Đề thi chính thức Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trường thpt chuyên phan bội châu năm học 2009 - 2010 Môn thi: toán Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm) a. Giải phương trình b. Giải hệ phương trình Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên . Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK. Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành. Bài 5: (2.0 điểm) a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. b. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ------- Hết ------- Họ và tên thí sinh.... SBD.. * Thí sinh không được sử dụng tài liệu. * Giám thị không giải thích gì thêm. Đề thi chính thức Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trường thpt chuyên phan bội châu năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán Hướng dẫn chấm thi Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung đáp án Điểm Bài 1 3,5 đ a 2,0đ 0.50đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ ( thỏa mãn ) 0.50đ b 1,50đ Đặt 0.25đ Hệ đã cho trở thành 0.25đ 0,25đ 0,25đ (vì ). 0,25đ Từ đó ta có phương trình: Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 0,25đ Bài 2: 1,0 đ Điều kiện để phương trình có nghiệm: (*). 0,25đ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2). Theo định lý Viet: 0,25đ hoặc (do x1 - 1 ≥ x2 -1) hoặc Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) ) 0,25đ Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ Bài 3: 2,0 đ Vì BE là phân giác góc nên 0,25đ (1) 0,50đ Vì M, N thuộc đường tròn đường kính AB nên 0,25đ , kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK 0,50đ 0,25đ ị AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ Bài 4: 1,5 đ Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên .Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp 0,25đ Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI đồng dạng với tam giác AOB (1) 0,25đ Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO với (O) (E nằm giữa A, O). K Chứng minh tương tự (1) ta được: AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2 0,25đ ị AI.AO = 3R2 (2) 0,25đ Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên OA.OK = OB.OC = R2 (3) 0,25đ Từ (2), (3) suy ra OI = OK Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC Vì vậy BICK là hình bình hành 0,25đ Bài 5: 2,0 đ a, 1,0 đ Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC. Không mất tính tổng quát, giả sử A và O nằm về 2 phía của đường thẳng BC 0,25đ Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. 0,25đ Suy ra AH Ê AK < AO <1 suy ra AH < 1 0,25đ Suy ra (mâu thuẫn với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh. 0,25đ b, 1,0đ Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 0,25đ mà a3 + ab2 ³ 2a2b (áp dụng BĐT Côsi ) b3 + bc2 ³ 2b2c c3 + ca2 ³ 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0 0,25đ Suy ra 0,25đ Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t ³ 3. Suy ra ị P ³ 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 0,25đ Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó
Tài liệu đính kèm: