Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trường thpt chuyên Hùng Vương năm học 2009 - 2010 môn toán thời gian 120 không kể thời gian giao đề

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên hùng vương
Đề chính Thức
Năm học 2009-2010
Môn Toán
(Dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian 120 không kể thời gian giao đề 
Đề thi có 1 trang
Câu 1(2 điểm): Cho biểu thức ĐKXĐ: x 2;
a)Rút gọn P
b)Tìm x để P+x=7 ta có 
Câu 2(2 điểm): Cho PT bậc 2:	x2+2(m-1)x+m2-m+1=0 (1)
 a)Giải phương trình với m=-1 
b)Tìm m để phương trình(1) có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn 
Câu 3(2 điểm):
 a) Vẽ đồ thị y=2x+3; y=x2 trên cùng hệ trục toạ độ
b) Toạ độ giao điểm 2 đồ thị trên là nghiệm của hệ sau
Câu 4 (3 điểm):Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H;góc BAC=600 gọi D; E là chân đường cao kẻ từ B;C tới AC;AB;I là trung điểm BC
Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp
b)Chứng minh tam giác IDE đều 
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .Chứng minh AHO cân
Câu 5(1 điểm) : Cho x;y;z là các số thực dương sao cho xyz=x+y+z+2 
Chứng minh rằng: 
-------------Hết---------------
Họ và tên thí sinh .............................................................SBD................
Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên hùng vương 
Đề chính Thức
Năm học 2009-2010
Môn Toán
(Vòng 2: Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Thời gian 150 không kể thời gian giao đề 
Đề thi có 1 trang
Câu 1(2 điểm): Cho hệ phương trình (m là tham số)
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
Tìm m để hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x+y=5
Câu 2(1 điểm): Tìm các số nguyên dương x;y;z thoả mãn x3-y3=z2 trong đó y nguyên tố (z;3)=(z;y)=1
Câu 3 (3điểm):
a)Gải phương trình :
(x+1)2009+(x+1)2008(x+2)+(x+1)2007(x+2)2++(x+1)(x+2)2008+(x+2)2009=0
b)Cho x;y là các số thực thoả mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 4: (3 điểm) Cho nhọn ABC nội tiếp (O) điểm P nằm trong sao cho BAP=PBC; CAP=PCB.AP cắt BC tại M
	a)Chứng minh M là trung điểm BC
	b)Gọi H là trực tâm ABC .Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp 
	c)Đường trung trực AP cắt BC tại Q.Chứng minh rằng QA tiếp xúc với (O);QP tiếp xúc với 
Câu 5(1 điểm): Cho các số thực không âm a;b;c sao cho ab+bc+ca=3 .Chứng minh rằng
-------------Hết---------------
Họ và tên thí sinh .............................................................SBD................
Sở giáo dục và đào tạo phú thọ 
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên hùng vương
Năm học 2009-2010
Đề chính Thức
Môn Toán
(Vòng 2: Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán-Tin )
Thời gian 150 không kể thời gian giao đề 
Đề thi có 1 trang
Câu 1(2 điểm): 
Cho phương trình bậc 2: x2-2(m-1)x+2m-4=0 ( trong đó m là tham số)
	a)Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt
	b)Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình .Tìm m để đạt min
Câu 2(2 điểm):
 a)Giải phương trình: 
b)Giải hệ phương trình: 
Câu 3(2 điểm):
a)Chứng minh rằng với mọi số a.b.c đôi một phân biệt thì 
Cho ba số a.b.c đôi một phân biệt .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4(3 điểm):Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B
đường thẳng vuuông góc với AB tại B cắt (O1) tại C cắt (O2) tại D một đường thẳng quay quanh B cắt (O1) và (O2) tại E và F
	a)Chứng minh tỉ số không đổi 
 b)Các đường thẳng EC ;DF cắt nhau tại G .Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp 
	c) Chứng minh rằng khi EF quay quanh B thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ gíac AEGF luôn thuộc đường tròn cố định 
Câu 5(1 điểm):Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là đỉnh của một tam giác có diện tích không vượt quá 1 .Chứng minh rằng 2009 điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4
-------------Hết---------------
Họ và tên thí sinh .............................................................SBD................
kì thi tuyển sinh THPTchuyên hùng vương
Năm học 2009-2010
Môn Toán ( không chuyên)
Thời gianl àm bài 120 phút-ngày thi 25 tháng 6 năm 2009
Câu 1(2 điểm): Cho biểu thức ĐKXĐ: x 2;
a)Rút gọn P
b)Tìm x để P+x=7 ta có 
Hướng dẫn
a)
b)Tìm x để P+x=7 ta có 
HD:
Vậy x=5 thì P+x=7
Câu 2(2 điểm): Cho PT bậc 2:	x2+2(m-1)x+m2-m+1=0 (1)
 a)Giải phương trình với m=-1 
b)Tìm m để phương trình(1) có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn 
Hướng dẫn
a) Với m=-1 ta có x2+2(m-1)x+m2-m+1=0x2 -4x+3=0 
Nhẩm Vi-ét a+b+c=1+(-4)+3=0 PT có 2 nghiệm phân biệt x1=1;x2=3
 b) 
ta có =(m-1)2-( m2-m+1)=m2 -2m+1-m2+m-1=-m0 khi m0 với m0 Theo Vi-ét ta có từ GT ta có (*)
vì nên 
Nhẩm Vi-ét a-b+c= 1-(-2)+(-3)=0; m1=-1;m2=3 >0 loại vậy m=-1 thì 
Câu 3(2 điểm):
a) Vẽ đồ thị y=2x+3; y=x2 trên cùng hệ trục toạ độ
b) Toạ độ giao điểm 2 đồ thị trên là nghiệm của hệ sau
 Hướng dẫn
b) Toạ độ giao điểm 2 đồ thị trên là nghiệm của hệ sau
Tọa độ A(-1;1); B(3;9)
c) 
Câu 4 (3 điểm):Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H;góc BAC=600 gọi D; E là chân đường cao kẻ từ B;C tới AC;AB;I là trung điểm BC
Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp
b)Chứng minh tam giác IDE đều 
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .Chứng minh AHO cân
a)Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp ta có BEC=BDC=900 theo quy tích cung chứa góc tứ giác BEDC nội tiêp đường tròn tâm I đường kính BC
b)Chứng minh tam giác DIE đều Ta có tam giác BEC,BDC vuông tại E ;D có EI;DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên DI=EI ( cùng bằng nửa BC) 
mặt khác AED=ACB (cùng bù BED) ; BAC chung
 nên AED đ d với ACB suy ra 
 nên DE=BC vậy DE=DI=EI nên DIE đều
c)Chứng minh tam giác AHO cân
Kẻ đường kính AK ta có tứ giác BHCK là hình bình hành nên H;I;K thẳng hàng 
Trong tam giác AHK có OI là đường trung bình nên AH=2.OI
Trong tam giác vuông IOC (vuông tại I ) có IOC=BOC=BAC=600 
nên OC=2.OI mà OC=OA nên AH=AO suy ra tam giác AHO cân tại A (đpcm)
Câu 5(1 điểm) : Cho x;y;z là các số thực dương sao cho xyz=x+y+z+2 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có (1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)=(1+x)(1+y)(1+z)
Đặt 
Tương tự 
Nên 
áp dụng Bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số dương ta có 
;
Vậy 
Dờu “=” xảy ra khi a=b=c hay x=y=z=2
------------------------------------------
Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vương
Môn Toán (Chuyên Toán)
Thời gianl àm bài 150 phút-ngày thi 26 tháng 6 năm 2009
Câu 1(2 điểm): Cho hệ phương trình (m là tham số)
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
Tìm m để hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x+y=5
Hướng dẫn
a)
Ta có với mọi m nên PT(2) có nghiệm duy nhất với mọi m suy ra hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
b)Từ (2) thay vào (1) ta được 
Vì x+y=5 nên Nhẩm Vi-ét a+b+c=5+(-7)+2=0
Câu 2(1 điểm): Tìm các số nguyên dương x;y;z thoả mãn x3-y3=z2 trong đó y nguyên tố (z;3)=(z;y)=1
