Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán lớp 8 thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2013-2014
 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (3,0 điểm)Giải phương trình . 
 1x2+2x-3 + 18x2+2x+2 = 18x2+2x+1 
Câu 2. (3,0 điểm) giải bất phương trình sau : 
 x+1 99+ x+4 96 +x+595 ≥-3
Câu 3. (5,0 điểm)
 a)Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức :
x3 – 3x2 – 3x -1 chia hết cho giá trị của biểu thức x2 + x + 1 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên m và n sao cho 2m – 2n = 448
Câu 4. (7,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng: .
Câu 5. (2,0 điểm)
 Cho là ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng :
	 .
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
 HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu 
Hướng dẫn giải
điểm
Câu 1
(3.0 điểm)
ĐKXĐ 
0,5
Đặtt = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 , ta có : 
 ( t > 0 ; t≠ 4 ) 
0,5
ót ( t + 1 ) + 18t(t-4)= 18(t+1)(t-4)
ót2 - 17t + 72 = 0 ó ( t – 8 ) ( t – 9 ) = 0 => t = 8 hoặc t = 9 
0,75
Với t = 8 thì (x+1)2 = 8 => x+1 = ±=> x = ±-1 
Với t = 9 thì (x+1)2 = 9 => x+1 = ±3=> x =2 hoặc x = -4
0,75
Kết hợp với ĐKXĐ ta có tập nghiệm của pt là : 
S = { x = ±-1 ; x =2 ; x = -4}
0,5
Câu 2
(3.0 điểm)
giải bất phương trình sau : 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = {x/x≥ -100}
1
1
1
Câu 3
(5.0 điểm)
a -2,5
Thực hiện phép chia x3 – 3x2 – 3x -1cho x2 + x + 1 được thương là
 x- 4 dư 3 .
0,5
Suy ra giá trị x3 – 3x2 – 3x -1chia hết cho giá trị của x2 + x + 1khi 3 chia hết cho x2 + x + 1,do đó : 
x2 + x + 1 = ± 3 hoặc x2 + x + 1 = ± 1
0,5
Biến đổi 
x2+x+1= x+ 122+ 34
Suy ra x2 + x + 1 > 0 với mọi x 
Vậy loại trường hợp x2 + x + 1 = - 3 hoặc x2 + x + 1 = - 1
0,5
 Từ x2 + x + 1 = 3 => x = 1 ; x = -2 
 x2 + x + 1 = 1=> x= 0 ; x= -1 
Vậy có 4 giá trị nguyên của x là x = ± 1 ; x= 0 ; x = -2 
1
b -2,5
Ta thấy 2m – 2n = 448> 0 nên m > n 
2m – 2n = 2n ( 2m-n – 1 )= 64 . 7 (1) 
0,5
Từ (1) ta thấy 2n ( 2m-n – 1 ) chia hết cho 64 mà 64 và (2m-n – 1) nguyên tố cùng nhau nên 2n ⋮64 (2)
0,5
Từ (1) ta thấy 64 . 7 ⋮ 2n mà ( 7 ; 2n ) = 1 nên 64 ⋮ 2n (3)
0,5
Từ (2) và (3)=> 2n = 64 => n = 6 
Mặt khác 2m-n – 1= 7 => 2m-n = 8 =>2m-6 = 23 => m – 6 = 3 => m = 9 
 Vậy m = 9 ; n = 6 
1
Câu 4
(7 điểm)
(7.0 điểm)
Ta có DAM= ABF (cùng phụ BAH)
 AB = AD ( gt) 
 BAF= ADM = 900 (ABCD là hình vuông) 
 (g.c.g) 
0.75
 => DM=AF, mà AF = AE (gt) 
 Nên. AE = DM 
 Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
0.5
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác. DAE= 900 (gt) 
0.5
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
0.5
Ta cóABHFAH (g.g) 
 hay ( AB=BC, AE=AF) 
0.75
Lại có HAB= HBC (cùng phụ ABH)
=>CBHEAH (c.g.c)
0.75
, mà (gt) nên BC2 = (2AE)2
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
0.75
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
0.5
Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: 
0.5
Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
 hay 
0.5
 (Pytago) 
0.5
 (đpcm)
0.5
(2.0 điểm)
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có
 (*)
Dấu “=” xảy ra 
Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 
 (**)
 (luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Dấu “=” xảy ra 
0.75
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 
 (Vì ) 
0.5
 Hay 
0.25
Mà nên 
0.25
Vậy (đpcm)
0.25
Điểm toàn bài
(20 điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với câu 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.