Khảo sát chất lượng thi thpt quốc gia năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán học thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
LÊ QUÝ ĐÔN 
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 
THI THPT QUỐC GIA 
Năm học 2014 – 2015 
Môn thi: TOÁN HỌC 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
 (Đề thi gồm 01 trang) 
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 4 28 4y x x   . 
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số. 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương 
trình  '' 13.y x  
Câu 2. (1,0 điểm) 
 a. Giải phương trình 21 sin cos 2 sin cos .
2
x
x x x
      
 b. Cho số phức 3 2z i  . Xác định phần thực và phần ảo của .w iz z  
Câu 3. (0,5 điểm) Giải bất phương trình 21 3
3
6log 5log 4 0.x x   
Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình  
4 3
3 2
2 2 1
.
2 2
x x x
x x
x x x
  
 
 
 
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân 
4 2
0
2 4 1
2 1
x x
I dx
x
 


 . 
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thang cân với hai đáy là BC và AD . 
Biết 2SB a , 2 ,AD a AB BC CD a    và hình chiếu vuông góc của điểm S xuống mặt 
phẳng  ABCD trùng với trung điểm cạnh .AD Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD . 
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn      
2 2
: 2 2 4T x y    và đường 
thẳng : 3 10 0.x y    Viết phương trình đường tròn  C biết tâm I của  C có hoành độ âm 
và nằm trên đường thẳng : 0,d x y   C tiếp xúc với và cắt  T tại ,A B sao cho 2 2AB . 
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian ,Oxyz cho điểm  1;2; 2I  và mặt phẳng P có phương trình 
  : 2 2 5 0P x y z    . Hãy viết phương trình mặt cầu  S có tâm I sao cho giao tuyến của mặt 
cầu S và mặt phẳng  P là một đường tròn có chu vi bằng 8 . 
Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho các điểm        2,0 , 2,2 , 4,2 , 4,0A B C D  . 
Xét các điểm có tọa độ ;x y với ,x y là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các 
điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm 
được chọn có tọa độ  ;x y thỏa 2.x y  
Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 .ac b bc  Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4
2 2
.
4 4
a b b c
P
a b ab b b c bc c
 
 
   
Cảm ơn bạn Gu Gồ ( Anh Nun) https://www.facebook.com/ThoatAnBam Đã chia sẻ đến www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015 
Câu Ý Nội dung Điểm 
1 a Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số 1,0 
 b 
   3 2
1
' 4 16 ; '' 12 16 13
2
y x x x y x x x       
0,5 
 1
2
x phương trình tiếp tuyến: 
15 93
2 16
y x  
0,25 
 1
2
x  phương trình tiếp tuyến: 
15 93
.
2 16
y x  
0,25 
2 a Biến đổi phương trình như sau 
     
  
1 sin cos 2sin cos 1 2 1 sin cos 1 sin 0
1 sin cos 2 0
x x x x x x x
x x
        
   
0,25 
 Vì cos 1x nên phương trình có nghiệm 2
2
x k

   . 
0,25 
 b    3 2 3 2 1w i i i i      0,25 
 Re 1, Im 1.w w   0,25 
3 ĐK: 0.x Biến đổi bất phương trình 23 36log 10log 4 0x x    * 0,25 
Đặt   23
1
log * : 6 10 4 0 2
3
t x t t t        
Suy ra tập nghiệm bất phương trình 3
1
; 3 .
9
S
 
 
  
0,25 
4 Điều kiện 0.x Biến đổi bất phương trình 
  
  
   
 
 
3
3 3
22
1 1 1
*
1 1 11 1
xx x x
x
x xx x
  
  
   
0,25 
Đặt    
3
2 1
t
f t t
t
 

 , ta có  
 
4 2
22
3
' 0,
1
t t
f t t
t

   

 
Hơn nữa  f t liên tục trên  , nên đồng biến trên  
0,5 
Vậy       3 5* : 1 1 0; .
2
f x f x x x x
          
0,25 
5 
Đặt 
2 1
2 1
2
t
t x x dx tdt

      
0,5 
 33 4 5 3
2
1 1
1 478
.
2 2 10 3 2 15
t t t t
I t dt
                   
 
0,5 
6 Gọi M là trung điểm AD , theo giả thiết  SM ABCD . 
Tứ giác MBCD là hình bình hành nên ,MB a do đó .SM a 
0,25 
 Ta có MC a nên tam giác MBC đều, do đó 
   
23 3
3
4
a
dt ABCD dt MBC    
31 3
. . .
3 4
a
V SM dt ABCD  
0,25 
 Gọi K là trung điểm ,BC H là hình chiếu của M lên .SK 
Do 2SC SB a  nên tam giác SBC cân tại S , do đó 
   
BC MK BC MH
BC SMK MH SBC
BC SK SK MH
         
    
0,25 
Tam giác MBC đều cạnh bằng a nên 
3
,
2
a
MK  do đó 
     
2 2
. 21
, , .
7
SM KM a
d SB AD d AD SBC MH
SM KM
   

0,25 
7 Đường tròn  T có tâm  2;2 ,K bán kính 2;r  
Gọi  ; ,I t t bán kính của đường tròn  C là  
4 10
,
10
t
R d I

   
0,25 
Ta có  
 
 
2
2 22 2 5 8, 2 2 5 5
5 5
t
d I AB R t t

       
và    , 2; 2 2 2 2d K AB IK t t     (do 0t  ) 
0,25 
 TH1. ,I K khác phía đối với :AB 
     
       
2
2 2 2
1
, , 2 5 5 1 5 2 10
5
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10 .
d I AB d K AB IK t t t t
C x y
         
       
0,25 
 TH2. ,I K cùng phía đối với :AB 
       2
1
, , 2 5 5 1 2 *
5
d I AB d K AB IK t t t        
 * không có nghiệm âm 
       
2 2 2
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10C x y       
0,25 
8 Đường tròn giao tuyến của  S và  P có 4;r    , 3d I P  . 0,5 
 Bán kính mặt cầu là   2 2 , 5R r d I P   
Vậy phương trình        
2 2 2
: 1 2 2 25.S x y z      
0,5 
9 Không gian mẫu   ; | , , 2 4,0 2x y x y x y       0,25 
   
                  
, | 2
2;0 ; 2;1 ; 2;2 ; 1;0 ; 1;1 ; 1;2 ; 0;0 ; 0;1 ; 1;0
A x y x y   
      
Suy ra  
 
 
9 3
.
21 7
n A
P A
n
  

0,25 
10 
Đặt , , 0, 2
a b
x y x y x y
b c
      
Ta có    
2 2
2 2
2 1 2 1
4 4
x y
P f x f y
x x y y
 
   
   
Trong đó  
2
2
2 1
4
t
f t
t t


 
với  0;2 .t  
0,25 
 
    
 
   
 
 
 
22
2 2 2
4 2 1 1 13 16 1 104 293 29 3
1
8 2 16 22 8 16 8
29 3
1 .
16 2
t t t t t
f t t
t t t t t t
t
    
      
     
  
0,5 
Vậy      
29
2 3 3
16
P f x f y x y       
Nên min 3P  khi 1 .x y a b c     
0,25 
Chú ý. Học sinh có thể sử dụng tọa độ để giải bài toán 6 như sau 
Chọn hệ trục tọa độ  ; , ,M MK MD MS
  
khi đó    
3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
C D a S a
     
, 
   
3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
MC MD a MS a
        
   3
.
1 3
3 , .
2 4
S MCD
a
V V MC MD MS     
  
-Ta có    
3 3
0; ;0 , ; ;0 0;2 ;0 , ; ;
2 2 2 2
a a a a
A a B AD a SB a
                    
 
Vậy  
, . 21
, .
7,
AD SB MS a
d AD SB
AD SB
 
   
 
  
  
  
Cảm ơn bạn Gu Gồ ( Anh Nun) https://www.facebook.com/ThoatAnBam Đã chia sẻ đến www.laisac.page.tl