Hướng dẫn
từ GT ta có Ta có (x;y)=1 vì nếu (x;y) khác 1 
Thì trái GT (z;y)=1
 Ta cũng có (x-y) không chia hết cho 3 Vì x-y chia hết cho 3 thì z chia hết cho 3 trái GT
đặt x-y=k2;x2+xy+y2=t2 ( k;t Z) thì z=k.t 
Ta có 4t2=4x2+4xy+4y2 3y2 =4t2-4x2 -4xy -y2=(2t+2x+y)(2t-2x-y) vì y nguyên tố nên
(1)3y2-1=2(2x-y)=2(k2+3y) k2+1=3(y2-k2+2y)3 suy ra k2+13 vô lý vì k2+1 không chia hết cho 3
 (2) y2-3=2(2x+y)=2(2k2+3y) (y-3)2-4k2=12(y-3+2k)(y-3-2k)=12
Từ đó tìm được y=7 thay vào ta có x=8;z=13
Câu 3 (3điểm):
a)Gải phương trình :
(x+1)2009+(x+1)2008(x+2)+(x+1)2007(x+2)2++(x+1)(x+2)2008+(x+2)2009=0
b)Cho x;y là các số thực thoả mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn
a)Đặt x+1=a;x+2=b ta có 
a2009+a2008..b+a2007.b2++a.b2008+b2009=0
(a-b)( a2009+a2008..b+a2007.b2++a.b2008+b2009)=0a2010-b2010=0
a2010=b2010 a=b hoặc a=-b
 Với a= b ta có x+1=x+2 vô nghiệm 
Với a=-b ta có x+1=-x-22x=-3
b)áp dụng bất đẳng thức Bunhicôpsky cho 2 dãy 
 và ta có 
Min(A)=5 khi 
Cách khác : áp dụng BĐT Cô-Si ta có 
Ta có 
Min (A)=5 khi 
Câu 4: (3 điểm) Cho nhọn ABC nội tiếp (O) điểm P nằm trong sao cho BAP=PBC; CAP=PCB.AP cắt BC tại M
	a)Chứng minh M là trung điểm BC
	b)Gọi H là trực tâm ABC .Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp 
	c)Đường trung trực AP cắt BC tại Q.Chứng minh rằng QA tiếp xúc với (O);QP tiếp xúc với 
a)Ta có ABM đd BPM (gg) nên
 Ta có ACM đd CPM (gg) nên
Từ (1) và 2 ta có BM=CM hay M là trung điểm của BC
b)Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp đường tròn 
Theo tính chất trực tâm BHC+BAC =1800 (3) theo tính chất tổng ba góc trong tam giác BPC+PBC+PCB=1800 mà PBC=BAP; PCB=CAP nên
BPC+PBC+PCB=BPC+PAB+PAC=BPC+BAC=1800 (4)
Từ (3) và (4) ta có BPC=BHC theo QT cung chứa góc thì minh tứ giác BHPC nội tiếp đường tròn (đpcm)
Gọi trung trực AP cắt AP tại I
Ta có QB.QC=(QM-BM)(QM+BM)=QM2-BM2
Ta có ABM đd BPM (gg) nên 
áp dụng định lý Pi ta go cho cho tam giác vuông QMI ta có QM2=QI2+IM2 
Vậy QB.QC= QI2+IM2-MI2+IP2= QI2+IP2= QI2+IA2 mà theo Pitago cho tam giác vuông QIA ta có QI2+IA2 =QA2 nên AQ2=QB.QC hay QA là tiếp tuyến của (O)
Ta có QA=QP nên AQ2=QB.QC suy QP là tiếp tuyến của đường tròn (đpcm)
 Cách Khác :kẻ tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại Q1;kẻ tiếp tuyến tại P của cắt BC tại Q2
Q1AB đ d Q1CA (gg) nên 
Q2PB đ d Q2CP (gg) nên 
Ta có ABM đd BPM (gg) nên
Ta có ACM đd CPM (gg) nên
Mà BM=CM (5) Từ (3);(4);(5) ta có 
Từ (1);(2);(6) ta có mà Q1;Q2 thuộc tia CB nên Q1trùng Q2 
Măt khác từ (1) ta có Q1A2=Q1B.Q1C; từ (2) ta có Q2P2=Q2B.Q2C;
Nên Q1A=Q1P nên Q1 thuộc trung trực của AP hay 
Câu 5(1 điểm): Cho các số thực không âm a;b;c sao cho ab+bc+ca=3 .Chứng minh rằng
Hướng dẫn
áp dụng BĐT Bunhiacôpsky cho 2 dãy 
Và 
Ta có 
Thay 6=2(ab+bc+ca) ta có a2+b2+c2+6=(a+b+c)2 
nên Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
-----------------------------------------
Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vương
Môn Toán (Chuyên Tin học)
Thời gianl àm bài 150 phút-ngày thi 27 tháng 6 năm 2009
Câu 1(2 điểm): 
Cho phương trình bậc 2: x2-2(m-1)x+2m-4=0 ( trong đó m là tham số)
	a)Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt
	b)Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình .Tìm m để đạt min
Hướng dẫn
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m thì 
Ta có ( đpcm)
b)Vì theo Vi-ét ta có 
ta có 
Vậy Min(P)=3 khi 
Câu 2(2 điểm):
 a)Giải phương trình: 
b)Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn
TXĐ : 
Vậy phương trình có nghiệm x=0
b)
*Với y=2x+1 thay vào phương trình (2) ta có 
 4x2-3x(2x+1)+(2x+1)2=14x2-6x2-3x+4x2+4x+1=12x2+x=0x(2x+1)=0
x=0 hoặc x= ;với x=0 thì y=1;với x= thì y=0
*Với y=-(2x+1) thay vào phương trình ()2 ta có 
4x2+3x(2x+1)+(2x+1)2=14x2+6x2+3x+4x2+4x+1=114x2+7x=07x(2x+1)=0
x=0 hoặc x= ; với x=0 thì y=-1;với x= thì y=0
Hệ có 3 nghiệm (x;y)=(0;1);(;(0;-1);
Cách khác:
(1)(*) coi PT(*) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số y ; GPT theo CT nghiệm 
PT(*) có 2 nghiệm 
sau đó giải như trên
Câu 3(2 điểm):
a)Chứng minh rằng với mọi số a.b.c đôi một phân biệt thì 
Cho ba số a.b.c đôi một phân biệt .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn
a)
b)
Câu 4(3 điểm):Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B
đường thẳng vuuông góc với AB tại B cắt (O1) tại C cắt (O2) tại D một đường thẳng quay quanh B cắt (O1) và (O2) tại E và F
	a)Chứng minh tỉ số không đổi 
	b)Các đường thẳng EC ;DF cắt nhau tại G .Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp 
	c) Chứng minh rằng khi EF quay quanh B thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ gíac AEGF luôn thuộc đường tròn cố định 
Hướng dẫn
a)Chứng minh tỉ số không đổi 
 xét 2 tam giác có ACD=AEF; ADC=AFE
 nên đồng dạng (g.g) nên ( không đổi)
Vì CD AB nên A;O1C thẳng hàng A;O2;;D thẳng hàng nênAEG=AFG=900 vậy AEG+AFG=1800 nên tứ giác AEGF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AG
c)Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEGF thuộc trung trực của AE;AF mà AE;AF là 2 day của (O1);(O2) nên trung trực của AE;AF đi qua O1;O2 gọi trung trực AE;à cát nhau tại I thì I là trung điểm AG ta có O1IO2+EAF=1800 mà EAF=CAD suy ra O1IO2=1800-CAD (không đổi) O1O2 cố định nên I chuyển động trên cung chứa góc 1800-CAD dựng trên O1O2
Câu 5(1 điểm):Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là đỉnh của một tam giác có diện tích không vượt quá 1 .Chứng minh rằng 2009 điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4
Hướng dẫn
Gọi A;B;C là 3 điểm bất kỳ trong 2009 điểm đã cho sao cho SABC lớn nhất và 
 qua các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đường thẳng // với các cạnh của tam giác ABC chúng cắt nhau tạo thành tam giác MNP ta có SMNP=4.SABC ta chứng minh 2009 điểm trên luôn nằm trong tam giác MNP giả sử có diểm Q nằm bên ngoài MNP giả sử Q thuộc nửa MP bờ MP không chứa điểm N 
ta có SACQ >SABC > 1 vô lý vì SABC Max 
Vậy 2009 điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4