SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,5 điểm). a) Tìm tham số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn . b) Chứng minh rằng với mọi , đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt . Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với tại và . Tìm để tổng đạt giá trị lớn nhất. Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:. b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện . Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình: Câu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có trung điểm của cạnh là điểm, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh đi qua điểm và đường thẳng chứa cạnh đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết rằng điểm đối xứng của đỉnh qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm . Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng . Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng: . ----------Hết--------- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh .Số báo danh. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN – THPT (Gồm 06 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,5 điểm) Nội dung Điểm a) 1,0 điểm Ta có 0,25 . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 có hai nghiệm thoả mãn 0,25 . 0,25 Vậy hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 0,25 b) 1,5 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của và : Đặt 0,25 Vì nên có hai nghiệm phân biệt khác với mọi . 0,25 Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi . Gọi với là hai nghiệm của . Theo định lý Vi-ét ta có . 0,25 Tiếp tuyến tại có hệ số góc là Ta có 0,25 Dấu bằng xẩy ra 0,25 Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi . 0,25 Câu 2. (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) Giải phương trình: 1,0 điểm Phương trình 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có một họ nghiệm 0,25 b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện . 1,0 điểm Ta xét 4 trường hợp sau: TH1. Mỗi số là một tổ hợp chập 3 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là . 0,25 TH2. Mỗi số là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là . 0,25 TH3. Mỗi số là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là . 0,25 TH4. Số các số thỏa mãn là . Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 0,25 Câu 3. (1,5 điểm) Nội dung Điểm Điều kiện 0,25 Xét hàm số . Vậy hàm số đồng biến trên . Từ ta có 0,25 Thay vào ta được phương trình: Phương trình 0,25 Từ là một nghiệm của hpt. 0,25 Từ phương trình vô nghiệm do 0,25 Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất . 0,25 Câu 4 (1,5 điểm) Nội dung Điểm Gọi là trực tâm của tam giác , ta chứng minh được là hình bình hành nên là trung điểm của suy ra . Đường thẳng có vtcp là vtpt là . 0,50 Do nên vtpt của là Do nên vtpt của là . 0,25 Do là giao của và nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình 0,25 Do là trung điểm của nên . Vì vuông góc với nên có vtpt là Do là giao điểm của và nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: . 0,25 Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác là 0,25 Câu 4 (1,5 điểm) Nội dung Điểm Ta thấy là hình thoi, tam giác cân tại suy ra 0,50 Gọi là giao điểm của và , ta thấy Suy ra nên vuông tại . Xét ta có 0,25 Thể tích 0,25 Gọi là trung điểm của nên Suy ra Thể tích (1). 0,25 Ta có ( sử dụng công thức đường trung tuyến) Theo định lý hàm số cosin trong ta có Vậy (2). Thay (1), (2) vào ta được . 0,25 Câu 6. (1,0 điểm) Nội dung Điểm 1,0 điểm Không mất tổng quát giả sử . Mà 0,25 Nhận xét ta có bất đẳng thức thật vậy ( đúng ) ( do ). Đặt mà 0,25 Áp dụng ta có Xét hàm số Có đạo hàm , 0,25 Lập Bảng biến thiên Dấu bằng khi và chỉ khi Vậy nếu thỏa mãn , thì dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . 0,25 . Hết.
Tài liệu đính kèm: