế với vế hai phương trình của hệ đã cho ta được : 
2 2 21x y xy+ + = ⇔ ( )2 21x y xy+ − = ( )2 21x y xy⇔ + = + (*); 
 từ phương trình (2) ⇔ 9x y xy+ = − ( ) ( )2 281 18x y xy xy⇔ + = − + 
 thay vào (*) và biến đổi được : ( )2 19 60 0xy xy− + = đặt xy t= được PT: 
2 19 60 0t t− + = (**) giải (**) được : 1 24; 15t t= = 
Với 1 4t = ta cĩ hệ : ( )
4
5
xy
I
x y
=

+ =
Giải hệ ( I ) được : x = 1; y = 4 và x = 4; y =1 
 với 2 15t = được : ( )
15
6
xy
II
x y
=

+ = −
. Hệ (II) vơ nghiệm 
Hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm là (x; y) = (1; 4) = (4; 1) 
1,0 
1,0 
1,0 
0,75 
0,25 
a, * Chứng minh năm điểm B, O, I, C, A cùng thuộc đường trịn đường 
kính 
 Cĩ : OB ⊥ BA; OC ⊥ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến), 
 suy ra · · 1ABO ACO v= = · · 2ABO ACO v⇒ + = ⇒ tứ giác ABOC nội tiếp 
 suy ra bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc đường trịn đường kính AO.(1) 
Ta cĩ : OI ⊥ DE( I là trung điểm của dây DE) suy ra · 1AIO v= ; 
 · · 2ABO AIO v⇒ + = ⇒ tứ giác ABOI nội tiêp 
 suy ra bốn điểm A,B,O,I cùng thuộc đường trịn đường kinh AO.(2) 
Từ (1)và (2) suy ra năm điểm B,O,I,C,A cùng thuộc đường trịn đường kính 
AO. 
* Chứng minh IA là tia phân giác của gĩc BIC : 
Ta cĩ : · ·AIB ACB= ( hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung AB đường trịn 
đường kính AO) 
và · ·AIC ABC= ( hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung AC đường trịn đường 
kính AO) 
Mà · ·ACB ABC= ( AB,AC là hai tiếp tuyển, tam giác ABC cân ) 
Suy ra ; · ·AIB AIC= , vậy IA là tia phân giác của gĩc BIC 
1,0 
1,0 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
Bài 4 
(6,5đ ) 
b, · ·ICB IAB= ( cùng chắn cung IB đường trịn đường kính AO) 
mà · ·IAB IDH= (DH//AB, đồng vị), Suy ra : · ·ICB IDH= , 
 suy ra tứ giác DHIC nội tiếp ( từ hai đỉnh C,D cùng nhìn cạnh HI dưới hai 
gĩc bằng nhau ) 
suy ra : · ·HID HCD= ( cùng chắn cung HD đường trịn (DHIC)) 
mà · ·BCD BED= (cùng chắn cung DB của (O)) hay · ·HCD BED= 
suy ra · ·HID BED= suy ra HI // BE 
Trong tam giác DEK cĩ : ID=IE và HI // KE 
suy ra HD = HK . Vậy H là trung điểm của DK 
0,75 
1,0 
0,75 
Bài 5 
(2,5đ) Áp dung Cơsi : 
1
.1 ( 1)
2
b c b c
a a
+ +
≤ + =
2
a b c
a
+ +
Suy ra : 
2a a
b c a b c
≥
+ + +
 ( dấu " = " khi a = b + c) 
Tương tự : 
2b b
a c a b c
≥
+ + +
 ( dấu " = " khi b = c + a) 
2c c
a b a b c
≥
+ + +
 ( dấu " = " khi c = a + b) 
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên , ta được : 2a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
dấu " =" khơng xảy ra ⇒
a b c
2
b c c a a b
+ + >
+ + +
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
0,5 
HK
I
E
C
B
O
A
D
 Hình vẽ bài 4 
Các chú ý khi chấm 
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách cách giải. Bài làm của học sinh 
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được điểm tối đa. 
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi 
tiết nhưng khơng vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đĩ. 
3. Với bài 4 khơng cho điểm nếu khơng cĩ hình vẽ. 
4. Cĩ thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng khơng dưới 0,25 điểm và phải thống nhất 
trong cả tổ chấm. ðiểm tồn bài là tổng số điểm tồn bài đã chấm, khơng làm trịn.